精品解析：四川省罗江中学校2026-2027学年上学期第一次学科素养评估卷九年级数学

2026年秋初2024级数学学科素养评估卷 数 学 试 题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共48分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，方程未明确，当时不是一元二次方程； B选项，方程含有两个未知数，不是一元二次方程； C选项，方程可整理为，只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程； D选项，方程的分母中含有未知数，是分式方程，不是一元二次方程． 2. 二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式确定二次项系数和一次项系数，再求和即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数为，一次项系数为，故它们的和为． 3. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式可得二次项系数，对称轴和顶点坐标，进而判断出对应的增减性，据此可得答案． 【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 顶点坐标为，故C正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 4. 将二次函数的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵原二次函数的顶点坐标为，图象向下平移3个单位， ∴平移后的顶点坐标为， ∴平移后所得图象的函数解析式为． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得. 6. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， ∴， ∴． 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移法，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定该矩形的长和宽，结合面积公式列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， ∵停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等， ∴入口和出口的宽度均为， 停车位拼合后的长为，宽为， ∵停车位的占地面积为， ∴． 8. 已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，且图象过点， 点关于轴的对称点也在函数图象上． 9. 如图，当时，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，a、b同号，分两种情况，结合两个函数图象分析即可． 【详解】解：∵， ∴或； 当时，对于函数，抛物线开口向上，对于函数，直线从左往右是上升的，直线与y轴的交点在y轴上方； 当时，对于函数，抛物线开口向下，对于函数，直线从左往右是下降的，直线与y轴的交点在y轴下方； 观察四个选项可得：选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 10. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点，，在二次函数的图象上， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 11. 在二次函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向与对称轴，判断给定区间内函数的增减性，再代入区间端点算出对应函数值，得到的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 12. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④当时，等于；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，结合特殊点坐标逐一判断. 【详解】解：由图象可知，，，对称轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②错误； 由图象可知，抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴，故③正确； 由图象可知，当时，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，等于或，故④错误； ∵抛物线顶点纵坐标为， ∴的最大值为， ∴方程即无实数根，故⑤错误； 综上，正确的结论只有③. 二、填空题（共24分） 13. 抛物线的对称轴是_________． 【答案】 直线 【解析】 【分析】已知抛物线的一般式，利用二次函数对称轴公式即可计算得到结果. 【详解】解：∵抛物线解析式中，， ∴抛物线的对称轴为直线. 14. 若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得到的次数为，由开口向上得到二次项系数大于，联立方程和不等式解答即可求解． 【详解】解：∵是二次函数，且开口向上， ∴， 解方程，得， ∴或， 解不等式，得， ∴不符合题意，舍去， ∴． 15. 已知方程有一个根是，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴将代入原方程得， 整理得， ∴． 16. 某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 【答案】 【解析】 【分析】设球队数量为，根据单循环赛制的场次计算规则列出一元二次方程，舍去负根得到结果． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支． ∵每两支球队之间只进行一场比赛，每支球队要和其余支球队各比赛一场，每场比赛会被重复计算两次， ∴总比赛场次为． 根据题意列方程得， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∵球队的数量为正整数， ∴舍去，得到． 即参加小组赛的球队有支． 17. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得抛物线对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是或． 18. 如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，且，则m的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】令求出点A的坐标，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质得出点C的坐标，将点C代入抛物线解析式得到关于m、a、c的关系式，结合即可求出m的值． 【详解】解：如图，连接， 令，则， 点A的坐标为，即． 四边形是正方形，且点A在y轴上， 点B、C关于y轴对称，，且与互相平分， 点C的横坐标为，纵坐标为， 则点C的坐标为． 点C在二次函数的图象上， ，整理得， ， 整理得，即， ， ． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） ，. （2） ，. 【解析】 【分析】（1）先整理为一元二次方程标准形式，再用因式分解法求解； （2）对原方程变形后提取公因式因式分解，再求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得 ， 左边因式分解，得 ， 于是 或， 即，； 【小问2详解】 解：， 变形得， 左边提取公因式，得 ， 于是 或， 即，． 20. 先化简，再求值：，其中x满足x2＋2x－3＝0． 【答案】；. 【解析】 【分析】先算括号里面的，再算除法进行化简，根据x满足x2+2x-3=0求出x的值，注意分母不为零，代入分式进行计算即可． 【详解】解： = = =； 由x2+2x-3=0，解得：x1=-3，x2=1， 当时，分母，不符合题意； ∴当时， 原式=. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，以及一元二次方程的求解. 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得． 【小问2详解】 解：由一元二次方程可知， ∵， ∴，即， ， 解得， 由（1）可知， ∴，即m的值为． 22. 如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边 的长为 ，面积为 ．已知篱笆总长为．     （1）直接写出 与 的函数关系式，并写出 的取值范围； （2）当边 的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出函数关系式即可． （2）构造二次函数，根据二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得矩形的长为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由， ，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）为第四象限内抛物线上的一点．设点的横坐标为． ①用含的式子表示； ②若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出，再结合二次函数的性质求出，，最后利用待定系数法计算即可得出结果； （2）①先求出直线的解析式为，由题意可得，过点作轴的垂线交于点，则点的纵坐标为，求出，从而可得，再结合计算即可得出结果；②由，得出，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左边）， ∴点、关于轴对称， ∴， ∴，， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵为第四象限内抛物线上的一点．设点的横坐标为， ∴， 过点作轴的垂线交于点， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴ ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵为第四象限内抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 24. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为． （2）售价应降低元． 【解析】 【分析】（1）根据月平均增长率相同的条件，结合12月与2月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据总利润=单件利润×销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取符合题意的解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为． ∵2024年12月销售量为5万件，近三个月月平均增长率相同，2025年2月销售量为7.2万件． ∴． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元． ∵进价为每件60元，原售价为每件100元，原每天销量为20件，售价每降价10元每天可多售出20件，每天销售获利1200元． ∴单件利润为元，每天销售量为件． ∴． 整理得． 解得，． ∵要求尽量减少库存，即每天销售量尽可能大． ∴选择降价幅度更大的． 答：售价应降低元． 25. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． （1）若，求点的坐标和线段的长度； （2）若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】（1），的长度为4 （2）点的坐标为 （3）①证明：由题可知点． ∵点是线段的中点， ，即点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点的横坐标为3，即，代入抛物线， 得，即点的坐标为． ∵点是线段的中点， 设点， ∴，即， ∴点的坐标为，即． 由(2)知点的坐标为，即， ； ②或 【解析】 【分析】（1）当时，得，当时，得，可得点，进而可得的长，当时，可得的坐标； （2）首先，得到，再当时，，且，可得，然后，由、两点总关于x轴对称，得，进而可得直线的解析式为，接着，由点为直线与抛物线的交点，联立成方程组，解方程组即可得到点D的坐标； （3）①由题可知点，由点是线段的中点，得点在线段的垂直平分线上，再由，可得点的横坐标为3，代入抛物线的解析式得，进而得点的坐标为，由点是线段的中点，设点，可得点的坐标为，即，进而可证得结论； ②由①可知点的坐标为，可得，再由，，，可得，进而得，解得，接着，可得抛物线的解析式为，然后，由动点在抛物线上，可得，令，得其对称轴为直线，可得当时，随的增大而增大，当时，得的最小值为，进而得，即，令，结合图象即可得出n的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 解得， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧）， ∴． ∴的长度为． 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：由题可知当时，， ∴， 当时，，且， 整理，得， 解得， ∴，即， ∵对任意，、两点总关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴解方程组，得或(点舍去）， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 ①略； ②解:由①可知点的坐标为． ∴， ，，， ． ∴， ，即． ∴抛物线的解析式为． ∵动点在抛物线上， ． 令， ∴其对称轴为直线． 则当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值为． ，即． 令， 当时，，解得， 结合的图象可得，当时，即的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋初2024级数学学科素养评估卷 数 学 试 题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共48分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 1 3. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 4. 将二次函数的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，当时，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 在二次函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④当时，等于；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共24分） 13. 抛物线的对称轴是_________． 14. 若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 15. 已知方程有一个根是，则代数式的值为___________． 16. 某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 17. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是____________． 18. 如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，且，则m的值为___________． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中x满足x2＋2x－3＝0． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 22. 如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边 的长为 ，面积为 ．已知篱笆总长为．     （1）直接写出 与 的函数关系式，并写出 的取值范围； （2）当边 的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 23. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）为第四象限内抛物线上的一点．设点的横坐标为． ①用含的式子表示； ②若，求点的坐标． 24. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 25. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． （1）若，求点的坐标和线段的长度； （2）若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $