3.2 从有理数到实数（第1课时）课件2026-2027学年数学浙教版七年级上册

第3章　实数 3.2 从有理数到实数（第1课时） 无理数与实数 数学新教材浙教版　七年级上册 情境引入 正方形的边长能写成分数吗 拼图 在边长为的正方形中，依次连接各边中点，得到一个阴影正方形。四个角上的小三角形可以拼成面积相等的四块。 问题 阴影正方形面积为，边长为。这个长度介于和之间，它是否也能用一个分数准确表示？ 情境引入 用平方逐步夹近边长 第一次 因为，所以。继续计算、，得到。 继续 更精细地比较和，可得。区间越来越短，但有限位小数仍只是近似值。 情境引入 近似值不等于准确值 观察 ，小数位无限延伸，且不循环。接近，却不等于。 引出新数 我们已经认识整数、分数，它们都属于有理数。像这样不能化为分数的数，需要用一个新名称来认识。 新知讲授 无理数的定义 定义 像这种无限不循环小数叫作无理数（irrational number）。 特征 “无限”和“不循环”缺一不可。、也是无理数；保留有限位的是有限小数，仍是有理数。 新知讲授 小数形式与数的分类 有理数 如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。 辨别 判断时，应看到数字反复循环，所以它是有理数。判断时，两个间的依次增加，所以不循环。 新知讲授 根式外形不能决定分类 先求值 ，，它们虽然带根号，却都能化为有理数。先化简，才能准确分类。 再分类 、不能化为分数，属于无理数。不要用“有没有根号”代替对数本身性质的判断。 新知讲授 正无理数与负无理数 符号 无理数也可分为正无理数和负无理数。例如、、为正无理数，、、为负无理数。 零的位置 是有理数，既不是正数，也不是负数；不存在“零无理数”。分类时应特别留出零的位置，避免把零遗漏。 新知讲授 实数的定义 定义 有理数和无理数统称实数（real number）。 范围扩充 实数中既有整数、分数，也有无限不循环小数。把数的范围扩充后，我们可以用准确表示面积为的正方形边长。 新知讲授 实数按有理、无理分类 第一类 有理数包括正有理数、零、负有理数；从小数表示看，它们是有限小数或无限循环小数。 第二类 无理数包括正无理数、负无理数；从小数表示看，它们都是无限不循环小数。两类合起来是全部实数，彼此不重叠。 新知讲授 实数也可以按符号分类 正实数 正实数包括正有理数和正无理数，例如和；负实数包括负有理数和负无理数，例如和。 三类关系 按符号分，实数分成正实数、零、负实数。两种分类使用不同标准，不能把“无理数”和“正数”并列成互不相交的两类。 新知讲授 无理数在数轴上也有位置 作图 把边长为的正方形对角线长沿数轴转移，就能确定的位置。取其关于原点的对称点，得到。 准确与近似 线段长度可以准确表示无理数；在数轴上标注近似小数只是帮助读图。无理数不是“没有准确位置的数”。 新知讲授 实数与数轴上的点 对应 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。 理解 每个实数只有一个对应点，每个点也只有一个对应实数。原来只用有理数时，数轴上的点并没有全部被表示出来。 新知讲授 实数的大小比较 法则 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 使用 正实数大于，负实数小于。比较同为负数的两个实数时，绝对值大的反而较小；可借助适当近似值判断位置。 新知讲授 相反数扩充到实数 意义 与在数轴上关于原点对称，它们互为相反数。实数的相反数仍记作。 例子 的相反数为，的相反数为；的相反数仍是。改变的是符号，不改变与原点的距离。 新知讲授 绝对值扩充到实数 意义 一个实数的绝对值表示它在数轴上对应的点到原点的距离。因此，。 规则 正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；的绝对值为。结果始终为非负数。 例题讲解 例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）：，，，。 答： 取适当近似值：，，。 由左到右读数轴上的点，得到从小到大的次序。 近似值只用来确定相对位置，最后仍用原数写结果。 例题变式 变式 分别求下列各数的相反数和绝对值。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：相反数；绝对值。 负数的绝对值等于其相反数。 （2） 答：相反数；绝对值。 正数的绝对值等于本身。 相反数与绝对值可能相同，但概念不同。 例题变式 变式 分别求下列各数的相反数和绝对值。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：相反数为；绝对值为。 零到原点的距离是零。 （4） 答：相反数；绝对值。 改符号求相反数，取距离求绝对值。 相反数与绝对值可能相同，但概念不同。 新知辨析 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 所有无限小数都是无理数。 错误 无限循环小数是有理数。 （2） 所有无理数都是实数。 正确 实数由有理数和无理数组成。 （3） 带根号的数一定是无理数。 错误 例如是有理数。 （4） 负无理数的绝对值是正无理数。 正确 取绝对值只改变负号，仍不能化为分数。 新知讲授 估计无理数的近似值 定位 求的近似值时，先利用定位整数部分，再用十分位、百分位逐步夹近。每一步都依据正数平方的大小关系。 精确度 若已知，则（精确到）。舍入前要多观察一位，不要提前截断。 课堂练习 课内练习 1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （1） 有理数。 有限小数能化为分数。 （2） 有理数。 它本身就是分数。 （3） （循环节为） 有理数。 它是无限循环小数。 （4） （5） （6） （7） 课堂练习 课内练习 1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （1） （2） （3） （循环节为） （4） 无理数。 它是无限不循环小数。 （5） 无理数。 非零有理数倍的仍是无限不循环小数。 （6） 有理数。 零是整数。 （7） 有理数。 化简为。 课堂练习 课内练习 2 填空。 （1） 的相反数是____。 （2） ____。 （3） 一个数的绝对值是，这个数是____。 （1） 答： 相反数与原数符号相反。 （2） 答： 绝对值表示距离，结果为正。 （3） 答： 与原点距离相同的两点关于原点对称。 由正的绝对值反推原数时，正负两种情况都要写。 课堂练习 课内练习 3（1） 用“”“”或数字填空：因为________，所以________，所以____（精确到）。 答：依次为、、、、。 ，。 的十分位为，百分位为，舍入后为。 夹近区间是准确不等式，近似结果使用约等号。 课堂练习 课内练习 3（2） 用“”“”或数字填空：因为________，所以________，所以____（精确到）。 答：依次为、、、、。 ，。 千分位为，百分位的进一，得到。 需要进位时要保留末尾的零等表示精确度的数位。 课堂练习 作业题 4 把（循环节为）、、、、与数轴上的对应点连起来，并从小到大排列。 答：A为，B为，C为，D为，E为。 因为，，。 所以。 按位置先配点，再用原数写大小关系。 新知讲授 神奇的圆周率 准确与近似 是一个无理数，、、是它的近似值，却不是本身。计算圆的周长时，要分清准确值与指定精度的近似值。 数学史 刘徽用“割圆术”计算圆周率；祖冲之进一步得到。不断改进近似值的过程体现了数学方法的发展。 方法归纳 分类和比较的顺序 分类先看数的本质 ① 能计算的根式先计算，有限小数和循环小数归入有理数。 ② 检查省略号后是否按固定数字组循环。 比较先看符号和位置 ① 异号数先依据正、零、负关系判断。 ② 同号无理数用适当近似值定位，负数注意次序相反。 课堂总结 从有理数到实数 无理数 无限不循环小数 实数 有理数与无理数的统称 对应 实数与数轴上的点一一对应 运用 相反数、绝对值、大小比较仍适用 近似 用平方夹近，按指定数位四舍五入 针对训练 训练 下列各数中，属于无理数的是：A.　B.　C.　D.（循环节为）。 答：C A是有限小数；B等于；D是无限循环小数。 C是无限不循环小数。 省略号本身不能决定是不是无理数。 针对训练 训练 把、、、、按有理数和无理数分类，再写出其中的负实数。 答：有理数：；无理数：；负实数：。 分类标准不同，得到的分组也不同。 负实数既可能是有理数，也可能是无理数。 同一轮分类必须使用同一标准。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 一个数不是有理数，就是无理数。 正确 本课讨论的实数由这两类组成。 （2） 是无理数。 错误 它是有限小数，可以化为分数。 （3） 两个无理数的绝对值一定相等。 错误 和的绝对值不同。 （4） 数轴上表示的点在和之间。 正确 因为。 针对训练 训练 在、、、、中，有理数与无理数分别有几个？ 答：有理数个，无理数个。 ，，连同均为有理数。 和为无理数。 计数前先把可以直接开方的数化简。 针对训练 训练 已知，写出的所有可能值，并比较它们的大小。 答：，且。 在数轴上，与原点距离为的点有两个。 负实数小于正实数。 正的绝对值对应两个互为相反数的原数。 针对训练 训练 将、、、从小到大排列。 答： ，所以。 ，所以。 先用相邻整数夹住无理数，足以判断时无需算小数。 针对训练 训练 已知，求精确到的近似值。 答： 。 千分位为，按四舍五入得。 精确到百分位，需要观察千分位。 针对训练 训练 请写出四个无理数，其中正无理数和负无理数各两个。 答：例如。 前两个是正无理数，后两个是负无理数。 它们均为无限不循环小数，答案不唯一。 不能把无理数的有限小数近似值当成无理数。 针对训练 训练 两块面积分别为和的正方形拼板，边长各是多少分米？哪一块的边长大？各介于哪两个相邻整数之间？ 答：边长分别为、；后者大；均介于与之间。 正方形边长为面积的算术平方根。 因为，所以。 长度用根式可以准确表达；比较时利用面积的大小。 针对训练 训练 一块正方形装饰板面积为，现有长的直木条。木条够不够贴满装饰板的一条边？请用平方比较说明。 答：不够。 装饰板边长为。 ，所以。 不必求出很多位小数，比较平方就能判断。 方法归纳 方法总结 辨别实数的类别 ① 先化简可直接求值的根式。 ② 无限小数须区分循环与不循环。 ③ 按有理与无理分类时，两类不得交叉或遗漏。 比较和估计无理数 ① 用相邻非负数的平方夹住被开方数。 ② 负数比较时，绝对值越大原数越小。 ③ 近似值用于定位，最终答案保留原数或要求的精度。 $