24.2 第4课时 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系-【木牍中考】2026-2027学年九年级下册数学同步教学优质课件（沪科版·新教材）

24.2 圆的基本性质 第四课时 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 HK 9年级下册 1. 结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质. 2. 能够发现圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关问题 (重点、难点)． 学习目标及重难点 前 言 圆的轴对称性 垂径定理及推论 复习回顾 O C D A B E 圆还有其他性质吗？ 导入新课 探究：1.如图，在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙和⊙,把两张纸叠在一起，使⊙与⊙重合，用图钉钉住圆心. 将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？ α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心. 探索1：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是中心对称图形吗？ 讲授新课 探究：2. 当 时，根据上述圆的性质，你能猜测出，两个圆心角所对的 和 ，弦 和弦 、弦心距 和弦心距之间有怎样的关系吗？ O A' B' A B M M' α 我们把顶点在圆心的角叫作圆心角. 圆心角 如图， 、 是圆心角. 圆心角 所对的弧是 ，所对的弦是 ， 所对弦的弦心距是 ; 圆心角 所对的弧是 ，所对的弦是 ，所对弦的弦心距是 . 讲授新课 解：根据圆的旋转对称性，把 连同 绕圆心 旋转，使线段与重合，设 线段 与线段 重合. 又 旋转后点 与点 重合，点 与点 重合. 和 重合，弦 和弦 重合，弦心距 和弦心距重合 ，=，= O A' B' A B M M' α 讲授新课 探究：2. 当 时，根据上述圆的性质，你能猜测出，两个圆心角所对的 和 ，弦 和弦 、弦心距 和弦心距之间有怎样的关系吗？ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. O A' B' A B M M' α 在等圆中，上述结论是否仍成立？ 讲授新课 思考：在等圆中，上述结论是否仍成立？ A' B' M' A B M 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 通过平移将两个等圆变成同圆 讲授新课 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. O A' B' A B M M' α 可以省略不写吗？ B' A' O B A M' M 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对弦的弦心距相等. 定理 讲授新课 ①在同圆或等圆中 ③所对的弧相等 ②圆心角相等 ④所对的弦相等 ⑤所对的弦心距相等 条件 结论 思考：保持条件①“在同圆或等圆中” 不变，如果把条件②与结论③、④、⑤中的任意一个交换，得到的命题是真命题吗？ 讲授新课 ①在同圆或等圆中 ③所对的弧相等 ②圆心角相等 ④所对的弦相等 ⑤所对的弦心距相等 思考：保持条件①“在同圆或等圆中” 不变，如果把条件②与结论③、④、⑤中的任意一个交换，得到的命题是真命题吗？ 条件 结论 真/假 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ （弦相等，同类型的弧相等） O A' B' A B M M' α 讲授新课 在同圆或等圆中，如果两条弧（同为优弧或劣弧）以及这两条弧所对的圆心角、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么对应的其余各组量都分别相等. 推论 O A' B' A B M M' α 圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等 讲授新课 例1：已知：如图,等边三角形的三个顶点都在⊙上，连接. 求证： A B C O 证明： 讲授新课 例2：已知：如图, 点 是 平分线上的一点，⊙ 分别交 两边于点 ， 和点 . 求证： 证明：过点 作, 垂足分别为. 点 在 平分线上 (角平分线性质）， 讲授新课 探索2：圆心角与所对弧的度数的关系 把顶点在圆心的周角等分成份，每一份的圆心角是 的角. 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成 份. 我们把每一份这样的弧叫作的弧. 我们把顶点在圆心的角叫作圆心角. 圆心角 讲授新课 把顶点在圆心的周角等分成份，每一份的圆心角是 的角. 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成 份. 一般地，的圆心角对着 的弧，的弧对着 的圆心角. 也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数 . 我们把每一份这样的弧叫作的弧. 相等 讲授新课 解：连接， 为 的弧， 所以 为 例3：如图， 为 ⊙ 的两条直径， 为 ⊙ 的弦，且 ， 为 的弧，求 的度数. O C E A B D 讲授新课 1.如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（     ） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 A 习题1 习题解析 2.下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 B 习题2 习题解析 3.如图， 是 的直径，点 在 上， ， 是 的中点. 求 的度数. 解： ， . 是 的中点， . . 又 ， . 习题3 习题解析 4.如图， 是⊙ 的直径上一点，过点作弦，使，若 的度数为 ，求 的度数. 解：如图，连接 的度数为，. 的度数是 习题4 习题解析 5.如图，在⊙中， 相交于点平分. (1)求证：； (2)如果⊙的半径为，，求的长. 习题5 解：(1)证明：过点作垂足分别为 平分， = ， ， 即 = ， 习题解析 5.如图，在⊙中， 相交于点平分. (2)如果⊙的半径为，，求的长. 习题5 (2)连接 ，平分 在 Rt 中，， 即 ， 解得 或 (舍去). 即的长为. 习题解析 弧的度数 定理 一般地，的圆心角对着的弧，的弧对着 的圆心角.也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 推论 在同圆或等圆中，如果两条弧（同为优弧或劣弧）以及这两条弧所对的圆心角、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么对应的其余各组量都分别相等. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $