24.2 第3课时 垂径定理的应用-【木牍中考】2026-2027学年九年级下册数学同步教学优质课件（沪科版·新教材）

24.2 圆的基本性质 第三课时 垂径定理的应用 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 HK 9年级下册 1. 掌握垂径定理的推论，理解 “知二推三”. 2. 会构造垂径基本图形，利用勾股定理进行弦长、半径、弦心距计算. 学习目标及重难点 前 言 ①直径(或过圆心) ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 条件 结论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理 导入新课 探索1：垂径定理的推论 ①直径(或过圆心) ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 条件 结论 探究 ：如果把垂径定理的条件(①②)与结论(③④⑤)部分交换，命题是真命题吗？ 小组合作 1.选择一种组合方式（两个作为条件，三个作为结论）. 2.判断命题的真假，若是真命题，请证明. 讲授新课 一级标题：黑体， 4 ①直径(或过圆心) ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 条件 结论 说明 ①② ③④⑤ 垂径定理 ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 条件 结论 说明 ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 讲授新课 一级标题：黑体， 5 ①直径(或过圆心) ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 条件 结论 已知:⊙中, 是弦， 是直径，交于点，且 求证: == 不能是直径. O (E) C D A B O C D A B E 讲授新课 一级标题：黑体， 6 O C D A B E 已知:⊙中, 是弦(不是直径)， 是直径，交于点，且 求证: == 证明: 连接 ,则 为等腰三角形， 所以底边 上的中线 所在直线 是 的垂直平分线， 因此点 与点 关于直线 对称. 因此，把圆沿着直径 折叠时， 两侧的两个半圆重合， 与 重合，点 与点 重合， 与 重合， 与 重合. 因此，== . 讲授新课 一级标题：黑体， 7 ①直径(或过圆心) ②垂直于弦 ③平分弦(不是直径) ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 条件 结论 O C D A B E 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理 讲授新课 一级标题：黑体， 8 ①直径(或过圆心) ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 探究 ：如果把垂径定理的条件(①②)与结论(③④⑤)部分交换，命题是真命题吗？ 条件 结论 真/假 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 条件 结论 真/假 ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ (有前提) 知二 推三 讲授新课 一级标题：黑体， 9 例1：如图，是的直径，是 的一条弦，与交于点， ， 下列结论：； ；； 中， 一定正确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 讲授新课 如图所示，⊙的弦的夹角为，分别是, 的中点，则的度数是(　　) A．100°  B．110° C．120°   D．130° D 随堂小练习 讲授新课 例2：赵州桥建于 多年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为 , 拱高(弧的中点到弦的距离)为. 求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到 ). 探索2：垂径定理的实际应用 讲授新课 例2：赵州桥建于 多年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为 , 拱高(弧的中点到弦的距离)为. 求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到 ). 解：如图，圆心为，取 中点，连接 并延长，交 于点 由上述定理，得 且 为 中点. 拱高 讲授新课 解：如图，圆心为，取 中点，连接 并延长，交 于点 由上述定理，得 且 为 中点. 拱高 设⊙的半径为 m，在Rt 中， 由勾股定理，得 . 即 . 解方程，得 . 答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为 . 讲授新课 下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 为圆心的圆的一部分， 是 中弦 的中点， 经过圆心 交 于点 ，并且 ， . 求 的半径长． 解：连接 . 设 的半径为 ， 是弦 的中点， 过圆心 ， ， . 在 中， ， ， 根据勾股定理，得 . 解得 . 的半径长为 ． 随堂小练习 讲授新课 1.如图，⊙的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小是（    ）   A．40°   B．50°   C．90°   D．60° B 习题1 习题解析 2.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出cm， cm，则圆形工件的半径为（     ） A．14 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm C 习题2 习题解析 3.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙半径为 cm，油面宽为 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 cm，则油面上升了_____cm． 习题3 习题解析 4.水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为  m 的圆，其中水面宽为  m，则水面高为______________m． 或 习题4 习题解析 5.如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，⊙被水面截得的弦长为 m，⊙的直径 m，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 习题5 讲授新课 解：连接交于，连接， 由题意，， 是劣弧的中点， ， 在 中，由勾股定理得 即 . ， 答：点到水面的距离为． 习题5 习题解析 定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 应用 推论 垂径定理的应用 ， . 知二推三 注意：“过圆心、平分弦”作为条件时，平分的弦不能是直径 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $