甘肃平凉市名校大联盟2027届高三上学期月考(二) 数学试题

2027届名校大联盟·高三月考卷（二） 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将弥封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：三角函数及解三角形、平面向量（70%），滚动前面内容（30%）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，，则 A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则 A．10 B．8 C．6 D．4 3．已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 A．2 B．4 C．8 D．12 4．已知中，，，是角，，所对的边，，则的面积为 A． B． C． D． 5．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为 A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 6．把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是 A． B． C． D． 7．已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则 A．1 B． C．2 D． 8．已知定义在上的函数满足对于任意实数，均有，且，则 A．677 B．1354 C．2027 D．4054 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若向量，满足，，则下列正确的是 A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 10．函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是 A．当时， B．是的极小值点 C．当时，函数有2个零点 D．不等式的解集为 11．在中，角，，的对边分别为，，，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是 A． B．若为等边三角形，则其布洛卡角 C．若，则 D．若，，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则________． 13．已知函数的一个零点是，则的最小值是________． 14．已知如图所示的爱心由两个半圆和线段，组成，两个半圆分别以正方形的边，为直径．若正方形的边长为，点在上，且，，，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（13分） 已知函数，． （1）求的值； （2）若，，且，求的值． 16．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． （3）设函数．若，，使得成立，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知中，，，是角，，所对的边，且． （1）求角； （2）若是的角平分线，的面积为，，求的长度； （3）若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，求的最小值． 19．（17分） 已知，，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，，求实数的取值范围； （3）证明：，． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届名校大联盟·高三月考卷（二)·数学 参考答案、解析及评分细则 1.C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.A 8.D 9.BC 10.AB 11.ABC 7 12.9 13.6 4+V5 14.2 m2-n(-- -tanx·(-cosx)）sinx f(x)= -cosx·(-sinx) tan 15.解：(1)由 cos(5-)cos f(a)=tana= 5 所以 12 …3分 sina(W3cosa+sina）√3tana+tan'a 3x3 12 12 sina(3cosa+sina)= 13 cos2a+sin'a 1+tan'a 3 49 1+ 12 则 .…6分 tana= sina 3 sina= 3 (2)由(1)可知， cosa 、12,即12c050 12 cos2a+ cosa =1 48 而cos2a+sin2a=1,则 12 ， cos'a= 49, 、兀 a∈0,5 cosa 4v5 又 2 7,即 ina= ,则 7 …8分 而 vcos(c+B)=14,所s psin(a+)--cos(+-5 4 …10分 sinp=sin[(p)-a]=sin(a+B)cosa-cos(+B)sina 5543111_1 1471472 …12分 B=T 则 6 13分 16.解：(1)由图可知： 函数()的周期 0=2n=3 又0>0，所以T …2分 又因为 38+p-+2a低e2）.9-晋+2a(kez 则12 ,即 …4分 由 .t-0.-专所n=3x+引 …7分 (2)依题意可得： 86-+}am3+)a …9分 ππ g(x)在区间2'4上有三个零点， y=sin 3x+ 3π 即函数 4与函数y=-0在区间2'4上有三个交点， …10分 3π3π [3π3π 442,即y=sim与函数y=-a在区间L4'2上有三个交点， 3<-a≤sin 结合图象可得： 4 …3分 2 ≤a<1 即有2 2 实数Q的取值范围为 …15分 Y 17.解：(1)因为函数(0)的值域为R,所以y=产-mx+2能取到大于0的所有值， 所以△=m2-8≥0，解得m≥2V2或m≤-2V2, 因此实数m的取值范围为(0，-2V]U[22,+切) …3分 (2)当m=3时，f()=log,(2-3x+2) 令(x)=x2-3x+2>0 得x<1或x>2, -w+2- 当x<l时，“()单调递减，当x>2时，()单调递增， 6分 所以f(四在(2，+切)上单调递增， 因为题中f()在(a,+0)上单调递增，所以实数a的取值范围为[2，+0）. …8分 (3)因为x∈2,3，∈，2]，使得f()8()成立，所以()x≤g()x.…9分 两岩骨 2 2-1在xc,2]时单调递减。 所以8()=8()=3 10分 即∈[l,2],f(G)s3,即xeL,2],0<x2-mx+2≤8成立. …11分 m 方法一：设t=x2-mx+2,x∈[，2]， X= 其图象的对称轴为直线2 12-m×1+2>0, 当2 时，只需2-m×2+2≤8解得-1≤m≤2， …12分 12-m×1+2≤8， 22-m×2+2≤8， 2 1<m≤2 名 -mx"+2>0, 当2时，只需 (2 解得2<m<2√2， …13分 mz 「12-mx1+2≤8， 当2 时，只需2-mx2+2>0,无解 …14分 综上，得-1≤m<2,5,即实数m的取值范周为[-山22) …15分 =ae2.2-愿+2s8,特价于习，≥ x成立， max 记4=L2)n4w= ,则 x在山，2]上单调递增， tan=2=26-1 所以 2 ,所以m≥-1. …13分 x2+2 x2+2 xcL,2,2-m+2>0成立，等价于e,2习]，m<x m< 成立，所以 min n2el2n=x+子2w5 ,则 (当且仅当x=V2时取等号)， 所以(x)m=2√2，所以m<22, 综上，-1≤m<2W2,即实数m的取值范周为[-山2V5) …15分 2sinA-sinC CA.CB 2sinA-sinC b·a.cosC 18.解：(1)因为 sinD BA·BC,则 sinC c.a.cosB, 由正弦定理可得2 sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, 2sinAcosB=cosBsinC+sinBcosC. 由两角和的正弦公式，得2sin4cosB=sin(B+C) 2分 因为A+B+C=元，所以sin(B+C)=si(r-A)=sinA,则2sin4cosB=sinA, 因为在△ABC中，sinA≠0，所以2cosB=1,即 CosB =1 」 B=π 又因为B∈(0，)，所以8=3. …4分 (2)因为 Saac-2 acsi∠CBA=V5 sin∠CBA=sin交=V3 ,由（1) 32,所以ac=4. …6分 因为△ABC中， b=a+e-2accosLCBA=(a+c)-2ac-2acx=(a+c)-3ac 2 即(4W6}2=(a+c2-3×4,得a+c=65 8分 因为SABc=Sacn+Sa4BD, n5-0asm-0emg0后ed-06 6 BD=2 所 3 …10分 Bπ (3)因为AC=BC,9=3,所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=2, 设AF=m,则BF=2-m,PF=m, sB=BP+BF2-PF21 所以在△BPF中，由余弦定理 2BP.BF 2, c0sB=X2+2-m2-m21 设BP=x,0≤x≤2，代入上式得： 2x.(2-m) 2 m=- 2x+4(4-x)-6(4-x)+12=（4-x+、X 整理得： 4-x 4-x 14分 由于0≤x≤2，故2≤4-x≤4， 所m≥24-，当且仅 4-x12 4-x时等号成立，此时x=4-2√3满足题意， 所以AF的最小值为4V5-6. …17分 19.解：(1)已知 cosx '(x)=1 -4 则 cosx …l分 1 令f'()=0,即os --4=0 1 -=4 ,则cosx, 1-2 1 cosx= x=- 因为 所以cosx,即2，解得3. 0<x< 1 1 cosx -<4 3时， 2,则osx4,即f'()水0， 0 所以()在3上单调递减。 元 cosx 当3 2时， >4 2,则cosx4,即'(x)>0, 所以f()在3'2)上单调递增。 ππ 所以，()的单调递减区间为 单调递增区间为3’2 ……4分 (2)已知x)=tanx-axx0,2. 由f(x)+2sinx>0 可得tanr-ax+2sinx>0, (x)=tanx-ax+2sinx )) 则 1-a+2cosx cos 若a>3,则(0)=3-a<0,故存在0 使得r∈(0，)，s(x)<0. 故()在(0，)上为减函数，故r∈(0,6)，总有()s(0)=0,矛盾： 放0≤3，…7分 而当a≤3时，tanx-ax+2sinx≥tanr-3x+2sinx, u(x)=---3+2cosx=cosx+cosx+ -3 cos'x os-x 3 1 cosx x cosx x- -3=0 cos-x 数，6数.数g>0=0pm-+2i>0 故tanx-ax+2sinx>0即原不等式成立. 综上，a的取值范围为(-∞，3] …10分 (3)sF(y)=sin2x·tamr-.x∈（02 F(x)=2sinxcosxtanx +tan2x-3x2 2sin2x+tan2x-3x2 …11分 由(2)可知，当a=3时，tanr+2sinx>3x,13分 则tan2x>(3x-2sinx)2, (x)=2sin'x+tan'x-3x2>2sinx+(3x-2sinr)2-3x2 =6sin2x-12xsinx+6x2=6(sinx-x)2>0 5尚r阳>0，FO上e …16分 所以F(x)>F(O)=0,即sin2 x.tanx>x. …17分