5.2二次函数的图象第4课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.2 二次函数的图象 第4课时 学 习 目 标 1.探索二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解抛物线的平移规律；（重点） 2.会用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标；(重点） 3.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，会用公式求它的顶点坐标和对称轴.（难点） 知识回顾 1.二次函数 y=ax2+c(a ≠ 0)的图象与y=ax2 (a ≠ 0)的图象的关系 2.二次函数y=a(x-h)2(a ≠ 0)的图象与y=ax2(a ≠ 0) 的图象的关系 当h>0时，向右平移h个单位 y=ax2 y=a(x-h)2 当h＜0时，向左平移个单位 当c>0时，向上平移c个单位 y=ax2 y=ax2+c 当c＜0时，向下平移个单位 情境引入 二次函数y=a(x-h)2+k的图象有什么特征？它与二次函数 y=ax2的图象有什么关系？比如，二次函数y=2(x-1)2+3的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？ 本节课我们将继续研究二次函数的图象与性质. 新知探究 10 8 6 4 2 -2 y x -4 -2 O 2 4 y=2x2 探究一：二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 (1)二次函数的图象是什么样的?你能由二次函数y=2x²的图象得到它吗？你是怎么得到的？ 二次函数的图象是一条开口向上的抛物线.对称轴是直线 x=1，顶点坐标是(1，3). 向右平移1个单位 y=2x2 y=2(x-1)2 向上平移3个单位 向上平移3个单位 y=2x2 向右平移1个单位 y=2(x–1)2+3 可以利用描点法或平移法作图. (2)如何由二次函数y=2x²的图象得到二次函数的图象呢？ x y O 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 y=2x2 y=2(x–1)2+3 新知探究 将二次函数y=2x²的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x+1)² -3的图象。 向左平移1个单位 y=2x2 y=2(x+1)2 向下平移3个单位 向下平移3个单位 y=2x2 向左平移1个单位 y=2(x+1)2 -3 新知探究 (3)一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数 y=ax2的图象有什么关系？与同伴进行交流. 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标见下表： 二次函数 图象特征 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=a(x-h)2+k 向上(a>0) 直线x=h （h，k） 向下(a<0) 新知探究 二次函数y=ax2 (a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的平移关系 知识归纳 平移规律简记为： 上下平移，括号外上加下减； 左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. y=ax2 y=a(x-h)2 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度， 再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 1.将抛物线 y=−5x² 向左平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A. y=−5(x−3)²+3     B. y=−5(x+3)²−3     C. y=−5(x+3)²+3     D. y=−5(x−3)²−3 新知探究 C 新知探究 知识归纳 二次函数 y=a(x-h)2+k的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h （h,k） 当x=h时，ymin=k 当x=h时，ymax=k 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小； 新知探究 2.对于抛物线y=-(x-2)2+4，下列说法正确的是（ ） A.抛物线的开口向上 B.对称轴为直线x=-2 C.顶点坐标为（2，4） D.x>2 时，y 随x 的增大而增大 C 新知探究 探究二：二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质 y = 2x2－8x+7 = 2(x2－4x)+7 = 2(x2－4x+4)－8+7 = 2(x－2)2－1 = 2(x2－4x+4-4)+7 可以用配方法把y＝2x2－8x＋7转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式． 提取二次项系数 配方 化为顶点式 (1)我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2－8x+7图象和性质吗？请你试一试. y = 2x2－8x+7 一般式 y = 2(x－2)2－1 顶点式 因此，二次函数y=2x2－8x+7的图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线=2；顶点坐标为(2,-1). 配方 新知探究 (2)说一说如何由二次函数y=2x2的图象平移得到y=2x2-8x+7的图象? 先画出二次函数y=2x²的图象，然后将这个图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数y=2x²-8x+7的图象。 (3)说一说由二次函数y=2x2-8x+7的性质. 新知探究 从图象可以看出： 当x<2时，y的值随着x值的增大而减小； 当x>2时，y的值随着x值的增大而增大； 当x=2时，y的值最小， y最小值=-1. 新知探究 解：(1) y = 3x2－6x+7 = 3(x2－2x)+7 = 3(x2－2x+1)－3+7 = 3(x－1)2+4 = 3(x2－2x+1-1)+7 (2) y = 2x2－12x+8 = 2(x2－6x)+8 = 2(x2－6x+9)－18+8 = 2(x－3)2－10 = 2(x2－6x+9-9)+8 ∴二次函数y=3x2－6x+7的对称轴是直线=1，顶点坐标为(1,4). ∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴是直线=3，顶点坐标为(3,-10). 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并与同伴进行交流. (1) y=3x2-6x+7； (2) y=2x2-12x+8； 新知探究 例：确定二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. 解：把二次函数y=ax²+bx+c的右边配方，得 y=ax²+bx+c =a(x²+x)+c =a[x²+x+()²-()²]+c =a(x+)² 因此，二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴是直线x= ， 顶点坐标是()。 新知探究 3.抛物线 y=x²−6x+5 的顶点坐标是（　　） A. (3,−4)     B. (−3,4)     C. (3,4)     D. (−3,−4) A 新知探究 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 (＞0) 开口向上，越大开口越小 直线= （,） =时， =时， 当＜，随的增大而减小； 当＞随的增大而增大。 当，随的增大而增大； 当＞，随的增大而减小。 (＜0) 开口向下，越大开口越小 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质： 知识归纳 新知探究 4.对于抛物线 ，下列说法正确的是( ) A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴为直线 C.抛物线的顶点坐标为 D.当时，随 的增大而减小 B 新知探究 本节我们对二次函数图象和性质的研究经历了怎样的过程?你积累了哪些经验? 研究过程是从特殊二次函数到复杂形式再到一般形式，通过画图、观察、归纳等方法得出函数性质等。 经验：研究函数可以采用从特殊到一般的方式，先分析简单形式的函数，再推广到复杂形式等(答案不唯一)。 典例分析 已知将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线y＝－(x＋1)2＋3.(1)试确定a、h、k的值；(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 例1 解：(1)抛物线y＝－(x＋1)2＋3的顶点坐标为(－1，3)，把点(－1，3)先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点(1，－1)， ∴原二次函数的表达式为y＝－(x－1)2－1， ∴a＝－，h＝1，k＝－1. (2)∵y＝a(x－h)2＋k＝－(x－1)2－1， ∴ 图象的开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)． 典例分析 已知二次函数y＝－x2－2x＋6.(1)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 例2 解：(1)∵y＝－x2－2x＋6＝－(x2＋4x)＋6 ＝－[(x＋2)2－4]＋6＝－(x＋2)2＋8， ∴顶点坐标为(－2，8)，对称轴为直线x＝－2. (2)令y＝0，得－x2－2x＋6＝0，解得x1＝－6，x2＝2. ∴ 当－6＜x＜2时，y＞0. 由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2， ∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小． 巩固练习 1.抛物线y=−(x−3)2+5的顶点坐标是（　　） A.（3，5） B.（﹣3，5） C.（﹣3，﹣5） D.（3，﹣5） A 2.抛物线y=−(x−3)2−4的对称轴是（     ） A．直线x=-3 B．直线x=3 C．直线x=4 D．直线x=−4 B 3. 二次函数 y=2(x−3)²+1 的图象上有三点 A(2,y₁)，B(4,y₂)，C(1,y₃)，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A. y₃>y₁=y₂     B. y₁=y₂>y₃     C. y₁>y₂>y₃      D. y₃>y₁>y₂ A 4.将抛物线y=4x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（      ） A．y=4(x+3)2+2 B．y=4(x−3)2−2 C．y=4(x+3)2−2 D．y=4(x−3)2+2 D 6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=，且经过点(2,0).下列说法：①abc>0；②−2b+c=0；③4a+2b+c=0；④若(−2,y1),(3,y2)是抛物线上的两点，则y1<y2；⑤对任意实数m，都有4m(am+b)<b(其中m≠).其中正确的结论有( )个. A．2 B．3 C．4 D．5 巩固练习 5.将二次函数y=x2+8x−3化为y=a(x-h)2+k的形式，正确的结果是（     ） A．y=(x−4)2+13 B．y=(x+4)2−19 C．y=(x+4)2−16 D．y=(x−4)2−19 B B 9.若二次函数y=(x−m)2+2，当x<1时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____． 巩固练习 7.将抛物线 y=2(x−1)²+3 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是 . y=2(x+1)² 8.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为直线 . x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 x= m≥1 巩固练习 10.已知抛物线y=−x2+6x−5． (1)通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； (2)当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 解：(1)∵抛物线y=−x2+6x−5=−(x2-6x)−5 =−(x2-6x+9-9)−5 =−[(x−3)2−9[−5 =−(x−3)2+9−5 =−(x−3)2+4 ∴该抛物线的顶点坐标是(3,4)，对称轴是直线x=3； （2）∵抛物线解析式y=−(x−3)2+4 ∴抛物线开口向下， ∴当x=3时，函数有最大值，最大值是4． 巩固练习 (3,2) (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. x＝3 11.已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点 (1，− 2)． (1) 抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； (2) 求 a 的值； (3)若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上, 试比较y1与y2的大小. ∴ y1＜y2. (3)∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 巩固练习 12.已知二次函数y=2x2−4x+5，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度m>0，平移后的抛物线经过点P(3,15)，求m的值． 解：∵二次函数的解析式为y=2x2−4x+5， ∴将该二次函数图象向上平移m(m>0)个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为y=2x2−4x+5+m， ∵平移后的抛物线经过点P(3,15)， ∴15=2×32−4×3+5+m， 解得：m=4． 课堂小结 二次函数的图象-第4课时 y＝a(x-h)2+k的图象与性质 y=ax2+bx+c的图象与性质 4.增减性、最值. 1.开口方向由a的符号决定； 2.顶点坐标是(h,k); 3.对称轴是直线x=h. 4.增减性、最值. 1.开口方向由a的符号决定； 2.顶点坐标是(); 3.对称轴是直线x= . 配 方 作业布置 1.必做题：习题5.2第3，6，7，8，9题。 2.探究性作业：习题5.2第10，11题。 感谢聆听! $