广东东莞实验中学2026-2027学年高三上学期阶段测试（一）数学试卷

东莞实验中学2026～2027学年高三阶段性考试（一） 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上方“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡按页码顺序交回。 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，（     ） A． B． C．    D. 2．对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 3．已知，则“”是“” 的( )条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 4．书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有( ) A．24种 B．15种 C．12种 D．6种 5．二项式展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，展开式中含的系数为（  ） A．480 B． C．960 D． 6．若，则( ) A． B． C． D． 7．若曲线的一条切线为（e为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 8. 将4个黑球和6个红球随机排成一列，事件“第k个球是黑球”，则下列正确的是( ) A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（    ） A．样本数据4，4，5，6，5，7，9的中位数为6 B．经验回归直线一定过样本中心点 C．若随机变量满足，则 D．若随机变量X服从正态分布，且，则 10．已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．在区间上单调递减 C．是奇函数 D．在区间上恰有2个极值点 11．已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.以下结论正确的有（     ） A． B．集合的元素个数为9 C．存在，对任意的，有 D．对任意都成立，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的面积为 ． 13．已知关于x的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数a = ． 14．设A，B，C是的三个内角，则的最大值是 ． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共77分。 15．（13分）已知函数 (1) 求函数最小正周期和最小值； (2) 求函数在上的单调递增区间. 16．（15分）已知函数． (1) 当时，求在上的值域； (2) 讨论的单调性． 17．（15分）大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A，B两种类型，且两种类型 的题目数量相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A，B两类试题中随机选择1题作答， 笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A类试题的概率均为，答对B类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立． (1)求甲两题均选择A类试题作答的概率； (2)若甲第1题选择B类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望． 18．（17分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 19．（17分）已知函数，若存在及，使得，且（为的导函数），则称为的动力平衡点． (1)若，求的所有动力平衡点及其对应的的值； (2)若存在动力平衡点，求的取值范围； (3)若，判断是否存在动力平衡点，若存在，求出动力平衡点的个数；若不存在，请说明理由． ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $东莞实验中学2026~2027学年高三阶段性考试（一）数学参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 凸 y 0 0 D BCD AD AD 4π V5+1 12.3 13.2 14.2 部分小题详解：8由题意知，事件A=“第个球是熙球”，可得A)== A85 对于A,事件44表示第1和第2个球是黑球，可得P(44)=AA_2 A815 因为)P风4)-学号若所以74)产P44.肩A特款： 对于B,事件A+4,表示第1或第2个球是黑球， 2,222 可得P(4+4)=P(4)+P(4)-P(44)=5+号5有 因为P氏A)+P氏4)等，所以P氏4+4)≠P(4)+P(4):所以B错误 P(41A)= P(4A)_2.2_1 对于D, P4)1553 所以D错误： n对7=加+则）-2，图，司3g数A 对于B,由f(x+2)=2+32=2m+3网=f(),则f)周期为2，故讨论x∈0,2m]即 可， 当x=0时，f)=2+3=4,当x=时，f)=2+38=3 当x,-243手当-受-2 当x=2π时，f(x)=2°+3=4， 当*e0到时f因=2+-2当经时倒-2+3-手 当*（时=2+3-当*（2，间=2+- 故该集合元素个数为6，故B错误； 对于C,因为函数的周期为2m,由B选项知当x∈[0,2m列时，不存在aeR,有f(a-x)=f(a+x), 所以对任意的x∈R,不存在a∈R,有f(a-)=f(a+x),故C错误： 对于D,当x=0时，f()-x=2°+3-0=4 当x-时，f)-x=2+3”-受=3-至 2 当x=2m时，f(x)-x=2°+3-2π=4-2元 当x0到时，-=2”+3”-=2-x2-2, 第1页共5页 π 3π (3-2m22 当[贤.-9号 33 而f()>x+a对任意x∈[0,2x]都成立，故a<f(x)-x恒成立， 令8()=f(x)-x,即a<g(x)x∈[0,2m, 而小>号2红，故a号-2a复成立，即0（一2， 故D正确 14. sin inCo)-c sin A+sin B-sin Cs sin 22 15.(1)f()=sinx-cosx+23sinxcosx =3 sin 2x-cos2x=2sin(2x-Z) 61 3分 则2 .-2≤f(x)s2 5分 故函数c)的最小正周期是π；最小值是-2： 6分 +2kx≤2x-TsT+2hπ，k∈Z. (2)令2 62 +缸≤x≤+keZ 则f)在6 上单调递增 9分 收t=0=1,动际海 5π x∈ 12分 故内的单调选消X间是孕，冬 13分 16山)当。=0时=x-h,则=1-士 2分 当x∈，2]时f(20恒成立，所以)在l,2]上单调递增4分 又f0=l,f2)=2-n2,所以f在，2]上的值域为，2-ln2】 6分 (2)函数f()=(a+1k-nx的定义域为0，+∞）， 又/9=a小-a- x 9分 当a+1≤0，即a≤-1时f()小<0恒成立，所以)在0，+0)上单调递减： 11分 当a+1>0,即a>-1时，当 <x< 1 X> a+1时fxk0,当>a+1时f)>0, 所以问在0。司上原调运成，在。 1 上单调递增；14分 第2页共5页 综上可得： 当a≤-l时fr)在(0，+∞)上单调递减： 1 当a>-1时f()在 0 a+1 上单调递减，在a+ 上单调递增 15分 1111 17.(1)若甲第1题选择A类试题作答并且答错，则第2题选择A类试题作答的概率P=2×2×行2， …2分 1121 若甲第1题选择A类试题作答并且答对，则第2题选择A类试题作答的概率B=2×2×;石 22361 .4分 故甲2烟均适择A关试题作答的展P日。 6分 (2)由题可知，X的所有可能取值为0,1,2， 则x-0分号 8分 2x2x1+2xx1+Ixx2+1x2x1-4 P(X=)=××5+×5×5+×5× 3333323333329 10分 mx-号号 12分 故X的分布列为： X 0 y 4 4 P 11 27 9 27 则E(X)=0 27+1×号+2 1134 2727 15分 18.(1)由(c-V2bcos4+acosC=0及正弦定理得： (sinC-v2sinB)cosA+sinAcosC=0 因为sinCcos4-+sinAcosC=sin(A+C)=sin(π-B)=sinB 所以sinB1-V2cosA)=0. 2分 又0<B<π，sinB>0, 3分 .cos4=v2 2 .4分 又0<A<π， 5分 鼓4=： 6分 （②）由余弦定理=+c2-26co4:又0=24= 4 所以b2+c2-V2bc=4,所以(b+c2-(（2+2)bc=4, 8分 由b+c=2W2可得bc=4-2V2, 9分 s-3besin4-1x6-2 故△ABC的面积2 11分 (3)由正弦定理可知si b=22,故b=22simB” 12分 第3页共5页 因为 是锐角三角形，所以 0<C<π →<B< 4 13分 4 △ABC A+B+C=π 2b2+3a22×8sin2B+124sin2B+3V2 3 所以 4sinB+- 2b 2×2W2sinB 2sinB 2 sinB 15分 令sinB=y=4+ V2 t’2 <t<l, 由对遇数的指质可克当是19 2时，y单调递增：当 <t<1,y单调递减…16分 时，人=46：当1= 当13 2时，y=52:当=时，y=7: 为537用以y5同，数沙6 17分 19.(1)因为f(x)=x,所以f'(x)=2x,f(x)=2, 1分 由题意得2x,=,-),① 2=2(x-x0),② 2分 结合1≠0显然6≠0：且50得=己 1-x 代入②，得2=红 1 解得6行无=3 4分 2)f)=nr-x-a:f)=l,f(= 5分 白题意得名1=2+a-h),@ =(2x+a-）,④ .6分 7分 设g(x)-nx-2-1x>0,则g)-1-2x=1-2x 8分 当xeo,2时，g女≥0？g(内)单调递增，当*2 g(x)<0:g(x)单调递减10分 11分 (3)假设f(x)存在动力平衡点， f(x)=x-x-4,f'(x)=3x2-1,f"(x)=6x, 12分 由题意得3x6-1=(-云+2，+4)⑤6x,=(-+2x,+4)⑥ 13分 第4页共5页 由⑤⑥得(3x6-=6x(x+2x+4), 整理得15x-18x-24x+1=0,设h(x)=15x-18x2-24x+1, 14分 则r-6ar-6r-4-125r-a-2-12-明6+5+2l2-+写+ 所以x∈(-o,时，h(x)<0,h(x)单调递减，x∈(1，+o)时，(x)>0,h(x)单调递增…l6分 又h()=-26<0,h(0)=1>0,h(2)=121>0,所以h(x)在区间(0，)，(1,2)上各有一个零点， 所以f(x)有2个动力平衡点. 17分 第5页共5页