学考专题04 指数对数幂函数：知识梳理+考点精讲精练+实战训练（讲义，全国通用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题04 指数对数幂函数 【析】学考考查要点｜【汇】知识清单盘点｜【研】核心考点精讲｜【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心考点精讲 考点一 指数 考点二 指数函数的概念 考点三 指数函数的图象 考点四 指数（型）函数的单调性 考点五 指数（型）函数的值域、最值 考点六 对数运算 考点七 对数函数的图象 考点八 对数（型）函数的单调性 考点九 对数（型）函数的值域、最值 考点十 指数、对数大小比较 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 指数与指数函数 指数幂的运算 理解根式与分数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质 理解/掌握 选择、填空 指数函数的概念 了解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数 了解 选择、填空 指数函数的图象 掌握指数函数的图象特征，会识别与变换图象 掌握 选择、填空 指数函数的单调性 理解指数函数的单调性，会求单调区间与参数范围 理解/掌握 选择、填空、解答 指数函数的值域与最值 会求指数（型）函数的值域与最值 掌握 选择、填空、解答 对数与对数函数 对数的概念与运算 理解对数的概念，掌握对数的运算性质与换底公式 理解/掌握 选择、填空 对数函数的图象 掌握对数函数的图象，会识别与平移变换图象 掌握 选择、填空 对数函数的单调性 理解对数函数的单调性，会求单调区间与参数范围 理解/掌握 选择、填空、解答 对数函数的值域与最值 会求对数（型）函数的值域与最值 掌握 选择、填空、解答 大小比较 掌握指数、对数式大小比较的常用方法 掌握 选择、填空 幂函数 幂函数 了解幂函数的概念，掌握五种常见幂函数的图象与性质 了解/掌握 选择、填空 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做 ，其中叫做根指数，叫做被 ． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时， ；当为 ， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是 (，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是 (，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂 ． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为 在定义域上为 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 5、对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作 ，其中叫做对数的底数，叫做 . （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数 . （3）对数式与指数式的互化： . 6、对数的性质、运算性质与换底公式 （1）对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： ①负数和零没有对数，即； ②1的对数等于0，即 ； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式 . （2）对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③. （3）对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①； ②； 7、对数函数及其性质 （1）对数函数的定义 形如 (，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是 ． （2）对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点 ，即当时， 在上是 在上是 考点一 指数 例题1 （2025黑龙江）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （2023福建）已知，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 例题3 （2023山西）________． 1．（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．已知，则的最小值为______． 3．已知函数，则_____． 考点二 指数函数的概念 例题1 （2024安徽）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 例题2 （2023湖南）已知函数（，且）的图象过点，则______. 1．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 2．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 3．已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 考点三 指数函数的图象 例题1 （2024湖南）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 例题2 （2023湖北）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 例题3 函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 1．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   3．（多选）函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 考点四 指数（型）函数的单调性 例题1 （2023河北）已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 例题2 若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 例题3 是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（      ）. A． B． C． D． 1．已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 考点五 指数（型）函数的值域、最值 例题1 （2024云南）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 例题2 （2023宁夏吴忠）函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 例题3 （2023福建）函数，. (1)求函数的定义域； (2)若为奇函数，求m的值； (3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围. 1．在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，. (1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）； (2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围. 考点六 对数运算 例题1 （2025湖南）（    ） A． B． C． D．2 例题2 （2025湖南娄底）若与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 例题3 （2026江苏南通）______. 1．（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 2．（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 3．已知，则a的值可以为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．已知，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点七 对数函数的图象 例题1 （2024安徽）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 例题2 函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   例题3 已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 1．如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数且过定点，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图像是（   ） A． B． C． D． 考点八 对数（型）函数的单调性 例题1 （2026北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 例题2 （多选）函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 例题3 （2024湖北）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 1．已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 3．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 考点九 对数（型）函数的值域、最值 例题1 （2023辽宁）已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 例题2 （2026浙江）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3 （2023辽宁）已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 1．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． 3．已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 考点十 指数、对数大小比较 例题1 （2025山东）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （2025湖南）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题3 （2024福建）三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．设，，则，，1的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 练 1．（   ） A． B． C．2 D． 2．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．计算：________． 12．_________． 13．已知，则__________. 14．已知函数若，则______. 15．已知函数且. (1)当时， ①若，求的值； ②当时，用定义证明函数是上的减函数； (2)若为偶函数，且，求的取值范围. 16．已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 17．若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 20．已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数对数幂函数 【析】命题方向解读|【汇】知识清单盘点|【研】核心专题精讲|【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心专题精讲 考点一 指数 考点二 指数函数的概念 考点三 指数函数的图象 考点四 指数（型）函数的单调性 考点五 指数（型）函数的值域、最值 考点六 对数运算 考点七 对数函数的图象 考点八 对数（型）函数的单调性 考点九 对数（型）函数的值域、最值 考点十 指数、对数大小比较 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 指数与指数函数 指数幂的运算 理解根式与分数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质 理解/掌握 选择、填空 指数函数的概念 了解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数 了解 选择、填空 指数函数的图象 掌握指数函数的图象特征，会识别与变换图象 掌握 选择、填空 指数函数的单调性 理解指数函数的单调性，会求单调区间与参数范围 理解/掌握 选择、填空、解答 指数函数的值域与最值 会求指数（型）函数的值域与最值 掌握 选择、填空、解答 对数与对数函数 对数的概念与运算 理解对数的概念，掌握对数的运算性质与换底公式 理解/掌握 选择、填空 对数函数的图象 掌握对数函数的图象，会识别与平移变换图象 掌握 选择、填空 对数函数的单调性 理解对数函数的单调性，会求单调区间与参数范围 理解/掌握 选择、填空、解答 对数函数的值域与最值 会求对数（型）函数的值域与最值 掌握 选择、填空、解答 大小比较 掌握指数、对数式大小比较的常用方法 掌握 选择、填空 幂函数 幂函数 了解幂函数的概念，掌握五种常见幂函数的图象与性质 了解/掌握 选择、填空 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 5、对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数. （3）对数式与指数式的互化：. 6、对数的性质、运算性质与换底公式 （1）对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： ①负数和零没有对数，即； ②1的对数等于0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式. （2）对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③. （3）对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①； ②； 7、对数函数及其性质 （1）对数函数的定义 形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． （2）对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点，即当时， 在上是单调增函数 在上是单调减函数 考点一 指数 例题1 （2025黑龙江）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】由幂的运算性质可得答案. 【详解】. 故选：D 例题2 （2023福建）已知，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算作答. 【详解】因为，，所以. 故选：D 例题3 （2023山西）________． 【答案】 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的性质进行计算. 【详解】原式 故答案为： 1．（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 故选：D. 2．已知，则的最小值为______． 【答案】4 【知识点】函数的值域与最值 【分析】利用基本不等式即可求出答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时，取等号． 故答案为：4. 3．已知函数，则_____． 【答案】2 【知识点】指数幂的运算 【分析】由分数指数幂的运算公式计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：2. 考点二 指数函数的概念 例题1 （2024安徽）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【知识点】指数函数的概念 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 例题2 （2023湖南）已知函数（，且）的图象过点，则______. 【答案】2 【知识点】函数图象的识别 【分析】根据指数函数经过的点即可求解. 【详解】将代入得， 故答案为：2 1．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】函数图象的识别 【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 2．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】指数函数的概念 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 【答案】 【知识点】指数函数的概念 【分析】根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可. 【详解】由题意有，解得或， 当时，，此时，，所以，舍去； 当时，，此时，，所以，满足题意． 故. 考点三 指数函数的图象 例题1 （2024湖南）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的识别 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 例题2 （2023湖北）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数、对数的大小比较 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 例题3 函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象的识别 【分析】讨论、确定对应，结合指数函数的图象及排除法确定函数的图象. 【详解】当时，为减函数，排除C、D， 当时，为增函数，排除B. 故选：A 1．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】函数图象的识别 【分析】设，根据解析式得出函数的奇偶性以及单调性，即可得出答案. 【详解】设，则，所以为偶函数，所以A、B项错误. 又当时，为增函数，所以C项错误，故D项正确. 故选：D. 2．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【知识点】函数图象的识别 【分析】根据函数图象的变换确定函数的图象. 【详解】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B 3．（多选）函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】CD 【知识点】函数图象的识别 【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 考点四 指数（型）函数的单调性 例题1 （2023河北）已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】利用换元法，结合二次函数和指数函数的单调性，最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，函数可化为为， 因为函数开口向上，对称轴为，即. 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减，又因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可得，函数在上单调递减. 故选：B. 例题2 若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递减. 例题3 是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（      ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】直接根据分段函数的单调递增所满足的三个条件计算可求解. 【详解】因为分段函数在上单调递增，需要同时满足三个条件： ①当时，指数函数且单调递增，所以底数需满足； ②当时，一次函数单调递增：所以一次项系数需满足，解得； ③在分界点处，左段的函数值不能超过右段在处的起始值， 即当时： ，化简得，解得. 联立三个条件，解得，即. 因此实数的取值范围为. 故选：D. 1．已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】二次函数在上递增，指数函数在 上递增，左段在处的函数值右段在处的函数值. 【详解】，开口向下，对称轴为， 因为在递增，所以对称轴,解得, 因为单调递增，所以， 因为在上单调递增， 所以, 解得,即， 则实数的取值范围是，即实数的取值范围是，即. 2．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调性法则把题目转化成二次函数单调性问题. 【详解】令，由于底数 ，所以指数函数 在上单调递减， 因此 的单调性与 的单调性相反， 要使 在 上单调递减，必须要求 在区间上单调递增. 二次函数 开口向上，对称轴为 ， 要使 在区间上单调递增，只需满足对称轴在区间的左侧， 即：. 故选： A 3．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】根据指数函数严格递减的性质列关于底数的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】对于指数函数（且）， 函数在上是严格减函数， 则且，得且. 所以，实数的取值范围是. 考点五 指数（型）函数的值域、最值 例题1 （2024云南）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】函数的值域与最值 【分析】利用指数函数单调性计算即可得出结果. 【详解】易知函数在区间上单调递减， 所以其最大值为. 故选：A 例题2 （2023宁夏吴忠）函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 【答案】A 【知识点】函数的值域与最值 【分析】判断函数的单调性，利用单调性求出最大值即得. 【详解】函数在R上单调递减， 所以当时，. 故选：A 例题3 （2023福建）函数，. (1)求函数的定义域； (2)若为奇函数，求m的值； (3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数的定义域 【分析】（1）由具体函数的定义域可得，求解即可； （2）由化简即可得出答案； （3）由题意可得在恒成立，令，由基本不等式求出即可得出答案. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以的定义域为. （2）若为奇函数，所以， ，所以， 所以，所以. （3）当时，, 所以不等式在恒成立，即， 即，令， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当取等， 所以. 故k的取值范围为. 1．在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】函数的值域与最值 【分析】根据条件，利用的单调性，得到，即可求解. 【详解】因为区间上单调递增，又，， 所以，解得. 故选：C. 2．函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】函数的值域与最值 【分析】根据题意结合指数函数单调性分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 且在上单调递增，可得， 所以函数的最小值为1. 故选：B. 3．函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的值域与最值 【分析】根据指数函数的单调性来得到值域. 【详解】因为， 那么可知 ， 而函数在上是增函数，故有：， 所以: ，故C项正确 故选：C. 4．已知函数，. (1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）； (2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递增 (2) 【知识点】函数的值域与最值 【分析】（1）函数为奇函数，举特例求出的值，再证明函数为奇函数，根据的正负，可观察出 在上单调性. （2）由题意可知，而，分，， 讨论求解. 【详解】（1）∵为奇函数， 则，解得. 此时， 又，又的定义域为， 此时为奇函数 所以若为奇函数，， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 又为定义在上的连续函数， 故在上单调递增. （2）当时，，∴ . ①当时，在上单调递增，∴，，∴. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，∴. ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，不成立. 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：本题中对任意，总存在唯一的，使得成立的理解及合理转化是解题的关键所在，先处理任意，求出函数的值域，为，则总存在唯一的，使得成立转化为值域包含且在时函数单调，据此可分类讨论，列出不等式求解. 考点六 对数运算 例题1 （2025湖南）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 例题2 （2025湖南娄底）若与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数的运算公式即可得解. 【详解】由题意可知，则，. 故选：C. 例题3 （2026江苏南通）______. 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】由对数运算，指数运算法则可得答案. 【详解】因，，， 则. 故答案为：. 1．（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算性质，进行计算即可. 【详解】由题意，得， 故选：B. 2．（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数的运算性质计算求解即可. 【详解】由对数的运算性质可得， 故选：C 3．已知，则a的值可以为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数换底公式，对数方程，利用代数变换求解未知数，然后利用对数的基本性质求解即可． 【详解】， ， 设，则，解得或， 即或，解得或4， 故选：B． 4．已知，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】由公式可得A、 B；换底公式可得C；可得D. 【详解】，故A错；，故B错； ，故C对；，故D错. 故选：C. 考点七 对数函数的图象 例题1 （2024安徽）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的识别 【分析】根据给定条件，利用函数图象与非正半轴的交点个数及在上单调性判断即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，排除AB； 当时，由，得或，此时函数图象与非正半轴有2个交点，排除C，选项D符合题意. 故选：D 例题2 函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数图象的识别 【分析】由代入可得，进而可得，根据对称性及对数函数图象即可选择符合条件的图象. 【详解】由题意得函数满足，可得． 而函数关于对称， 所以函数的图象为如下，故B正确.    故选：B． 例题3 已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的识别 【分析】化简对数型函数后可得正确的选项. 【详解】因，故，故， 而与关于对称， 各选项中只有B满足， 故选：B. 1．如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的识别 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，与关于直线对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为. 故选：B 2．已知函数且过定点，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的识别 【分析】先根据指数函数的性质求出函数所过的定点，即可求出，再根据对数函数的图象与性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数且过定点， 所以， 则，其图象关于对称，且在上单调递减， 则符合的图象为D选项. 故选：D. 3．函数的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的识别 【分析】根据题意，结合对数型函数的性质，以及，即可求解. 【详解】由函数，可得，解得， 即函数的定义域为，可得排除C、D选项； 又由，可排除A选项，所以B选项符合题意. 故选：B. 考点八 对数（型）函数的单调性 例题1 （2026北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数函数的单调性 【详解】在上单调递减，选项A错误； 开口向下，对称轴是轴，在区间上单调递减，选项B错误； 是指数函数，底数，在上单调递减，选项C错误； 是对数函数，底数，在区间上单调递增，选项D正确. 例题2 （多选）函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】ABC 【知识点】函数的值域与最值 【详解】首先对数真数需满足，解得定义域为. 令真数，对称轴为，代入得最大值，因此真数范围为. 函数的底数，在上单调递减：当时，取最小值； 当时，，故函数值域为. 选项A：，符合要求； 选项B：，符合要求； 选项C：，符合要求； 选项D：，不符合要求. 例题3 （2024湖北）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；证明如下： 当时，， 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递减； 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增； (2)存在，， 【知识点】函数的定义域 【分析】（1）结合函数的定义域，分区间和，证明函数的单调性； （2）根据函数的定义域，确定，并根据确定，并代入验证函数是奇函数. 【详解】（1）略 （2）， 因为，若函数是奇函数，则，即，则， 所以， ，即， 所以，， ， 所以只要满足，，即，时，函数是奇函数. 【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，. 1．已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数、对数函数的单调性 【详解】令，则， 因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性法则，结合对数函数的定义域，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 且函数在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为. 【知识点】函数的定义域 【分析】（1）根据解析式有意义解不等式可得； （2）根据图象过点求a，然后由复合函数单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知，即， 解得，所以函数的定义域. （2）由函数的图像过，有，解得， 令，则， 因为为增函数，在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数单调性可知，函数在的增区间为，减区间为. 考点九 对数（型）函数的值域、最值 例题1 （2023辽宁）已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的值域与最值 【分析】根据对称性可知，利用二次函数及对数函数单调性即可求得值域为. 【详解】因为与的图象关于对称，所以与互为反函数， 即可得． 因为，所以， 因为，所以在上单调递减， 即可得，即的值域为． 故选：D． 例题2 （2026浙江）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】函数的值域与最值 【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解． 【详解】若函数的值域为，则函数的图象与轴有交点， 所以，则或， “”是“或”的充分不必要条件. 例题3 （2023辽宁）已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数的值域与最值 【分析】（1）当时，代值计算可得的值； （2）由题意可得，即可求得实数的取值范围； （3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，． （2）若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 1．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的值域与最值 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 2．函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】函数的值域与最值 【分析】对数函数 的定义域为 ，值域为 ，所以只需使 的正值部分取遍 ．分 ，， 三种情况讨论． 【详解】令 ． 当 时，． 当 时， 可以取遍 ，所以符合题意． 当 时，函数 的图象开口向上． 要使 的正值取遍 ，其最小值必须小于或等于 ． 因为且 ，所以 ，解得 当 时，函数 的图象开口向下， 有最大值，所以它的正值不能取遍 ，不符合题意． 综上，实数 的取值范围为 3．已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数的值域与最值 【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域. （2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解. 【详解】（1）因为， 由对数函数单调性可知，当时，， 令，，函数，， 函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当时，函数的值域为. （2）当时，，令，， 不等式，则在上有解， 即在上有解，函数在上单调递增， 当时，. 所以的取值范围是. 考点十 指数、对数大小比较 例题1 （2025山东）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数函数的单调性 【详解】对于，底数，函数为增函数， 因为，故，即； 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 故 例题2 （2025湖南）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 例题3 （2024福建）三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数、对数的大小比较 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：A 1．设，，则，，1的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数的大小比较 【详解】因为，， 所以. 2．设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数、对数的大小比较 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解. 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】由指数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数均在上递增， 则，即. 故选：A 练 1．（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】. 故选：A 2．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 3．已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的值域与最值 【分析】利用对数函数的单调性即可求得函数的值域 【详解】因函数在时为增函数， 故，即， 故的取值范围是. 故选：B. 4．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数的大小比较 【分析】根据对数的概念计算出a，根据负指数幂的概念计算出b，从而可以比较大小． 【详解】， ∴， 故选：D． 5．已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】指数、对数函数的综合应用 【分析】证明充分性时，假设成立，研究是否成立，证明必要性时，假设成立，研究是否成立，即可得出结论. 【详解】充分性：存在成立但不成立的情况，例如，，，，但，因此充分性不成立； 必要性：当时，，因此必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】结合指数函数、对数函数单调性逐项判断. 【详解】函数、、在上都单调递减，ABC不是； 函数在上单调递增，D是. 故选：D 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的定义域 【分析】由对数函数的性质可得. 【详解】由对数函数的性质可得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 8．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的定义域 【分析】使分母不等于，及对数的真数大于即可求解. 【详解】要使有意义，则有，解得且， 所以的定义域为. 故选：D. 9．在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得. 【详解】对A：在上单调递增，故A错误； 对B：在上单调递增，故B错误； 对C：在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D：在上单调递减，故D正确. 故选：D. 10．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的定义域 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设可得，故， 故函数的定义域为 故选：C. 11．计算：________． 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数的运算性质计算可得结果. 【详解】. 故答案为：. 12．_________． 【答案】2 【知识点】指数、对数函数的综合应用 【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果. 【详解】. 故答案为：2. 13．已知，则__________. 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 14．已知函数若，则______. 【答案】3 【知识点】指数、对数函数的综合应用 【分析】首先求出，再对分类讨论即可. 【详解】， 则，， 当时，由，得； 当时，由，得.（舍去） 故答案为：3 15．已知函数且. (1)当时， ①若，求的值； ②当时，用定义证明函数是上的减函数； (2)若为偶函数，且，求的取值范围. 【答案】(1)①， ②当时，， 任取，且，令， 则， 因为是R单调递增函数，所以，则， 即，即， 又是上的增函数， 则， , ， 所以是R上的减函数. (2). 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】（1）①根据代入运算得解；②利用函数单调性定义证明即可； （2）由为偶函数，得，解得，进而得，利用在上单调递增，求出的范围. 【详解】（1）当时，， ①若，则，解得. ②略 （2）若为偶函数，则， 即， 所以，即， ，则， 因为在上单调递增，且， 所以由，得， 所以的取值范围为. 16．已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数、对数函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数的性质,即可求解; （2）根据函数解析式结合对数函数的单调性可解. 【详解】（1）令，则， 即． 又为定义在上的奇函数， 所以． （2）因为在上是奇函数，所以， 所以等价于不等式组，或，或， 解得或或， 故不等式的解集为． 17．若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的定义域 【分析】根据解析式代入检验判断A，取特殊值检验判断BC，根据解析式及基本不等式可判断D. 【详解】对A，，，所以满足条件，故A正确； 对B，取，，不满足条件，故B错误； 对C，取，，不满足条件，故C错误； 对D，，，， 由知当时，，故，故D错误. 故选：A 18．（多选）十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】函数的定义域 【分析】根据所给定义一一计算可得. 【详解】对于A：，则，所以，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，所以，故C正确； 对于D：定义域为，则当时，此时无意义，故D错误； 故选：AC 19．已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数的值域与最值 【分析】（1）将指数式化为对数式即可； （2）利用偶函数的定义求解即可； （3）把问题转化成最值问题，根据的正，零，负三种情况进行分类讨论，利用函数的单调性求出各自的最值，建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 解得：； （2）为偶函数， ， 恒成立， 所以； （3）由（2）知：， 对任意的，存在，使得恒成立， 将问题转化为：， 当时，即或， 开口向上，对称轴为， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 当时，即或， 为常函数， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， 所以； 当时，即， 开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 综上所述：实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了指数式化为对数式，偶函数、利用单调性研究函数的最值，解题的关键是将不等式恒成立问题转化为最值问题，同时需要注意分类讨论思想的使用． 20．已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】指数、对数的大小比较 【分析】（1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. 【详解】（1）当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． （2）（i）的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $