第2章 第8节 函数与方程-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

数f(x)为偶函数，排除AC；当x∈(0,1)时，lnx<0,x2十 2>0,所以f(x)<0,排除D.故选B [答案]B 6.[解析]本题考查函数图象的识别.设f(x)=rcos x十 sinx,f(x)的定义域为R.因为f(-x)=-xcos(-x)十 sin(一x)=一f(x),所以f(x)为奇函数，排除选项C,D.又 f(π)=πcosπ十sinπ=一π<0，排除选项B,故选A [答案]A 7.[解](1)函数f(x)的图象如图所示： (2)fm)={(?,0≤m≤2 4 【8-2m,2n≤≤4 3 当0≤n≤2时，f(x)=2"≥2，可得 2 1m2, 当2<m≤4，f(x)=8-2x≥2，可得：2-1012345 2m3, 所以f(n)≥2的解集为：{m1≤3}， -2 所以m的取值范围为{n1≤m≤3}. 第八节函数与方程 教材梳理 知识点1(1)横坐标(2)x轴零点(3)(a,b) 思考：提示：不是.函数的零点不是点，而是函数图象与x轴交 点的横坐标 知识点2(x1,0)(x2,0)(x1,0)无交点210 诊断自测 1.[解析](2)f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内 有零点的充分不必要条件，故(2)错误 [答案](1)/(2)×(3)/ 2.[解析]函数定义域为(0，十∞)，函数f(x)在(0，十∞)单调 递减，由一0，fx)→+0f1)=: f(2)=}-1g2=1-4g2=1-g16, 又因为1g16>1,所以f(2)=1-g16<0: 所以f01)·f2)<0,所以函数f)-(合)》广-1gr的零点 所在的一个区间为(1,2).故选B. [答案]B 3.[解析]根据零点存在定理，在零点的左右附近，函数值不 改变符号，所以不能用二分法求函数零，点，故选A [答案]A 4.[解析]由题意令f(x)=0有x3-4x2+5.x-2=(x-1)2 (x一2)=0，解得x=1或x=2,所以f(x)的零，点为1和2，所 以f(x)有2个零点.故选C. [答案]C 5.[解析]令函数f(x)=2十3x一k,则f(x)在R上是增函 数.当方程2x+3.x=k的解在(1,2)内时，f1)·f(2)<0,即 (5一k)(10-k)<0,解得5<k<10. 又当f(1)=0时，k=5. 综上，实数k的取值范围是[5,10) [答案][5,10) 典例精讲 [例1][自主解答](1)已知f(x)=8x3+2x一17，因为 y=x,y=x都是R上的增函数，所以函数f(x)=8.x3十2x -17是连续的增画数，易知f1)=10-17=-7<0,f(多） =30-17=13>0,可知f1)f(号） 2 0,故函数f(x)=8x3+ 3） 2x一17的零点所在的区间是(1，号)，故选C, (2)由题意可知f(x)的定义域为(0，十∞).在同一平面直角 坐标系中作出函数y=x一2(x>0),y=lnx(x>0)的 图象. 由图可知函数f(x)在定义域内的零，点个数为2.故选C [答案](1)C(2)C [例2][自主解答]因为y=f(x)=2x3一3.x2一18x+28, 所以f(1)=9,f(2)=-4, & 取区间中点x1=1.5,且f(1.5)=1>0,从而可知零点在 (1.5,2)内： 再取区间中点x2=1.75,且f(1.75)=-1.96875<0,从而 可知零点在(1.5,1.75)内； 同理取区间中点x3=1.625,且f(1.625)≈-0.6<0，从而 可知零点在(1.5,1.625)内： 故此函数的零，点是x≈1.6. 「答案11.6 [例3][自主解答](1)当0<x<80,x∈N时， Lx)=500X1000x三号x2-10.x-250 10000 -÷r+40r-250: 当x≥80时，x∈N时， Lx)=500X1000r-51x-10000+1450-250 10000 x =1200-（x+10000) -1x2+40x-250(0<x<80),x∈N+), .L(x)= 1200-(x+10000)≥80.x∈N). (2)当0<x80,x∈N+时，L(x)= 号-60)+950， .当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=950, 当x≥80，x∈N+, L(x)=1200-(x+10000）<1200-2√1000 x x =1200-200=1000, 当x=10000,即x=100时， L(.x)取得最大值L(100)=1000>950. 综上所述，当x=100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为 100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大 高考再现 1.[解析]由题意得， ①在g(x)=x2-cosx-c2中，g'(x)=2.x+sinx,g(1)=1- cos 1-c4, g(-x)=(-x)2-cos(-x)-c2=x2-cos x-c2=g(x), 数为偶函数， 在h(x)=g'(x)=2x十sinx中，h'(x)=2+cosx>0, .函数h(x)单调递增， 又，h(0)=g(0)=0十0=0， .当x<0时，h(x)=g(x)<0, 当x>0时，h(x)=g(x)>0, .g(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， .函数在x=0处取最小值，g(0)=0一cos0一c2=一1一c2, 在f(.x)=|x2-cosx-c2|中， f(-x)=|(-x)2-cos(-x)-c2|=|x2-cosx-c2|= f(x),∴fx)为偶函数，当g(x)在（一1,1]内有零点时， 即3∈(-1,0)，x2∈(0,1)，使得f(r)=f(x2)=0, 此时f(x)在(-1，x1],[0,x2]上单调递减，在[x1,0],[x2, 1]上单调递增， f(x1)=f(x2)=0,f(0)=-g(0)=1+c,f(1)=g(1)= 1-c0s1-c2, 1+c2>1-cos1-c2,.f(0)>f(1), ∴f(.x)在x=x1和x=x2处取最小值，f(x)mm=0, 在x=0处取最大值，f(.x)mx=1十c2, 当g(x)在(-1,1]内无零点时，f(x)=-g(x)=-x2十 cos x+c4, f(x)在（一1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减， .fx)在x=1处取得最小值，f(x)mm=f(1)=-1十cos1十c2, 在x=0处取得最大值，fx)mx=f0)=0十cos0+2=2+1,故 ①正确； ②当=1时， f(x)=|x2-cosx-11,g(x)=x2-cosx-1,f(1)=11- cos 1-1=cos 1>0, 7 由①可得，g(x)在(0，十∞)上单调递增， g(1)=1-cos1-1=-cos1<0, g(2)=22-cos2-1=3-cos2>0, .3x∈(1,2)，使得g(x5)=0, .在f(.x)=x2-cosx-1中，x∈(1,2]， 此时f(x)在(1，x5]上单调递减，在[x5,2]上单调递增， ∴.f(x)在x=2处取最大值，②正确： ③同①可得推广结论， 在f(.x)=|x2-cosx-c2|中，f(0)=|0-cos0-c2|= 1+c2, f(-x)=|(-x)2-c0s(-x)-c2|=|x2-cosx-c2|= f(x),为偶函数， 即3x1∈(-∞，0)，x2∈(0，十∞)，使得g(x1)=0,g(x2) =0, 此时f(x)在（一o∞，x1门，[0，x2]上单调递减，在[x1,0],[x2, 十∞)上单调递增， f(x)在x=x1和x=2处取极小值， 当c=0时，f(.x)=1x2-cosx,g(x)=x2-cosx,f(0)=1, ·f(x)在(-∞，x1]上单调递减，f(x1)=0, 3x3∈(-o∞，x1],使得f(x3)=1, ,f(x)在[x2,十∞)上单调递增，f(x2)=0, ∴.3x4∈[x2,十∞)，使得f(x4)=1, .当x=x3x4,0时，f(x)=1, .c=0,f(x)有3个解，故③正确： ④由③可得， 在f(x)=|x2-cosx-c2|中，f(0)=1十c2, 此时f(x)在(-∞，x1],[0,x2]上单调递减，在[x1,0],[x2, 十∞)上单调递增， 在w(x)=1+x2一x中，△=(-1)2一4×1×1=-3<0,1>0，开 口向上， ∴.函数w(x)=1十x2一x>0,即1十x2>x恒成立， ∴.f(0)=1+c2>c,∴.y=在f(0)下方，.c>0, ∴.y=c在x轴上方，此时y=c与f(x)有4个交点，故④ 正确」 y y=f(x)/ V=C D 0 [答案]①②③④ 2.[分析]法一：令F(x)=a.x2+a-1,G(.x)=cosc,分析可知 曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对称 性可知该交点只能在y轴上，即可得=2，并代入检验即可； 法二：令h(x)=f(x)-g(x),x∈（-1,1)，可知h(x)为偶函 数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即可得 a=2,并代入检验即可」 [解析]法一：令f(.x)=g(x),即a(x十1)2-1=cosx十 2a.x,可得a.x2+a-1=cosx,令F(.x)=a.x2+a-1,G(.x)= cosx,原题意等价于当x∈（一1,1）时，曲线y=F(x)与y= G(x)恰有一个交点，注意到F(x),G(x)均为偶函数，可知该 交点只能在y轴上，可得F(0)=G(0),即a一1=1，解得 a=2,若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2十1-cosx=0.因为 x∈(-1,1)，则2x2≥0,1-c0sx≥0，当且仅当x=0时，等 号成立，可得2x2十1一cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成 立，则方程2x2十1一cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线 y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意；综 上所述：a=2. 法二：令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,x∈(-1,1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(一x)= a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2十a-1一cosx=h(x),则 h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零，点只能为 0,即h(0)=a-2=0,解得a=2,若a=2,则h(x)=2.x2+1 cosx,x∈(-1,1)，又因为2x2≥0,1一cosx≥0当且仅当 x=0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成 28 立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以=2符合题意；故 选D. [答案]D 3.[解析]由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.32在R上 单调递减，y=√x在[0，十∞)单调递增，所以f(x)=0.32一√x在 定义域上单调递减，显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.3.3 0.3.5>0,f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0,所以根据零点存在 性定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5).故选B. [答案]B 4.L解析]函数f(x)=cos wr一1在区间[0,2π]有且仅有3个 零，点，即cos wx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根，因为 w>0,x∈[0,2π]，所以ux∈[0,2wπ]，则由余弦函数的图象 可知，4π2wm<6π，解得2w<3,即w的取值范围是[2,3). 答案][2,3) 5.[分析]将函数转化为方程，令x3一3.x=一(x一1)2十a,分 离参数a,构造新函数g(x)=x3十x2-5.x十1，结合导数求得 g(x)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. [解析]令x3-3.x=-(x-1)2十a,即 a=x3+x2-5.x+1,令g(.x)=x3+ x2-5.x十1(x>0),则g'(x)=3x2+2.x =g() -5=(3.x+5)(x-1),令g'(x)=0(x> 0)得x=1,当x∈(0,1)时，g(x)<0, g(x)单调递减，当x∈(1，十∞)时， =a g(x)>0,g(x)单调递增，g（0)=1, g(1)=一2，函数g(x)与y=a的图象如 图所示，因为曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2十a在(0，十o∞) 上有两个不同的交点，所以等价于y=与g(x)有两个交点， 所以a∈(-2,1). [答案]（一2,1） 6.[解析]令f(.x)=2十22-x-m=0,得2x十22-x-m=0, 即22十22-x=n, 令1=2”，则2十22-2-m=0,即1+4 -m=0,t2-nt+4= 0(t>0), 则一元二次方程t一mt十4=0(t>0)有两个正根， 么{公m一16>03{m>4或m<-40/」 {m>0 所以，n的取值范围是(4，十∞). y=8(x) 01 [答案](4，十∞) 第九节导数及导数的运算 每视点1心士a”-2十A 教材梳理 △r △x 思考：提示：f(x)是一个函数，f(x0)是函数f(x)在x0处的 函数值（常数），所以[f(x0)]'=0. 知识点2切线的斜率y一y%=f(xo)·(x一xo) 思考：提示：不一定，因为直线与曲线的公共点个数不是切的本 质特征，直线与曲线只有一个公共，点，不能说明直线就是曲线 的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有 个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点. 知识点3(1)①0②a.ra-1③cos.x④-sin.x⑤a·lna 同e@a⑧(2①f)士g(@f(r)g()中 fgr)）③f)·g)A)·fD(g(r)≠0) g2(x） (3)导数乘积 8艺考生文化课成功方案 第八节 函数与方程 教材梳理 诊断自测 >>>>>> 知识点1 函数的零点 思考辨析 (1)函数零点的定义 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） 函数y=f(x)的图象与横轴的交点的 (1)函数f(x)=2x的零点为0. () 称为这个函数的零点 (2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间 (2)几个等价关系 (a,b)二D内有零点，则f(a)·f(b)<0.() 方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的 (3)二次函数y=a.x2十bx+c(a≠0)在b2一 图象与 有交点台函数y=f(x)有 4ac<0时没有零点. () 教材衍化 (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 2.(25一26高二下·山东烟台·期末)函数 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连 续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 fx)=(号广-gx的零点所在的一个区 f(a)·f(b)<0,则在区间 内，函 间为 数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程 A.(0,1) B.(1,2) f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解. C.(2,3) D.(3,10) 思考：函数的零点是函数图象与x轴交点吗？ 3.(2024·全国·高一假期作业)下列图象中， 不能用二分法求函数零点的是 考题体验 知识点2二次函数y=ax+bx+c(a>0)的 4.(25一26高二下·四川雅安·期末)函数 图象与零点的关系 f(x)=x3-4x2+5.x一2的零点个数是( △>0 △=0 △0 A.0 B.1 C.2 D.3 二次函数 5.(2026·唐山检测)方程2+3x=k的解在 y-ax2 +bx+c [1,2)内，则的取值范围是 (a>0)的图象 典例精讲 >>>>>> 与x轴的交点 零点个数 [例1] (1)(25-26高一下·云南玉溪· 期末)函数f(x)=8x3+2x一17的零点所在区 [常用结论] 间为 ( 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调 函数，则f(x)至多有一个零点. A.(o,》 B(合) 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所 有函数值保持同号」 c(1,》 n(,2 34 第二章函数、导数及其应用 (2)函数f(x)=|x一2|一lnx在定义域内的 [例3]某厂生产某种产品的年固定成本为 零点的个数为 250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x), A.0 B.1 当年产量不足80千件时，C(x)=32+10r C.2 D.3 [思路点拨]借助函数零点存在性定理、 (万元)：当年产量不小于80千件时，C(x)=51x+ 函数的单调性→函数零点个数， 10000-1450(万元).通过市场分析，若每件售价 [解题心得]方程的根或函数零点的存在 为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完. 性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负 (1)写出年利润L(万元)关于年产量x 来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究 (千件)的函数解析式： 函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果 (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品 函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单 的生产中所获利润最大？ 调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些 [思路点拨](1)用“利润L=销售收入 小的区间的端点处函数值的正负，作出正确 成本”列函数关系式 判断 (2)分别求出每段上利润的最大值，然后求 [例2](23一24高一·上海·课堂例题) 整个函数的最大值. 已知函数y=2x3-3x2-18.x+28在区间(1,2) [自主解答] 上有且仅有一个零点.试用二分法求出该零点 的近似值.（结果精确到0.1） [思路点拨]根据二分法的思想及操作步 骤求解即可 [自主解答] 高考再现 >>>>>> 1.(2026·北京卷)已知f(x)=|x2-cosx-c21, 给出下列四个结论： ①f(x)在（一1,1]上有最小值和最大值： ②c=1,x∈(-1,2]时，f(x)有最大值； ③c=0,f(x)=1有3个解： ④c>0,f(x)与y=c有4个交点， 其中正确结论的序号是 2.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2 -1,g(x)=cosx+2ax,当x∈(-1,1)时， [解题心得]用二分法求函数零点的近似 曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则 值，其精确度为正数ε，指将零点的初始值区间 a= [a,b]逐次二等分所得的区间[a',b]满足|a'-b <e,此时取[a',b门的一个端点值a(或b)作为 A.-1 瓜号 函数的零点的近似值即可. C.1 D.2 35 艺考生文化课成功方案 3.(2025·天津卷)函数f(x)=0.3一√的零5.(2024·全国甲卷（文）)曲线y=x3-3x与 点所在区间是 ( y=-(x-1)2十a在(0，十∞)上有两个不同 的交点，则a的取值范围为 A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) 6.(2026·全国Ⅱ卷)若函数f(x)=2r+22- C.(0.5,1) D.(1,2) 一m有两个零点，则m的取值范围是 4.(新课标全国I卷)已知函数f(x)=cosωx 一1(w>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点， 提醒：请完成课时作业 则ω的取值范围是 第九节 导数及导数的运算 教材梳理 [注意]“过”与“在”：曲线y=f(x)“在点 >>>>>> P(xoyo)处的切线”与“过点P(xoyo)的切线” 的区别：前者P(xo%)为切点，而后者P(xo, 知识点1导数的概念 y0)不一定为切，点.“切点”与“公共点”：曲线的 函数y=f(x)在x=x,处导数的定义，称函数 切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个， y=f(x)在x=x,处的瞬时变化率 而直线与二次曲线相切只有一个公共点。 m为函数y=f(z)在x=五 lim 思考：直线与曲线只有一个公共点，则该直线一 处的导数，记作f(x)或yx=x,即f(x) 定与曲线相切吗？为什么？ 【1】函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的 方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢， |f(x)越大，曲线在这点处的切线越“陡” 思考：f(x)与f(xo)的区别与联系. 知识点3求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c'= ;②(x)'= (a∈Q*); ③(sinx)'= ④(cosx)'= ⑤(a')= ⑥(e')'= 知识点2导数的几何意义 ⑦(logx)'= 函数f(x)在点x。处的导数f(x)的几何意义 ⑧(ln.x)'= 是在曲线y=f(x)上点P(xo,y)处的 (2)导数的运算法则 ①[f(x)土g(x)]'= (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t ②[f(x)·g(x)]Y= 的导数).相应地，切线方程为 ③fx)7, g(x) 36