第2章 第4节 二次函数与幂函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

关于直线x=2对称，故选项B符合题意：画数y=sim(平x) 和y=c0s(于)的最小正周期均为2=8，均不符合题意，故 排除C,D.综上，选B [答案]B 5.[解析]f(x)十f(x一2)=0，则f(x十2)+f(x)=0,f(x+4) 一f(x十2)=f(x),即f(x)的周期为4，结合奇偶性，周期性 故f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5),在[1.5,3]上满足f(1.5) f(2.5),说明f(x)=x2+ax十b的对称轴为x=2,则一2 2,解得a=一4，又根据f(x)十f(x一2)=0知f(1)十f(一1) =0,而f(1)=f(-1),则f(-1)=0,于是f(3)=f(-1)= 0,即f(3)=9+3a十b=9一12十b=0,解得b=3. [答案]D 6.[分析]根据偶函数的判定方法一一判断即可. [解折]设f)-千，画数定又战为R:他了(-1) e1-1 2 2,f(1D)=e。,则f(二1)≠f1),故y=2十)不是 偶西数，故A错民：设g)=四牛产，函纸定又城为R,且 8(-r)=cos(x)(-r)2cos r+.r2 (-x)2+1 x2+1 =g(x),则g(x)为 偶画数，故B正确：设h()=,函数定义城为{≠-1， x+1 不关于原点对称，则h(x)不是偶函数，故C错误；设p(x)= n+4虹，画数定义城为R,因为e(1)=n十4 e o(-1) 二sn1-4,则g(1)≠g(-1),则g(x)不是偶函数，故D错 e 误.故选B. [答案]B 第四节二次函数与幂函数 教材梳理 知识点1(1)y=x“自变量 思考：提示：不能.因为当x>0时，y=x“>0. 知识点2b=0 思考：提示：不一定.因为最值的取得还与自变量的取值区间有 关，当x=一品不在自变量的取值区间内时，则最值就不能在顶 点处取到. 诊断自测 1.[解析](1)由于幂函数的解析式为f(x)=x“,故y=2.x 不是暴函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零，点 不能确定函数的解析式， (④)对搭轴=一会，当一品不在给定定义线内时，最值不是 4ac-b2 ,故(4)错误 Aa [答案](1)×(2)/(3)×(4)× 2.[解析]因为函数f(x)=(m十2)x2m为幂函数，所以m十 2=1,得m=1,所以fx)=?2三之，定义城为xx≠ 因为f(-)三()2=f,所以f)在定义域内为 偶函数，故C错误，D正确；根据暴函数的性质知f(x)=x2 在(0，十∞)单调递减，又f(.x)在定义域内为偶函数，所以 f(x)=x一2在（一∞，0）单调递增，故A错误，B错误.故选D. [答案]D 3.[解折1f)=-22+mr+3=-2(c-婴）+答+3 :0≤m<40≤≤1， 28 六当=号时)取得最大值管+3=4，解得m 2√2. 「答案12√2 4.[解析]不等式(x2十1)>(3.x+5)z等价于x2十1>3.x十 ≥0，解得-号<r<-1或x>4.所以原不等式的解集为 [-景-u4+》 [答案]A 5.[解析]由幕函数y=x3为R上的增画数，且号<号<2， 所以()<() <23,即b<a<c,故选A [答案]A 典例精讲 [例1][自主解答]由f(1十x)=f(1-x),知f(.x)图象关 于x=1对称，又其最大值为15， .设f(x)=a(x-1)2+15(a≠0) 即f(x)=a.x2-2a.x+a+15 设f代x)=0的两根为2，则：4十x2=2,1.2=1+5 而x月十x2=(.x1十x2)3-3x1x2(x1十x2) =2-32(1+9）=2-盟 a ∴2-90=17，即a=-6 .∴.f(.x)=-6.x2+12x+9. 例2][自主解答](1)暴函数y=x手的定义域是R,(-x) =-)严=π2=x专，函数y=x子是偶函数， 其图象关于y轴对称，在[0，十∞)上单调递增， 函数y=x的图象，如图： 0 1 (2)由(1)知，不等式(x-1)子≤(2x十1)子台|x-1子≤ |2.x+1台|x-1≤|2.x+1,因此(x-1)2≤(2x+1)2,整 理得3x2十6.x≥0，解得x≤一2或x≥0，所以原不等式的解 集为（一∞，一2]U[0,十∞）. [例3][自主解答]函数f(.x)在(0，十∞)上单调递减， m2-2m-3<0,解得-1<m<3.m∈N*,.m=1或2. 又函数f(x)的图象关于y轴对称，.m2一2m一3是偶数， 而22-2×2-3=一3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数， .m=1.令g(x)=x号，g(x)=x言在(-o,0),(0,十o∞) 上均为减函数， ∴.(a+1)言<(3-2a)言等价于a十1>3-2a>0,或0>a +1>3-2a,或a+1<0<3-2a.解得a<-1或号<a< 是故a的取值范周为aa<-1成号<a<受} 3 [例4][自主解答](1)：暴函数y=xm(m∈R)经过点 4”=之即22=2解得m=一合y=x 因为y=x士=子，所以y=r±的定义战为(0，十∞). √x (2)由于函数y=x±在其定义域(0，十∞)上单调递减，又因 为点A(a十2，y1),点B(3-2a,y2)(a∈R)在此幂函数的图 象上，且满足为<g,可得a十2>3-2a>0,解得号<a< 是所以a∈(3，是)月 3 高考再现 1.[解析]对选项A,则有x≠0，对选项B,则有x>0,对选项C, 定义域为R,对选项D,则有x≥0，故选C [答案]C 2.[解析]因为函数f(x)=1.012是增函数，且0.6>0.5，所 以1.01.6>1.019.5，即b>a;因为函数h(x)=x85在 (0,十∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.019.5> 0.6.5,即a>c.综上，b>a>c.故选D. [答案]D 3.[解析]函数f(.x)=e(红-)是由函数y=e“和u= 一(.x一l)2复合而成的复合函数，y=e”为R上的增函数，u 一(x一1)2在(-∞，1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减 所以由复合函数的单调性可知，f(x)在（一∞，1）上单调递 增，在(1，十∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1 对格，所以c=()=f(2-)又号<2<9<1 22 所以（号）<(2-)<f(),所以b>>,故选A [答案]A 4[解析]依题意得Q(√侣a)p(a,后，则AQ+CP √号+2爱+去2-0=40+1GP. ，当且仅当后 3 即P-时取等号北时a反 [答案]5 5.[解析]f8)=8=4,因为f(x)为奇函数，所以f(-8)= -f(8)=-4. [答案]-4 1 6.[解析]当a>1时，有a2=4,a1=m,此时a=2,m= 此时g(x)=一√元为减函数，不合题意.若0<a<1,则a1=4, a2=m,故a=1 6,检验知符合题意。 [答案]十 第五节指数与指数函数 教材梳理 知识点11.(1a2la{aaa0. a,a≥0， 知识点2R(0,+∞)(0,1)0<y<1y>1y>1 0<y<1减增 诊断自测 1.[解析](1)由于√(-4)=√4=4，故(1)错误. (2)当心<1时，不可以，故(2)错误。 (3)由于指数函数解析式为y=a(a>0,且a≠1)， 故y=221不是指数函数，故(3)错误 (4)由于x2+1≥1，又a>1,a+1≥a.故y=a2+1(a>1) 的值域是[a,十∞)，(4)错误. [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2.[解析]根据指数函数的定义形如y=a2(a>0且u≠1)为 指数函数判断：y=x3为幂函数，故A错误；y=(一4)中一4 不能作为底数，故B错误；y=5+1=5×52中系数不为1，故 C错误；y=52x=25x是指数函数，故D正确：故选D. [答案]D 3.[解折]取a=2,6=-1可知2>2，但是>0>方所 以，由2>2推不出女<：取a=-1,6=1,可知<0< 28 方，但是2<20，所以，由日<方静不出>2必，所以，”> 2”是“1<上”的既不充分也不必要条件.故选C [答案]C 4.[解析]由于f(x)=a-b的图象单调递减，所以0<a<1, 又因为0<f(0)<1,所以0<ab<1=a°，即-b>0,b<0.故 选D. [答案]D 5.[解析].0<b<a<1,.指数函数y=a2和y=产均为减 函数，.ab>a4,b<P,.幂函数y=xb在(0，十o∞)上为增 函数，∴.a>b,即a,,a“,b中最大的是a」 [答案]A 典例精讲 [例】[自主解答]1)原式=Q·b·a+·过 a. =4寸-古-古，b使+古-晋=1 @=1片×（告）() =1+×号-0 -1+日0总 [例2][自主解答]函数f(.x)=3一4红5的定义域为R,令 u=x2-4x-5,函数u=x2-4x-5对称轴为x=2,所以在 (一∞，2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增，函数y=3”在 R上单调递增，因此函数f(x)在（一∞，2）上单调递减，在 (2,十∞)上单调递增，所以函数f(.x)=3-4红-5的单调递减 区间是（一∞，2）. [答案](-∞，2) [例3][自主解答](1)当a=-1时，f(.x)=3x-2x4, 令t=一x2一2x一4，易知其单调递增区间为（一∞，一1），单 调递减区间为（一1，十∞）. 又y=3为增函数，所以f(x)=3-2x-4的单调递增区间 为(-∞，一1)，单调递减区间为（一1，十∞）. (2)Vx∈R.fx)≤号恒成立，即fx)=3+2u1≤号= 3-2恒成立，所以-x2十2ax-4≤-2，即x2-2a.x十2≥0恒 成立，所以△=4a2一8≤0，解得一2≤a√2， 所以a的取值范围为[一√2，√2]. 高考再现 L.[解析]由a≠1，则a·a=a·a=al+寸=a. [答案]B Inr,r>1 2.[解析]由题意可得f()=巴ih,0之<1因为画数) x03在(0，十∞)上单调递增，所以1<20.3<30.3，又因函数 y=3在R上单调递增，则0<305<1<3.5，所以c= f(30.5)=-ln30.5=ln30.5=f(30.5),因1<20.3<30.3< 30.5,且f(x)在(1，十o∞)上单调递增，所以f(20.3)<f(303) <f(30.5),即f(20.3)<f(3.3)<f3a5),故a<b<c. [答案]A 3.[解析]：a>0,a>a,∴a1>1=a,当a∈(0，l)时，y=2 定义战上严格单调递减，此时若一1<0，则一定有a1> 1=a°成立，故D正确，C错误；当a∈(1，十o∞)时，y=a'定 义域上严格单调递增，要满足a1>1=a°，需s>1,即A、B 错误.故选D. [答案]D 4.[解析]当x∈(0，十∞)时，y=(0<a<1),所以f(x)在 (0,十∞)上递减，f(x)是偶函数，所以f(x)在（一∞，0）上递 增.注意到a°=1，所以B选项符合.故选B. [答案]B 5.[解析]由题意得f(-1)=2（-D=2,所以f(f(-1)= f(2)=a·22=4a=1,解得a=4.故选A [答案]A 64艺考生文化课成功方案 第四节二次函数与幂函数 续表 教材梳理 >>>>>> 在x[-会+o)上单在e(,会]上 知识点1幂函数 单调性调递塔，在x∈（一o∞， 单调递增，在x∈ (1)幂函数的定义：形如 (a∈R)的 函数称为幂函数，其中x是 ,a是 b 「-，十∞)上单调 2a 上单调递减 常数 递减 (2)五种幂函数的图象 时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶 奇偶性 》 y=x2y= 函数 y=x2 顶点 坐标 对称性 图象关于直线x=一 对称 (3)五种幂函数的性质 思考：函数f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)一定在顶 点处取到最大（小）值吗？ 函数式 定义域 值域 y=x R R y=x2 R [0,+∞) y=t R R y=tt [0,十∞) [0,+∞) y=x-1 {xx∈R,且x≠O} {yly∈R,且y≠0} 思考：幂函数的图象能经过第四象限吗？ [常用结论] 1.幂函数的性质 知识点2二次函数的图象与性质 (1)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数 y=ax2+ y=ax2+bx+ 的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. b.x+c(a>0) c(a0) (2)当a>0时，y=x在[0，十o∞)上为增函数； 当a<0时，y=x在(0，十∞)上为减函数. 图象 2.关于二次函数的几个常用结论 (1)函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0),x∈ [p,q]的最值.若h∈[p,q],则x=h时有最 定义域 R 个 小值k,最大值是f(p)与f(q)中较大者；若 值域 [a。,+ (0o,ac-b2 h庄[p,q,则f(),f(q)中较小者为最小值， Aa 较大者为最大值 22 第二章函数、导数及其应用 (2)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 典例精讲 ①当aC0时，对x∈R恒有x>0, △<0 [例1]已知二次函数f(x)同时满足 ②当80， 时，对x∈R恒有f(x)<0. 条件： △<0 ①f(1+x)=f(1-x); 诊断自测 ②f(x)的最大值为15： >>>>>> ③f(x)=0的两根立方和等于17，求f(x) 的解析式. 思考辨析 [自主解答] 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） (1)函数y=2x是幂函数. ( (2)当a>0时，幂函数y=x在(0，十∞)上 是增函数： ( (3)二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)的两个 零点可以确定函数的解析式. (4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的 最值一定是4ac一b 教材衍化 2.(25一26高一下·河北保定·期末)若函数 [解题心得]求二次函数的解析式，关键 f(x)=(m十2)x2m为幂函数，则函数f(x)在 是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给 定义域内为 ( 出的条件，根据二次函数的性质进行求解 A.增函数 B.减函数 [例2](25-26高一上·上海宝山·期中) C.奇函数 D.偶函数 (1)作出幂函数y=x的图象； 3.已知函数f(x)=一2x2+mx十3(0≤m≤4,0≤ (2)根据(1)的结论观察图象，解不等式： c≤1)的最大值为4，则m的值为 (.x-1)号≤(2x+1)3」 考题体验 [思路点拨](1)结合幂函数的性质作出 4.(2026·青岛联考)不等式(x2+1)>(3x+5) 函数图象 的解集为 (2)利用幂函数的图象性质求解不等式. A.[-1)U(.+) [自主解答] B.(-1,4) C.(4,+∞) D.(-∞，-1)U(4,+∞) 5.(2026·高二上·北京·学业考试)已知a (分)°b=(号)°c=2,则 A.b<a< B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 23 艺考生文化课成功方案 [解题心得]二次函数f(x)=a.x十bx十 [解题心得](1)幂函数的形式是y c(a>0)在区间[m,n]上的最值： x“(a∈R),其中只有一个参数a,因此只需一个 (1)当一么<m时，函数在区间m,小上单 条件即可确定其解析式。 (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函 调递增，最小值为f(m),最大值为f(n); 数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区 (2)当m≤-品≤n时，最小值为-易) 间(1，十∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越 远离x轴. =4acB,最大值为f(m)或f(n)(m,n与 Aa [例4幻(25-26高一上·上海金山·期中) 会较远的一个为最大： 已知幂函数y=x(m∈R)经过点(4，)】 (3)当名>n时，函数在区间m,1上单 (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点A(a+2,y),点B(3-2a,y2) 调递减，最小值为f(n),最大值为f(m). (a∈R)在此幂函数的图象上，且满足y<y2, [例3]已知幂函数f(x)=x”-2m-3 求实数a的取值范围. (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，十∞) 2,求出 [思路点拨](1)依题意可得4”= 上是减函数，求满足(a十1)号<(3一2a)号的 实数a的取值范围. m的值，即可求出函数解析式及定义域； (2)首先判断函数的单调性，即可得到a十 [思路点拨]由f(x)=x(m∈N) 2>3-2a>0,解得即可. 的图象关于y轴对称知m一2m一3为偶数，又 [自主解答] f(x)在(0，十∞)上是减函数，∴.m2-2m-3< 0,从而确定m的值，再由函数f(x)的单调性求 a的取值范围. [自主解答] 24 第二章函数、导数及其应用 高考再现 4.如图，正方形OABC的边长为a(a>1),函数 >>>>>> y=3x的图象交AB于点Q,函数y=x的 图象交BC于点P,则当|AQ+|CP|最小 1.(上海·高考真题)下列幂函数中，定义域为 时，a的值为 R的是 ( A.y=x-1 B.y=x支 C.y=x D.y=x 2.(天津卷)若a=1.01.5,b=1.01.6,c 0.6.5,则a,b,c的大小关系为 ( A.ca>b B.c>b>a 5.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x) C.a-bc D.ba>c x号，则f(-8)的值是 3.(全国甲卷（文）)已知函数f(x)=e-).记 6.(山东·高考真题)若函数f(x)=a'(a>0, a≠1)在[-1,2幻]上的最大值为4，最小值为 a=f(号)，b=)c=),则 ( m,且函数g(x)=(1-4m)√x在[0，+∞)上 A.bca B.b>a>c 是增函数，则a C.c>b>a D.c>a>b 提醒：请完成课时作业 第五节 指数与指数函数 知识点2指数函数的图象与性质 教材梳理 >>>>>> 0<a<1 a>1 知识点1指数与指数运算 2 y=a 1.根式的性质 图 01.y21 0,1 …y=1 象 (1)(Wa)”= (a使a有意义) (2)当n是奇数时，Wa”=a;当n是偶数时， 定义域： a"= 值域： 2.分数指数幂的意义 当x=0时，y=1,即过定点 (1)a"=yam(a>0,m,n∈N*,且n>1). 质 ①当x>0时， ②当x>0时， (2a=1=La>0,m,m∈N,且>1D. 当x<0时， 当x<0时， a a" 在R上是 函数 在R上是 函数 (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指 常用结论] 数幂没有意义， 1.指数函数的图象与底数大小的比较 3.有理数指数幂的运算性质 在第一象限内，指数函数y= (2) 3 (1)a·a=a+s(a>0,r,s∈Q), a(a>0,a≠1)的图象越高，底 (2)(a)=a(a>0,r,s∈Q). 数越大 (3)(ab)'=a'b'(a>0,b>0r∈Q), 0 25