第2章 第1节 函数及其表示-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

艺考生文化课成功方案 第二章 DI ERZHAN图G 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 知识点3分段函数 教材梳理 >>>>>> 若函数在定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函 知识点1 函数的有关概念 数称为分段函数. (1)函数的概念. 思考：如何求分段函数的定义域、值域？ 一般地，设A,B是两个非空数集，如果按照某 种对应法则f,对于集合A中的 一个 数x,在集合B中都有 确定的数f(x) 和它对应，那么就称f:A>B为从集合A到集 合B的一个函数，记作： .其 中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 诊断自测 >>>>>> 定义域；与x的值相对应的y值叫函数值，函数 值的集合{f(x)川x∈A}叫做函数的值域 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） (2)函数的三要素为 (1)函数y=1与y=x°是同一函数.() (2)对于函数f:A→B,其值域是集合B. 思考：函数f(x)=x,x∈{0,1}与g(t)=t,t∈ ( {0,1}是同一函数吗？ (3)f(x)=x-3+√/2一x是一个函数.( (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两 个函数相等 ( 教材衍化 2.（(2026·湖南衡阳·高二校联考学业考试)如 图是周老师散步时所走的离家距离(y)与行 走时间(x)之间的函数关系的图象，则周老师 散步的路线可能是 知识点2函数的表示法 函数常用的表示方法有 0 14 第二章函数、导数及其应用 [自主解答】 [解题心得]函数的定义域就是使函数解 析式有意义的自变量x取值的集合，先根据解 析式的限制条件，建立不等式（组），求出定义 3.(25一26高三上·上海崇明期中)函数y=x和 域，实际问题中注意自变量x的实际意义，若函 函数y=x 同一函数（填：是或不是）， 数是图象给出，函数的定义域是指图象在x轴 考题体验 上的投影所覆盖的实数的集合， 4.(2026·浙江台州·高一台州一中校考开学 [例2](1)若f(x+3)=x2-2x+3, 求f(x); 考试)在同一直角坐标系中，函数y=飞(k≠0) (2)已知f(x)是二次函数，且f(0)=0, 与y=kx十k(k≠0)的图象大致是 ) f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式， (3)已知f(x)满足2f(x)+f()=3,求 f(x)的解析式. [思路点拨] (2)中先设二次函数f(x), 再由待定系数法求出f(x)的解析式， [自主解答] 5.(25一26高二下·江西·期末)若函数f(x) =√x一ax十7的定义域为R,则实数a的取 值范围是 典例精讲 >>>>>> [解题心得]第(1)(2)(3)三小题是已知 [例1 (25一26高一上·陕西渭南期末) 复合函数、内层函数求外层函数的问题，常用方 求下列函数的定义域 法有凑配法，换元法，待定系数法，解方程组法. (1)fx)=x+2)° [例3](25-26高一上·四川绵阳期未) 一x 2x十1，x1, 已知函数f(x) (2)g(x）=Y二2-x x2-3,x>1. x2+2x-31 )求(2)： [思路点拨](1)由解析式有意义可知 (2)若f(x)=6,求实数x的值 x+2≠0，一x>0,联立求解即可； [思路点拨]()根据定义域求值即可； (2)由解析式有意义可知一2一x≥0，x2十 (2)分x≤1、x>1两种情况，令f(x)=6, 2x一3≠0，联立求解即可. 解方程可得答案. 15 艺考生文化课成功方案 [自主解答] A.（-1,3] B.(-1,0)U(0,3] C.[-1,3 D.[-1,0)U(0,3 2.已知函数f(x)的定义域为（一1,1），则函数 g(x)=f受)+f(x-1)的定义域为() A.（-2,0) B.（-2,2) C.(0,2) [解题心得]分段函数“两种”题型的求解 D(-z.0) 策略 3.(2024·新课标I卷)已知函数f(x)的定义 (1)根据分段函数解析式求函数值 域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次 x<3时f(x)=x,则下列结论中一定正确 选定相应的解析式代入求解。 的是 ( (2)已知函数值或函数值范围求自变量的 值或范围 A.f(10)>100 B.f(20)>1000 应根据每一段的解析式分别求解，但要注 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 4.(北京卷)已知函数f(x)=4+log2x,则 的自变量的取值范围！ 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时， 应分类讨论， 5.(2024·上海卷)已知f(x)= ,x0则 高考再现 1,x≤0， >>>>> f(3)= 1,函数y=√+2十3的定义域为 lg (x+1) ( 提醒：请完成课时作业 第二节 函数的单调性与最值 教材梳理 (2)单调区间的定义 >>>>>> 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减 函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 知识点1 函数的单调性 (严格的)单调性，区间D叫做函数y=f(x)的 (1)增函数、减函数 单调区间. 增函数 减函数 思考：若f(x)的单调递减区间为(a,b)和 一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 (c,d),设x1∈(a,b),x2∈(c,d),且x1<x2,则 f(x1)>f(x2)成立吗？ 定义 当x1<x2时，都有f(x1) <f(x2),那么就说函数 当x1<x2时，都有 那么就说函数f(x) f(x)在区间D上是增 函数 在区间D上是减函数 y=f(x) y=f(x) 图象 人fx2) 描述 x f)f) 0衣 02文 16第二章函数、导数及其应用 第一节函数及其表示 教材梳理 知识点1(1)任何唯一y=f(x),x∈A(2)定义域值 域对应关系 思考：提示：是，因为两函数的定义域和对应法则相同，故是同 一函数 知识点2图象法列表法解析法 知识点3对应关系 思考：提示：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各 段值域的并集， 诊断自测 1.[解析](1)错误.函数y=1的定义域为R,而y=x的定义 域为{xx≠0》，其定义域不同，故不是同一函数」 (2)错误.值域C二B,不一定有C=B. (3)错误.f(x)=√x-3十√2-x中x不存在 (4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相 等函数 [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2.[解析]根据y关于x的函数关系的图象可知，周老师先远 离家，然后有一段时间和家的距离相同，然后再回家（离家越 来越近)，所以D选项对应图象符合，故选D. [答案]D 3.[解析]函数y=x于和函数y=x音的定义域均为R,而y= x于=近，y=x=√，对应法则不同，故两个函数不是同 一函数 [答案]不是 4.[解析]<0时，反比例函数y=飞的图象经过二、四象限， 一次函数y=kx十k(k≠0)的图象经过二、三、四象限，没有选 项符合k>0时，反比例函数y=的图象经过一、三象限， 一次函数y=kx十k(k≠0)的图象经过一、二、三象限，C选项 符合：故选C [答案]C 5.[解析]因为函数f(.x)=√x2一ar十7的定义域为R, 则x2-ax十7≥0在R内恒成立， 故需使△=a2-28≤0，解得-2√7≤a≤2√7， 所以实数a的取值范围是[一2√7,2√7]. [答案][-2√7,2√7] 典例精讲 [例1[自主解答]①)由0得：<0且x≠-2， 所以画数f)=+22°的定义战为(-00，-2U(-2,0. √一x (2)由 -2-x≥0 /x-2 2+23≠0得≠1且≠-3 即x一2且x≠-3. 所以画数gx)=2三的定战是（一0，-3U-3.21 x2+2.x-3 [例2][自主解答](1)法一：f(x十3)=x2-2x十3 =(x+3)2-2x-6.x+3-9=(x+3)2-8.x-6 =(.x+3)2-8(x+3)+24-6=(x+3)2-8(.x+3)+18, ∴.f(x)=x2-8x+18. 法二：令x十3=t,则x=t-3, ∴.f(t)=(t-3)2-2(t-3)+3=t2-8t+18 ∴.f(x)=x2-8x+18. (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 由f(0)=0,知c=0,f(x)=a.x2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1, 得a(x+1)2+b(x+1)=a.x2+bx+x+1, 即a.x2+(2a+b)x+a+b=a.x2+(b+1).x+1, & 所以2a+1解得a==司 a+b=1, 所以f(x)= + 2x,x∈R 3:2f+(）=3,0 把①中的x换成，得2()+r)=是.@ 2fx)+f(）=3x, 联立①②可得 解此方程组可得f(x)=2x一 [例3][自主解答]1)因为2≤1， 所以f2)=1+1=2,又：2>1， 所以f(f(2)）=f2)=4-3=1, (3)=1 2)当≤1时，f)=2x+1=6,解得=号>1（含： 当x>1时，f(x)=x2-3=6, 解得x=士3，又因x>1,所以x=3. 综上：实数x=3. 高考再现 -x2+2.x+3≥0， 1.[解析]要使函数有意义，x需满足 x+1>0, 解得 x+1≠1， 一1<x<0或0x≤3，所以函数的定义域为（一1,0）U (0,3],故选B. [答案]B 2.[解析] 由题意得 -1<号1 1-2<x<2,.0∠ -1<x-1<1, {0<x2, x<2函数g(x)=f(受)+fx-1)的定义城为(0,2). 「答案]C 3.[分析]代入得到f(1)=1,f(2)=2,再利用函数性质和不 等式的性质，逐渐递推即可判断. [解析]因为当x<3时，f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2, 又因为f(.x)>f(x-1)+f(x-2),则f(3)>f(2)+f(1)=3, f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+ f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)> 34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89, f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233, f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610, f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1597> 1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确；且无证据 表明ACD一定正确.故选B. [答案]B 4.[解析]函数f(x)=4十lox,所以f （)=4t+los 2-1=1. [答案]1 5.[分析]根据已知条件，将x=3代入函数解析式，即可 求解. [解析]f(x)= 元>0，则f(3)=3. 1,x≤0， [答案]√3 第二节 函数的单调性与最值 教材梳理 知识点1(1)f(x1)>f(x2) 思考：提示：不成立，如f)= 80