29.1 圆的有关概念（第2课时）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第29章　圆 29.1 圆的有关概念（第2课时） 过三点的圆 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 一个圆形盘只剩下一段圆弧，怎样找出原来圆的圆心？ 答：在弧上取三个不同的点，作两条弦的垂直平分线交于圆心。 一段圆弧上的三个不同点不共线。 情境引入 示例 两根立柱的位置已经固定，能唯一确定一个经过它们的圆形围栏吗？ 答：不能。 两点连线的垂直平分线上有无数个圆心。 新知探究 经过一点的圆：观察与推理 研究问题 只给一个点，圆心和半径是否确定？ 观察与依据 圆心位置尚未固定，因此可作大小不同、位置不同的许多圆。 新知讲授 经过一点的圆 结论 经过一个点可以作无数个圆。 条件与用法 圆心可以是该点以外的任意一点，半径取圆心到已知点的距离。 新知探究 经过两点的圆：观察与推理 研究问题 哪些点到两个已知点的距离相等？ 观察与依据 线段垂直平分线上的点到两个端点等距；反过来也成立。 新知讲授 经过两点的圆 结论 经过两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上。 条件与用法 圆心在线段垂直平分线上可以有无数个位置，所以圆也有无数个。 新知探究 三点确定一个圆：观察与推理 研究问题 给定三个不共线的点，圆心要同时满足哪些条件？ 观察与依据 既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，两线有且仅有一个交点。 新知讲授 三点确定一个圆 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 条件与用法 三个点必须互不相同且不共线，圆心由两条边的垂直平分线交点确定。 新知探究 外接圆与外心：观察与推理 研究问题 外心是三角形的哪个特殊点？ 观察与依据 用边的垂直平分线得到等距于顶点的交点。 新知讲授 外接圆与外心 结论 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形。 条件与用法 外心到三个顶点等距，不是到三条边等距。 新知探究 尺规作外接圆：观察与推理 研究问题 为何作两条垂直平分线已经足够？ 观察与依据 若且，就有，第三条边的垂直平分线必过O。 新知讲授 尺规作外接圆 结论 作两条边的垂直平分线，取交点为圆心，再以圆心到任一顶点的距离为半径作圆。 条件与用法 不必再单独作第三条垂直平分线，因为交点到三个顶点已经等距。 例题讲解 示例 作圆必须确定哪两个要素？过三个不共线点时先确定哪个？ 答：圆心与半径；先确定圆心。 圆心确定后，到任一已知点的距离就是半径。 变式训练 变式 两直角边为的直角三角形，求外接圆半径。 答：。 斜边为，圆心在斜边中点。 例题讲解 示例 ，求三点所在圆的圆心和半径。 答：圆心，半径。 直角三角形斜边中点到三个顶点等距。 变式训练 变式 等边三角形边长为，求外接圆半径。 答：。 高为，外接半径等于高的。 例题讲解 示例 直角三角形斜边长，其外接圆半径是多少？ 答：。 外心是斜边中点。 变式训练 变式 ，求外接圆圆心与半径。 答：圆心，半径。 直角三角形斜边中点是外心。 例题讲解 示例 等边三角形边长为，求外接圆半径。 O A B C 答：。 高为，外接半径为高的。 变式训练 变式 ，设外心为，求。 答：。 ，得。 例题讲解 示例 ，外心在何直线上？设其坐标为求。 答：在轴上，。 令，得。 变式训练 变式 经过的所有圆，圆心在哪条直线上？ 答：在y轴上。 圆心必在AB的垂直平分线上。 例题讲解 示例 且，为何以为圆心、为半径的圆经过三点？ 答：因为。 由等量传递及圆的点集描述判断。 变式训练 变式 ，求三点确定的圆。 答：圆心，半径。 三个点到原点的距离均为。 课堂练习 练习 如图，所在的直线垂直平分线段，怎样利用这样的工具找到圆形工件的圆心？ 答：将工具换一个位置，再作一条弦的垂直平分线；两条直线的交点就是圆心。 圆心到弦的两端点等距，必在弦的垂直平分线上。 课堂练习 练习 如图，是边长为的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长。 O A B C 答：半径为。 作两边垂直平分线交于，以为半径作圆。 高为，外心到顶点距离为高的。 方法归纳 本阶段的解题方法 作圆的方法 ① 先作两条弦的垂直平分线，交点给出圆心。 ② 取圆心到已知点的距离为半径，检查另外两点。 证明与计算 ① 证明共圆，建立到同一点的三个等距关系。 ② 直角三角形利用斜边中点，等边三角形利用高和勾股定理。 巩固拓展 示例 在的垂直平分线上且，证明是的外心。 答：由和得三点到等距。 圆心到任一顶点的距离相同。 巩固拓展 示例 为什么不能先任取半径画圆，再尝试使圆经过三点？ 答：任意半径可能不满足三点同时在圆上，先由等距约束找圆心。 固定三点已经同时限制圆心和半径。 课堂总结 过三点的圆 一点两点 不足以唯一确定圆。 三点条件 三点不在同一条直线上。 外心 边的垂直平分线交点。 作法 定圆心、定半径、作圆并检查。 针对训练 训练 下列条件能确定一个圆的是：A.一个点；B.两个点；C.三个点；D.三个不共线的点。 答：选D。 三点需满足不共线。 三点需满足不共线。 针对训练 训练 三角形外心是三条边的________的交点。 答：垂直平分线。 外心到三个顶点的距离相等。 外心到三个顶点的距离相等。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 过一点有无数个圆 对 一个点不能固定圆心和半径。 （2） 过两点只有一个圆 错 圆心可在线段垂直平分线上任取，圆有无数个。 （3） 三角形都有外接圆 对 三角形的三个顶点不共线，唯一确定圆。 （4） 外心必在三角形内 错 直角三角形的外心在斜边上。 直角三角形的外心在斜边上，是④的反例。 针对训练 训练 直角三角形两直角边为，求外接圆半径。 答：。 斜边为，半径是其一半。 斜边为，半径是其一半。 针对训练 训练 ，验证为外心。 答：。 三点到O等距。 三点到O等距。 针对训练 训练 等边三角形外接圆半径为，求边长。 答：。 等边三角形外接半径。 等边三角形外接半径。 针对训练 训练 三角形的外心在边上，说明与外接圆的关系。 答：AB是外接圆的直径。 外心在弦AB上，经过圆心的弦为直径。 外心在弦AB上，经过圆心的弦为直径。 针对训练 训练 假定有两个不同圆都过三个不共线点，它们的圆心为何必须重合？ 答：两个圆心都在同两条边的垂直平分线上，而两线交点唯一。 圆心相同且到同一顶点距离相同，半径也相同。 圆心相同且到同一顶点距离相同，半径也相同。 针对训练 训练 花坛边缘三个标记为，求圆心与半径。 答：圆心，半径。 作直角三角形斜边的中点。 作直角三角形斜边的中点。 针对训练 训练 一面圆镜碎片保留一段圆形边缘，工人取弧上三点作两条弦，怎样找圆心并恢复圆镜？ 答：作两弦的垂直平分线，交点为圆心，再以交点到弧上点的距离为半径画圆。 保留圆弧上的三点能唯一确定原圆。 保留圆弧上的三点能唯一确定原圆。 方法归纳 本课方法总结 作圆的方法 ① 先作两条弦的垂直平分线，交点给出圆心。 ② 取圆心到已知点的距离为半径，检查另外两点。 证明与计算 ① 证明共圆，建立到同一点的三个等距关系。 ② 直角三角形利用斜边中点，等边三角形利用高和勾股定理。 $