29.1 圆的有关概念（第1课时）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第29章　圆 29.1 圆的有关概念（第1课时） 圆的有关概念与点和圆的位置关系 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 车轮转动时，车轴到轮缘的距离应保持怎样的关系？圆规画圆时哪两个量保持不变？ 答：轮缘上各点到车轴的距离相等。 圆规的针尖固定在圆心。 两脚间距固定为半径。 情境引入 示例 平面内到点的距离始终是的动点，它的轨迹是什么？ O P cm 答：以为圆心、为半径的圆。 固定点决定位置，固定距离决定大小。 新知探究 圆的形成：观察与推理 研究问题 画圆时，针尖可以随意移动吗？ 观察与依据 针尖一旦移动，各点就不再保持到同一固定点的距离。 O P 新知讲授 圆的形成 结论 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆（circle）。 条件与用法 其固定的端点叫作圆心，线段叫作半径。以点为圆心的圆，记作，读作“圆”。 O P 新知探究 圆的点集描述：观察与推理 研究问题 只说“圆上各点到圆心等距”是否说全了？ 观察与依据 还要说明到定点的距离等于定长的点都在这个圆上。 新知讲授 圆的点集描述 结论 圆心为、半径为的圆可以看成平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合。 条件与用法 所有既包含圆上每一点，也说明满足距离条件的点一个不漏。 新知探究 点与圆的位置关系：观察与推理 研究问题 不画精细图，怎样根据距离判断位置？ 观察与依据 把与固定半径比较，分别对应圆外、圆上、圆内。 新知讲授 点与圆的位置关系 结论 点在圆外；点在圆上；点在圆内。 条件与用法 是点到圆心的距离，三种情况互不重叠。 新知探究 弦与直径：观察与推理 研究问题 连接圆心和圆上一点的线段是弦吗？ 观察与依据 不是，圆心不是圆上的点；弦的两个端点都必须在圆上。 O A B C 新知讲授 弦与直径 结论 连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。 条件与用法 直径是半径的倍。直径是特殊的弦，普通弦不必经过圆心。 O A B C 新知探究 弧的分类：观察与推理 研究问题 两个端点能唯一指出一条弧吗？ 观察与依据 通常有两条弧，因此优弧用三个字母表示以消除歧义。 新知讲授 弧的分类 结论 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。 条件与用法 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。 新知探究 等圆与等弧：观察与推理 研究问题 两个圆半径相等但位置不同，还是等圆吗？ 观察与依据 是。等圆关注形状和大小，通过平移可以重合。 新知讲授 等圆与等弧 结论 能够重合的两个圆叫作等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。 条件与用法 同圆或等圆的半径相等，半径相等的两个圆是等圆。讨论等弧时要保留同圆或等圆条件。 例题讲解 示例 矩形的对角线、相交于点。求证：、、、四个点在以点为圆心的同一个圆上。 O A B C D 答：先建立解题所需的关系。 矩形对角线相等且互相平分。 矩形对角线相等且互相平分。 例题讲解 示例 矩形的对角线、相交于点。求证：、、、四个点在以点为圆心的同一个圆上。 O A B C D 答：，故四点共圆。 矩形对角线相等且互相平分。 ，。 四点到同一点等距。 四点到同一点等距。 课堂练习 练习 完成下面两个实际问题，说明所用的圆的性质。 （1） 如何在操场上画一个半径是的圆？说出你的方案及理由。 （2） 你见过树木的年轮吗？从树木的年轮中，可以知道树木的年龄。把树干的横截面看成圆形，如果一棵年树龄的树的树干直径是，这棵树的半径平均每年增加多少？ （1） 答：固定一点，取长的绳，拉紧绕固定点一周画线。 画出的各点到固定点距离都等于 m。 （2） 答：。 先把直径除以，得到半径，再除以树龄。 课堂练习 练习 完成下列问题。 （1） 的半径为，根据下列点到圆心的距离，判断点和的位置关系：（）；（）；（）。 （2） 在中，。求证：、、三点在同一个圆上。 （1） 答：分别在圆内、圆上、圆外。 依次与半径比较。 （2） 答：取斜边的中点，则。 直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 方法归纳 本阶段的解题方法 用距离判断 ① 先确定圆心与半径，再比较和。 ② 证明多点共圆可证明它们到某一点等距。 用定义辨析 ① 弦的两个端点在圆上，直径还要经过圆心。 ② 圆周与圆内区域、弧与弦分别表示不同对象。 巩固拓展 示例 半径为的圆，直径是多少？直径为的圆，半径是多少？ O A B r cm 答：；。 直径等于两倍半径。 巩固拓展 示例 。当圆的半径分别为时，点分别在哪里？ O P 答：依次在圆外、圆上、圆内。 点固定时，扩大半径也会改变位置关系。 巩固拓展 示例 在圆上，为圆心，在圆内。能否称为弦？ O A B 答：都不能。 每条线段都至少有一个端点不在圆上。 巩固拓展 示例 平面内四点到的距离依次为，能否判定四点共圆？ O A B C D 答：能。 它们均在以O为圆心、为半径的圆上。 巩固拓展 示例 两个圆的直径分别为和，圆心不同。这两个圆是否是等圆？ O P 答：是。 直径相等则半径相等，平移后可重合。 巩固拓展 示例 矩形两条相邻边长为、，其四个顶点共圆的圆心在哪，半径多大？ O A B C D 答：圆心在对角线交点，半径为。 对角线长。 巩固拓展 示例 点到圆心的距离为，半径。点是否在圆上？ O P 与 O 重合 答：不在圆上，点P就是圆心，位于圆内。 圆是圆周，不包含内部区域。 巩固拓展 示例 点在半径为的圆外，能否等于？能否为？ O P 答：都不能。 圆外必须满足OP>。 巩固拓展 示例 就一定能断定、在某个以为圆心的圆上吗？ 答：当时可以；若两点都与重合，则不能得到正半径的圆。 确认半径为正。 巩固拓展 示例 直角三角形斜边为，其三个顶点共圆时圆心如何选，半径多大？ O A B C 答：斜边中点，半径。 利用斜边中点到三个顶点的距离相等。 课堂总结 圆的有关概念与点和圆的位置关系 圆 固定点、固定距离、平面内全部满足条件的点。 位置 比较点到圆心的距离与半径。 线段 半径、弦、直径要分清端点与圆心。 弧 半圆、优弧、劣弧，注意表示方法。 等圆等弧 通过重合判断，并保留同圆或等圆条件。 针对训练 训练 关于直径，下列说法正确的是：A.所有弦都是直径；B.直径是经过圆心的弦；C.半径是弦；D.圆心在圆上。 答：选B。 直径必须同时满足弦和经过圆心两个条件。 直径必须同时满足弦和经过圆心两个条件。 针对训练 训练 圆的直径为，半径为________。 答：。 直径除以。 直径除以。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 圆心在圆上 错 圆心到自身距离，小于正半径。 （2） 直径是弦 对 直径两个端点都在圆上，属于特殊弦。 （3） 弦必经过圆心 错 普通弦可以不经过圆心。 （4） 等圆的半径相等 对 能重合的圆大小相同，半径相等。 圆心位于圆内，直径是特殊弦。 针对训练 训练 圆的半径为，、、，判断三点位置。 答：A在圆内，B在圆上，C在圆外。 分别比较距离与半径。 分别比较距离与半径。 针对训练 训练 ，点在圆内，半径满足什么条件？ 答：。 由点在圆内得到OP<r。 由点在圆内得到OP<r。 针对训练 训练 线段与等长且互相平分于，证明四个端点共圆。 答：。 各半段长度均为原线段长度的一半。 各半段长度均为原线段长度的一半。 针对训练 训练 矩形相邻边为和，四个顶点所在圆的半径是多少？ 答：。 对角线，半径为其一半。 对角线，半径为其一半。 针对训练 训练 ，圆半径为，请用分别表示点在圆内、圆上、圆外的条件。 答：；；。 距离非负；不要遗漏圆心对应的。 距离非负；不要遗漏圆心对应的。 针对训练 训练 喷头以点为中心，最远喷到。树木到的距离分别为，哪些能被喷到？ 答：前两棵可以，第三棵不可以。 喷灌区域包含边界，距离不超过 m即可。 喷灌区域包含边界，距离不超过 m即可。 针对训练 训练 圆形舞台半径为，工作人员在距离圆心处固定一灯。灯是否在边缘？另有一灯离圆心，是否在舞台内？ 答：第一盏在边缘；第二盏在舞台内。 边界对应距离等于半径，内部对应距离小于半径。 边界对应距离等于半径，内部对应距离小于半径。 方法归纳 本课方法总结 用距离判断 ① 先确定圆心与半径，再比较和。 ② 证明多点共圆可证明它们到某一点等距。 用定义辨析 ① 弦的两个端点在圆上，直径还要经过圆心。 ② 圆周与圆内区域、弧与弦分别表示不同对象。 $