29.2 圆的有关性质（第3课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第29章　圆 29.2 圆的有关性质（第3课时） 圆周角 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 同一弧所对圆心角为，它所对的圆周角多大？ O A B C 答：。 圆周角等于圆心角的一半。 情境引入 示例 圆上与直径的两端相连，多大？ 答：。 所对弧为半圆。 新知探究 圆周角的定义：观察与推理 研究问题 角的顶点与圆的位置不同，名称会发生什么变化？ 观察与依据 顶点在圆心是圆心角，顶点在圆上且两边交圆才是圆周角。 O A B C 新知讲授 圆周角的定义 结论 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角（angle in a circular segment）。 条件与用法 顶点在圆上与两边都与圆相交缺一不可。顶点在圆内、圆外均不符合定义。 O A B C 新知探究 圆周角定理：观察与推理 研究问题 同一条弧的圆心角为，圆周角多大？ 观察与依据 圆周角为；圆心角提供弧的统一角度尺度。 O A B C 新知讲授 圆周角定理 结论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 条件与用法 所对的是同一条弧，不能只看两个角的位置接近。 O A B C 新知探究 定理证明的三种位置：观察与推理 研究问题 为什么圆心不在角的一条边上时要补作直径？ 观察与依据 经过角顶点作直径，把一般情形转为两个已知的边上情形。 新知讲授 定理证明的三种位置 结论 圆心在圆周角的一条边上、内部或外部，三种情形可通过连接直径转化。 条件与用法 边上情形用等腰三角形外角，内部情形相加，外部情形相减。 新知探究 同弧所对的角：观察与推理 研究问题 同一条弧上方换一个顶点，所对圆周角是否改变？ 观察与依据 仍等于该弧对应圆心角的一半，因此不变。 新知讲授 同弧所对的角 结论 同弧或等弧所对的圆周角相等。 条件与用法 端点相同但顶点在弦两侧时，所对的是不同的两条弧，不能直接说相等。 新知探究 直径与直角：观察与推理 研究问题 为何直径两端与圆上任一点能组成直角三角形？ 观察与依据 半圆对应圆心角，圆周角为其一半。 新知讲授 直径与直角 结论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 条件与用法 由直径得到直角，也可由圆周角反推弦是直径。 例题讲解 例 3 如图，的直径的长为，弦的长为，的平分线交于点。求的长。 答：先建立解题所需的关系。 由是直径，得，故。 由是直径，得，故。 例题讲解 例 3 如图，的直径的长为，弦的长为，的平分线交于点。求的长。 答：，。 由是直径，得，故。 角平分线给出等圆周角，故；在直角三角形中用勾股定理。 角平分线给出等圆周角，故；在直角三角形中用勾股定理。 例题讲解 示例 同弧所对圆周角为，求圆心角。 答：。 圆心角是同弧圆周角的两倍。 变式训练 变式 一条弧对应圆心角，对应圆周角多少？ 答：。 同弧圆周角为圆心角一半。 例题讲解 示例 为直径，在圆上，，求。 答：。 先确定C为直角，再用内角和。 变式训练 变式 一条弧对应圆周角，对应圆心角多少？ 答：。 同弧圆心角为圆周角两倍。 例题讲解 示例 为直径且长，，在圆上，求。 答：。 。 变式训练 变式 为直径且长，，在圆上，求。 答：。 C为直角，。 例题讲解 示例 同圆中，能否断定两角所对的同一弦相等？ 答：两角均对同一弦AB，这是同弧角相等的情形。 辨清对应弦，避免把角的两边误作所对弦。 变式训练 变式 圆内接直角三角形两直角边为，求圆半径。 答：。 斜边即直径。 例题讲解 示例 圆上满足，证明为直径。 答：的圆周角所对的弦是直径。 先确认A、B、C均在同一圆上。 变式训练 变式 为直径，在圆上，，求。 答：。 两锐角互余。 例题讲解 示例 A、D位于同一弦BC两侧，和一定相等吗？ 答：不一定，它们所对的是BC的不同弧。 同端点不等于同一条弧。 变式训练 变式 直径，平分并交圆于，求。 答：。 ，且三角形ADB为直角三角形。 课堂练习 练习 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 依次观察（）—（）。 答：只有（）是圆周角。 （）顶点在圆外；（）在圆内；（）两边未交圆；（）只有一边穿过圆。 课堂练习 练习 如图，都是的半径，。求证。 O A B C 答：。 分别找AB弧和BC弧对应的圆心角。 课堂练习 练习 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下。 O A B C 答：把三角尺的直角顶点置于圆上，两直角边交圆得到一条直径；换位置再作一条直径，两直径交点就是圆心。 也可先找到一条直径，再利用其中点作圆心。 方法归纳 本阶段的解题方法 找同弧 ① 先标角的两边与圆的交点，确定不含顶点的弧。 ② 同弧时圆心角是圆周角的两倍。 见直径作直角 ① 连接直径两端与圆上已知点，构造直角三角形。 ② 圆周角反推直径，勾股定理求线段。 课堂总结 圆周角 定义 顶点在圆上且两边与圆相交。 定理 同弧圆周角等于圆心角的一半。 推论 同弧或等弧所对圆周角相等。 直径 直径与圆周角互相联系。 针对训练 训练 圆周角必须满足：A.顶点在圆心；B.顶点在圆上且两边交圆；C.顶点在圆内；D.两边所在直线过圆心。 答：选B。 同时检查顶点位置与边是否交圆。 同时检查顶点位置与边是否交圆。 针对训练 训练 同弧所对圆心角为，圆周角为________。 答：。 同弧对应后才能除以。 同弧对应后才能除以。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 圆周角一定是锐角 错 圆周角还可能是直角或钝角。 （2） 半圆所对圆周角为直角 对 半圆圆心角，圆周角为其一半。 （3） 同弧所对圆周角相等 对 同弧圆周角均等于相同圆心角的一半。 （4） 圆内任意角所对弦都是直径 错 必须是顶点在圆上的圆周角。 ④必须是圆周角。 针对训练 训练 直径与圆上点组成三角形，，求。 答：。 先由直径得到C为。 先由直径得到C为。 针对训练 训练 直径，，求。 答：。 。 。 针对训练 训练 圆内接直角三角形两直角边为，求该圆半径。 答：。 斜边是直径，斜边长。 斜边是直径，斜边长。 针对训练 训练 为直径，平分，求与。 答：都为。 CD平分直角，使AD、BD为等弦，两弧各为。 CD平分直角，使AD、BD为等弦，两弧各为。 针对训练 训练 在弦同侧的圆周上，，求。 答：。 两个圆周角所对同一条BC弧。 两个圆周角所对同一条BC弧。 针对训练 训练 圆窗直径，圆周上一点与直径两端相连，其中一段长，求另一段长。 答：。 直径构成直角三角形，再用勾股定理。 直径构成直角三角形，再用勾股定理。 针对训练 训练 场地边缘的两标记为，在同侧圆周点观测夹角为。换到同侧另一圆周点观测，夹角是多少？ 答：。 保持同圆同弧，观测点改变不影响角度。 保持同圆同弧，观测点改变不影响角度。 方法归纳 本课方法总结 找同弧 ① 先标角的两边与圆的交点，确定不含顶点的弧。 ② 同弧时圆心角是圆周角的两倍。 见直径作直角 ① 连接直径两端与圆上已知点，构造直角三角形。 ② 圆周角反推直径，勾股定理求线段。 $