28.1 图形的旋转（第1课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第28章　旋转 28.1 图形的旋转（第1课时） 旋转的概念与性质 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 时针从3时转到5时 观察 钟面时针绕表盘中心转动。时针从时到时经历个大格，每个大格对应，转动角为。 提问 描述这次运动，需要说明绕哪个点、向哪个方向、转过多少角度。时针长度不变，但其端点位置发生改变。 例题讲解 变式 从3时到5时，时针的旋转中心、方向和角度分别是什么？ 答：中心为钟面中心，顺时针，。 钟面一周，12个大格每格。 向5时方向转过2格，角度。 先确定每格或每分钟的转角，再按同向转动累加。 情境引入 生活中的转动怎样抽象 实例 风车叶片绕中心轴转动，改变航向时舵柄绕船舵中间的轴转动。把物体看作平面图形，可以关注它在同一平面中的转动。 共同点 图形绕着固定点整体转动，形状和大小保持不变。与平移不同，各点运动方向不必相同；描述时要抓住固定的中心。 新知讲授 旋转的定义 定义 像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转（rotation），点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角。 对应点 如果图形上的点经过旋转后变为点，那么这两个点叫作这个旋转的对应点。 新知讲授 三个要素共同确定旋转 旋转中心 固定哪个点十分关键。绕不同中心旋转相同角度，同一个点可能到达完全不同的位置。旋转中心自身在旋转中不动。 方向与角度 相同中心、相同角度，顺时针与逆时针通常得到不同结果。描述时应明确方向，并把转过的角和图形内部原有角区分。 O A B C A' B' C' 新知讲授 旋转前后形状与大小 整体保持 旋转前、后的图形全等。 可以得到 对应边长相等、对应内角相等，面积和周长也保持不变。这里比较的是同一图形旋转前后的对应部分，而不是随意取的两个点。 O A B C A' B' C' 新知讲授 探究：记录对应点 操作 将三角形绕点O转动，标出分别到达的。连结每组对应点与旋转中心。 测量 分别比较与、与、与；再比较、、。 O A B C A' B' C' 新知讲授 旋转的基本性质 性质 一个图形和由旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。 注意 “等距”是同一组对应点到中心的两段距离相等，并不是所有顶点离中心一样远。 O A B C A' B' C' 例题讲解 示例 将三角形绕O旋转得，已知。 （1） 求、。 （2） 一定等于吗？ （1） 答：。 各点到旋转中心距离不变。 （2） 答：不等，本题分别为3与5。 旋转并不要求不同顶点到中心距离相等。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 例题讲解 变式 将三角形绕O逆时针旋转，求、。 O A B C A' B' C' 答：都为。 A与A′、B与B′是分别对应的点。 每组对应点和中心所成角都等于旋转角。 先标对应旋转角，再根据射线实际顺序作角的加减。 新知讲授 找准对应点才能用性质 按运动配对 A旋转后到A′，则A与A′对应；不能因为图上距离近，就把A与B′配对。顶点命名顺序表达的是对应关系。 配对后推理 A、B、C分别对应A′、B′、C′，才能写、等。 O A B C A' B' C' 例题讲解 例 1 将绕点C顺时针旋转，得到，若，求。 C A B A' B' 答：。 由性质。 按图。 先标对应旋转角，再根据射线实际顺序作角的加减。 新知讲授 为什么要减去两个35° 角的组成 图中大角依次包含、、三部分。前后两个部分均等于旋转角。 顺序判断 先在图中确认射线顺序，再列加减关系。如果图形位置改变，不能机械套用“大角减两倍旋转角”。 C A B A' B' 例题讲解 变式 三角形绕C顺时针旋转，位置顺序与上题相同，且，求中间角。 答：。 两个对应旋转角都为。 --=。 先标对应旋转角，再根据射线实际顺序作角的加减。 例题讲解 变式 位置关系同例1，，，求旋转角。 答：。 设旋转角为α，则=α++α。 解得2α=，故α=。 先标对应旋转角，再根据射线实际顺序作角的加减。 课堂练习 练习 举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角。 答：如钟面时针1 h内绕钟面中心顺时针旋转；风车叶片绕轴心转动，角度以指定位置间夹角确定。 实例应包含明确的固定中心。 旋转角需要两个具体位置或明确运动时间，不能只说“风车在转”。 实例要给出固定中心，再用具体位置或运动时间确定转角。 课堂练习 练习 如图，杠杆绕支点转动撬起重物。旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？ 答：旋转中心为支点O；旋转角可表示为或。 A到A′，B到B′是两组对应点。 每组对应点与O所成的角都表示同一次转动。 先标对应旋转角，再根据射线实际顺序作角的加减。 课堂练习 练习 3 男生坐在秋千上，秋千旋转。在男生身上选一点P，标出对应点P′。 （1） 这两个点到旋转中心的距离有什么关系？ （2） 两点与旋转中心所连线段所成角是多少？ P P′ O （1） 答：。 O取秋千悬挂的旋转轴在图中所在点。 同一个身体标记前后配对，两位置到悬挂轴等距。 课堂练习 练习 3 男生坐在秋千上，秋千旋转。在男生身上选一点P，标出对应点P′。 （1） 这两个点到旋转中心的距离有什么关系？ （2） 两点与旋转中心所连线段所成角是多少？ P P′ O （2） 答：。 对应点与中心所成角等于旋转角。 对应点与悬挂轴连线所成角就是秋千的旋转角。 课堂练习 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 旋转中任意两个顶点到中心的距离都相等。 错误 仅同一组对应点到中心的距离相等。 （2） 旋转前后图形全等。 正确 形状和大小均保持不变。 （3） 旋转中心在该次旋转中位置不动。 正确 中心是绕转的固定点。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 课堂练习 练习 一个三角形三边为3、4、5，面积为6。旋转后对应图形的周长和面积是多少？ 答：周长12，面积6。 旋转前后全等，对应边长不变。 面积也保持不变。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 课堂练习 练习 两个三角形全等，就能仅凭“全等”断言给定点O是旋转中心吗？ 答：不能。 全等只说明形状和大小相同。 还应检验各对应点到O等距且按同一方向转过同一角。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 方法归纳 旋转性质的使用顺序 先确定对应 ① 以中心、方向和角度描述运动。 ② 按顶点到达位置列出对应点。 再使用保持关系 ① 对应点到中心等距，对应旋转角相等。 ② 对应边和对应内角不变，求角时先确认射线顺序。 例题讲解 变式 时针从2时转到7时，顺时针转过多少度？ 答：。 经过5个大格。 每格，故5×=。 先确定每格或每分钟的转角，再按同向转动累加。 例题讲解 变式 分针15 min内顺时针转过多少度？ 答：。 每分钟转/60=。 15×=。 先确定每格或每分钟的转角，再按同向转动累加。 例题讲解 变式 △ABC旋转得到△DEF，A对应D，B对应E，C对应F。与AC对应哪一条边？ 答：DF。 按端点对应关系找边。 AC两端分别到D、F。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 例题讲解 变式 △ABC绕O旋转，若原角B为，旋转后对应角B′是多少？ 答：。 内部角是图形自身的角，旋转中保持。 描述绕中心的转动，并不加到内部角上。 旋转保持图形内部的角，旋转角不应加到原内角上。 例题讲解 变式 等边三角形旋转后周长为18 cm，原三角形一边长多少？ 答： cm。 旋转保持周长。 等边三角形每边18/3=6 cm。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 例题讲解 变式 对应点P、P′不重合，若O是旋转中心，OP和OP′应满足什么条件？ 答：。 点到中心距离在旋转中保持。 因此中心应在PP′的垂直平分线上，但单组点通常不能唯一定位。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 例题讲解 变式 同一中心先逆时针旋转，再逆时针旋转，合起来等效怎样旋转？ 答：绕同一中心逆时针旋转。 同向转角相加。 中心须保持相同，才可直接合并角度。 先确定中心、方向与角度，再检查各关键点是否遵循同一次旋转。 课堂总结 旋转的概念与性质 要素 中心、方向、角度 对应 找准对应点和对应边 性质 到中心等距；对应旋转角相等 整体 旋转前后图形全等 针对训练 训练 “旋转”这一描述通常还缺什么？ 答：旋转中心和旋转方向。 三要素共同决定运动。 仅有角度不能唯一确定结果。 描述旋转要给中心、方向、角度。 针对训练 训练 P绕O旋转到P′，OP=7 cm，则OP′=____。 答： cm。 对应点到中心等距。 此处P与P′必须为对应点。 等距比较的是同一组对应点。 针对训练 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 旋转前后周长相等。 正确 对应边长不变。 （2） 旋转角等于任一内角。 错误 运动角与内部角不同。 （3） P与P′对应时OP=OP′。 正确 到中心距离保持。 按顶点运动次序找对应关系，再用等距或全等保持量。 针对训练 训练 时针从4时到9时顺时针转过多少度？ 答：。 跨过5个小时大格。 5×=。 时针每小时转。 针对训练 训练 旋转前四边形边长为2、3、4、5 cm，旋转后周长多少？ 答： cm。 对应边长不变。 相加2+3+4+5=14。 全等图形的周长保持。 针对训练 训练 按例1相同射线顺序，大角、旋转角，中间角多少？ 答：。 大角包括两个旋转角和中间角。 --=。 先确认角的组成，再减去对应旋转角。 针对训练 训练 按例1相同位置，大角、中间角，旋转角是多少？ 答：。 设旋转角α，列=2α+。 解得α=。 同一次旋转的两个对应旋转角相等。 针对训练 训练 △ABC旋转为△DEF，A、B、C依次对应D、E、F，AB=6、角C=，求DE和角F。 答：，。 按对应顺序找边与角。 旋转保持对应边和对应内角。 先配对，再使用全等保持关系。 针对训练 训练 轮盘每次绕中心逆时针转，连续转3次。选定轮缘点与中心所连半径转过多少度？ 答：。 同中心同向旋转，角度相加。 3×=，轮缘点到中心距离不变。 同向连续旋转在同一中心下可合并。 针对训练 训练 平面摆动装置绕固定轴O转动，装置上标记P距O为20 cm。转后P′距O多少？角POP′多少？ 答：OP′=20 cm；角POP′=。 把标记当作同一平面图形上的点。 利用等距和对应旋转角性质。 距离不变、方向改变，分别对应两条性质。 方法归纳 解题方法总结 识别旋转关系 ① 先确定中心、方向和角度，按顺序找对应点。 ② 等距与等角必须针对同一组对应点使用。 处理长度和角度 ① 对应长度不变，图形内部的角不变。 ② 先标旋转角，再按图形位置作角的加减。 $