27.1 反比例函数的概念（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第27章　反比例函数 27.1 反比例函数的概念（第1课时） 反比例函数的概念 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 列车快慢与时间 问题 京沪高铁全程为 km。某次列车的平均速度随全程运行时间怎样变化？路程固定时，速度和时间不能独立取值。 联系 利用“速度×时间=路程”，得到。当改变时，有唯一对应值，这是研究函数的起点。 情境引入 探究 分别写出变量间的关系。 （1） 京沪高铁全程 km，平均速度与时间。 （2） 面积 m²的矩形草坪，一边与另一边。 （1） 答：，。 由求。 （2） 答：，。 面积固定，。 把题目中的对应量与固定量分别确定，答案要同时满足等式和取值条件。 情境引入 探究 李明计划在一段时间内使用完 GB手机流量，平均每天使用的流量随总时间怎样变化？ 答：，。 平均每天用量×总时间（天）=总流量。 时间增加一倍，每天平均用量减半。 先说清乘积代表的固定总量，再写变量的实际取值范围。 新知讲授 反比例函数的定义 定义 一般地，形如（为常数，）的函数叫作反比例函数（inverse proportional function），其中是自变量，是的函数。自变量的取值范围是不等于的一切实数。 注意 定义同时要求分子是非零常数、自变量出现在分母的一次项中。不要把分母中的看成系数。 新知讲授 为什么排除零 分母的限制 时，分式无意义，所以自变量必须满足。例如不能取。 系数的限制 时，在范围内总有，它不符合反比例函数的定义。识别时要检查两个非零条件。 新知讲授 三个等价表达 分式形式 最便于识别；例如中比例系数为，负号属于系数。 乘积形式 说明两个对应变量的乘积恒定；也是同一个关系。转换形式时仍应保留。 课堂练习 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 是反比例函数。 正确 分子为非零常数，符合定义。 （2） 是反比例函数。 错误 它是正比例函数，自变量在分子。 （3） 是反比例函数。 错误 分母的自变量次数为，不能写成。 （4） 是反比例函数。 错误 化简为，是正比例函数。 将整体化成后，检查系数非零与自变量指数。 例题讲解 示例 把下列关系化为反比例函数的标准形式，并指出。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：，。 先除以，得。 （2） 答：，。 把分母的常数并入分子。 将整体化成后，检查系数非零与自变量指数。 例题讲解 变式 若是反比例函数，求的取值范围。 答：。 系数为，必须不等于。 解，得。 将整体化成后，检查系数非零与自变量指数。 例题讲解 变式 若是反比例函数，求。 答：。 反比例函数可写成。 本题系数，只需。 将整体化成后，检查系数非零与自变量指数。 新知讲授 数学范围与实际范围 数学范围 只有解析式时，可取任意非零实数，包括负数。不能根据实际经验擅自删去负数。 实际范围 用它描述总价元与购买整件商品的件数时，件数必须为正整数；描述矩形边长时，边长为正实数。同式可有不同范围。 例题讲解 例 已知是的反比例函数，且当时，。 （1） 写出关于的函数解析式。 （2） 当时，求的值。 （1） 答：。 设，代入。 得，代回标准式。 （2） 答：。 把代入。 得。 先设标准式，再代入同一组对应值求；求式后再求值。 新知讲授 待定系数法的逻辑 为什么能求式 反比例函数只含一个待定常数，所以一组的对应值就能确定。关键是先由题意确定函数类型。 代入什么 把同一组对应的和同时代入，得到。例如给出，不能把不同组的数交叉相乘。 例题讲解 变式 已知反比例函数在时，，求解析式及时的函数值。 答：；当时，。 由。 代入，得。 求时连同两个坐标的符号一起相乘。 例题讲解 变式 已知，当时，求。 答：。 代入得。 两边乘，得，解得。 已知函数值求自变量，也要保留。 例题讲解 变式 判断下列各点是否满足。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：满足。 。 （2） 答：满足。 。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 例题讲解 变式 判断下列各点是否满足。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：满足。 。 （4） 答：不满足。 。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 例题讲解 变式 反比例函数一组对应值为。另一组的，求。 答：。 先求定值。 由得。 先用一组对应值求固定乘积，再补全另一组。 新知讲授 倍数变化怎样表达 同号倍数 若变为原来的倍，则由可知变为原来的。这里比较的是对应量之间的倍数关系。 运算依据 设新量为，则。用等式推导比只说“一个增大另一个减小”更准确。 课堂练习 练习 一个游泳池的容积为 m³，注满水所用时间（h）随注水速度（m³/h）变化，写出函数解析式。 答：，。 由“注水速度×时间=容积”得。 把单独放在等号左边，并写实际范围。 先说清乘积代表的固定总量，再写变量的实际取值范围。 课堂练习 练习 学校准备将 m²实践田平均划分给一些班级，每班分得面积（m²）随班级个数变化，写出解析式。 答：，为正整数。 由每班面积×班级数=总面积得。 班级数必须取正整数，不能取小数。 先说清乘积代表的固定总量，再写变量的实际取值范围。 课堂练习 练习 某次物理实验中，电路电压为 V。电流（A）随电阻（Ω）变化，写出函数解析式。 答：，。 由欧姆定律。 电压固定为 V，故。 由欧姆定律，固定电压就是固定乘积。 课堂练习 练习 已知是的反比例函数，当时，。求解析式和自变量的取值范围。 答：；。 设，由。 纯数学关系中，为不等于的一切实数。 求时保留坐标符号；纯数学范围为。 课堂练习 练习 一名同学由写出。指出错误并修正。 答：系数符号错误，应为。 代回，错误式得，不满足条件。 用重新计算，得。 同一反比例函数上的点共享同一个非零坐标乘积。 课堂练习 练习 一组对应值为。它们能支持怎样的反比例函数模型？ 答：可建立；有限数据不能单独证明所有情况下都适用。 三组乘积均为。 若题意已说明为反比例关系，则可确定函数。 用全部记录检查近似模型，预测结论要保留实验条件与数据范围。 方法归纳 识别与求式的关键 识别标准 ① 先化简，确认是否能写成。 ② 同时检查与。 求式步骤 ① 设，用一组对应值求。 ② 将结果代回原条件，检查符号与单位。 新知讲授 何时不能直接认定 有偏移的关系 虽然含有，但不是常数，因此整体不是本课定义的反比例函数。 有附加条件的关系 若矩形周长固定，则两边长之和固定，不是乘积固定。应先写数量关系，再判定函数类型，避免只凭“一增一减”判断。 例题讲解 变式 购买同一种本子，总价元时，数量与单价有什么关系？单价固定为元时，总价与数量呢？ 答：前者；后者。 前者乘积固定，属于反比例关系。 后者比值固定，属于正比例关系。 把题目中的对应量与固定量分别确定，答案要同时满足等式和取值条件。 新知讲授 回到最初的三个情境 共同点 路程、面积、总流量分别提供非零定值，因而两个变化的量的乘积固定，都可用反比例函数刻画。 差别 变量的名称、单位、实际取值范围各不相同。建立同类模型后仍须回到具体情境解释所得数值，不能只写一个分式。 课堂总结 反比例函数的概念 概念 ， 条件 ；实际问题另加限制 求式 设式→代入→求 检验 检验乘积与实际意义 针对训练 训练 下列关系中，哪一个是反比例函数？A.；B.；C.；D.。 答：B。 B可写成，且。 D的分母为，不符合本课定义。 先看整体形式，再看非零条件。 针对训练 训练 中，比例系数____。 答：。 把式子写成。 负号和分母中的常数都要并入。 不要只取分子数字作为系数。 针对训练 辨析 判断正误，并说明理由。 （1） 中不能为。 正确 分母不能为零。 （2） 一定是反比例函数。 错误 反比例系数必须非零。 （3） 反比例函数的函数值可等于。 错误 且，故。 将整体化成后，检查系数非零与自变量指数。 针对训练 训练 反比例函数经过一组对应值，求解析式。 答：。 计算。 代回并检验。 一个对应数对确定一个系数。 针对训练 训练 在中，求时的。 答：。 列式。 解得，满足非零条件。 先用乘积关系减少分式运算。 针对训练 训练 若是反比例函数，求的范围。 答：。 系数应非零。 解。 指数符合时，仍须检查系数。 针对训练 训练 反比例关系中，由变为，对应的为原来的几分之几？ 答：。 变为原来的。 由乘积不变，变为。 用新值与原值的比，不用差判断倍数。 针对训练 训练 已知时，且与成反比例。求及时的另一变量。 答：时；时。 先求。 分别由和计算。 先确定共同模型，再处理两种代入方向。 针对训练 训练 把 kg材料平均装入袋，每袋质量 kg。写关系式；若装袋，每袋多少千克？ 答：，为正整数；每袋 kg。 总质量固定，。 代入得。 数量范围须与分装情境一致。 针对训练 训练 骑行全程 km，平均速度 km/h与时间 h有什么关系？若要求 h骑完，平均速度应为多少？ 答：，； km/h。 由建模。 把代入，得到。 先统一时间单位，再代入模型。 方法归纳 解题方法总结 确定反比例关系 ① 先找两个量的乘积是否为非零常数。 ② 用求比例系数，再写完整解析式。 用好取值条件 ① 数学形式中。 ② 时间、长度、人数等还要服从实际约束。 $