27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第27章　反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 固定总量与杠杆问题 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 卸货快慢怎样安排 情境 同一船货物可以快卸，也可以慢卸。若货物总量保持不变，平均卸货速度与全部卸完的总时间之间存在怎样的关系？ 任务 先找固定的总量，建立函数，再用“时间不超过要求”转换成平均速度的限制。注意平均速度不是某一瞬间的速度。 例题讲解 变式 一批货物总量为 t，卸货时间 h与平均速度 t/h满足什么关系？ 答：，即，。 把全部货物看作固定总量。 由“速度×时间=货物总量”建立关系。 先说清乘积代表的固定总量，再写变量的实际取值范围。 情境引入 不同情境同一种模型 固定总量 货物总量、待分配金额、容器容积等固定时，两个变化量常可通过乘积固定建立反比例关系。先说清不变量是什么。 后续判断 若实际变量都为正，可利用第一象限分支的递减性质：一个变量的上限通常对应另一个变量的下限。 新知讲授 实际建模的起点 明确变量 先区分自变量和因变量，写明单位。例如以t/h计、以h计，二者相乘才得到以t计的货物量。 数量关系 先列不带函数形式的关系，再变形为。不要为了套公式忽略单位或把不同总量混为一谈。 例题讲解 例 1 港口起重机每小时可往一艘轮船上装载 t货物，装载完毕恰好用了 h。该船在另一港口开始卸货。 （1） 平均卸载速度（t/h）与卸完所有货物的总时间（h）有怎样的函数关系？ （2） 要求不超过 h卸完，平均每小时至少卸多少吨？ （1） 答：，。 货物总量 t。 卸载时总量相同，所以。 （2） 答：至少 t。 边界时，。 正数范围内越小，越大。 先说清乘积代表的固定总量，再写变量的实际取值范围。 新知讲授 “不超过”怎样转译 时间条件 “不超过 h”包含恰好 h，写成。时间条件中小于号方向应先从中文准确翻译。 速度条件 在时递减，所以对应。边界相等与性质合用，可以确定整个范围。 例题讲解 变式 例1的货物总量为 t。若平均每小时卸 t，需要多少小时？是否满足不超过 h的要求？ 答：需要 h；不满足。 。 比较，或比较。 先求临界等值，再用正数分支递减性质确定范围与端点。 例题讲解 变式 卸同一批 t货物，平均速度由 t/h提高至 t/h，时间减少多少？ 答：由 h减至 h，减少 h。 分别计算和。 提高速度和减少时间的百分比并不相同。 先说清乘积代表的固定总量，再写变量的实际取值范围。 新知讲授 杠杆里的固定乘积 原理 杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂。 变量关系 若阻力和阻力臂固定，则它们的乘积固定，动力与动力臂满足定值。因此可以建立反比例模型。 新知讲授 动力臂长短与省力 关系解释 动力臂越长，在阻力和阻力臂固定时所需动力越小。它指的是力臂，即支点到力的作用线的距离。 适用条件 讨论时必须保持阻力和阻力臂不变。若支点移动导致阻力臂同时改变，就不能直接沿用同一个固定乘积。 例题讲解 例 2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 N和 m。 （1） 动力（N）与动力臂（m）有什么函数关系？动力臂为 m时至少用多大力？ （2） 若使动力不超过前问所用力的一半，动力臂至少要加长多少？ （1） 答：，；至少 N。 由杠杆原理。 代入，得。 先求固定力矩，再由动力与动力臂反比例求量。 例题讲解 例 2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 N和 m。 （1） 动力（N）与动力臂（m）有什么函数关系？动力臂为 m时至少用多大力？ （2） 若使动力不超过前问所用力的一半，动力臂至少要加长多少？ （2） 答：至少加长 m。 要求，对应。 在原 m基础上，至少加长 m。 先求固定力矩，再由动力与动力臂反比例求量。 新知讲授 “加长多少”与“多长” 先求总长 由 N求得 m，这是达到目标时动力臂至少应有的总长度，不是直接回答“加长多少”。 再求增量 原动力臂为 m，所以增量为 m。应用题应检查题目问的是总量还是增量，避免最后一步遗漏。 例题讲解 变式 某杠杆的阻力为 N，阻力臂 m，动力臂 m。至少需多大动力？ 答：至少 N。 固定力矩为。 由得。 先求固定力矩，再由动力与动力臂反比例求量。 例题讲解 变式 在中，若动力不超过 N，动力臂至少多长？ 答：至少 m。 边界时。 因正数范围内反比例递减，对应。 先求固定力矩，再由动力与动力臂反比例求量。 新知讲授 漏斗容积与深度 关系来源 圆锥体积公式为。当容积固定时，口面积与深度的乘积等于。 容易遗漏 不是，而是。用圆锥建模时，先写体积公式再变形，可以避免漏掉系数。 课堂练习 练习 1 某玻璃器皿制造公司要制造容积为 cm³（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗。 （1） 漏斗口面积（cm²）与深度（cm）有怎样的函数关系？ （2） 口面积不超过 cm²时，深度至少多少？ （1） 答：，。 由得。 从起步，固定的乘积为。 课堂练习 练习 1 某玻璃器皿制造公司要制造容积为 cm³（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗。 （1） 漏斗口面积（cm²）与深度（cm）有怎样的函数关系？ （2） 口面积不超过 cm²时，深度至少多少？ （2） 答：至少 cm。 边界时，。 正数范围内减小对应增大。 从起步，固定的乘积为。 新知讲授 分期付款中哪个金额固定 已付与未付 汽车价格万元，首付款万元。建立余款模型时固定总量是万元，不应再把首付一起摊入。 期限限制 设个月结清，必须同时满足为正整数、。平均月还款的计算还需统一万元与元之间的单位。 课堂练习 练习 2 某销售商推出免息分期付款购车活动，交首付后在个月内结清余款。小张购车价格万元，首付万元，计划个月结清，平均每月还款万元。 （1） 写与的函数关系；若个月结清，每月多少万元？ （2） 若每月还款不超过元，至少多少个月才能结清？ （1） 答：，为至的整数；每月万元。 余款为万元。 代，得。 （2） 答：至少个月。 元为万元，边界。 满足，故可行。 模型使用未付金额；整数月份取整后还要检查最长还款期限。 课堂练习 练习 在上述免息购车活动中，若小张每月最多还元，是否可在个月内结清万元余款？ 答：不可以，至少需要个月。 元为万元。 需，与冲突。 模型使用未付金额；整数月份取整后还要检查最长还款期限。 课堂练习 练习 余款万元，平均每月还款不超过万元，至少几个月结清？ 答：至少个月。 由。 月份为正整数，应向上取整为。 统一金额单位，求月数下限后向上取整。 课堂练习 练习 在阻力 N和阻力臂 m固定时，为什么动力臂越长越省力？ 答：因为保持不变，正数范围内随增大而减小。 先说明固定的是阻力与阻力臂。 再以反比例函数递减性质解释省力。 先求固定力矩，再由动力与动力臂反比例求量。 课堂练习 练习 若只知道“动力臂变长”，但阻力臂也改变，能否保证一定省力？ 答：不能。 。 只有分子固定时，才可直接比较动力臂变长的影响。 只有阻力与阻力臂的乘积固定，才可使用动力与动力臂反比例关系。 方法归纳 从固定量到实际范围 建模 ① 货物：速度×时间；杠杆：动力×动力臂。 ② 漏斗：口面积×深度等于三倍容积。 解释 ① 上限与下限要用正数分支性质连接。 ② 求增量需减原值，整数答案需检查取整方向。 例题讲解 变式 一台设备总价万元，已付万元，余款分个月付清，月均还款万元。写关系。 答：，为正整数。 余款万元。 由建立模型。 固定余款为总价减已付，首付款不能再次分摊。 例题讲解 变式 一项工程总工作量单位，需不超过天完成，每天至少完成多少单位？ 答：至少单位。 边界效率。 更短的工期要求更高效率，故为下限。 先求临界等值，再用正数分支递减性质确定范围与端点。 例题讲解 变式 杠杆固定力矩为 N·m，原动力臂为 m。若动力减半，力臂要怎样改变？ 答：由 m增至 m，加长 m。 动力与力臂乘积不变，动力减半时力臂加倍。 最后用新长度减原长度。 先求固定力矩，再由动力与动力臂反比例求量。 例题讲解 变式 一批货物 t，卸货速度为 t/h，本次为 t/h。用时记为 min，写与的关系并求本次用时。 答：；本题 min。 用时h为。 乘换为分钟，不能仍写。 分钟换小时除以60，小时换分钟乘以60。 例题讲解 变式 容积为 cm³的圆锥，口面积 cm²。深度为 cm还是 cm？ 答：为 cm。 由。 ，检查体积为。 圆锥先用，求深度后代回体积检查。 例题讲解 变式 固定力矩 N·m，动力最多 N，而动力臂最长只能 m，方案可行吗？ 答：不可行。 动力限制要求 m。 与矛盾。 先求固定力矩，再由动力与动力臂反比例求量。 课堂总结 固定总量与杠杆问题 固定量 货物总量、剩余金额、力矩 建模 先列乘积等式，再变形 边界 求临界值，用性质定方向 检验 单位、整数、期限、总量与增量 针对训练 训练 卸完同一批货物，平均速度与时间成反比例，固定的量是什么？ 答：货物总量。 平均速度×总时间=总量。 不能把速度或时间当作固定量。 先说明乘积代表的实际量。 针对训练 训练 阻力 N、阻力臂 m固定，动力与动力臂满足____。 答：，。 。 动力臂以m计。 先求固定力矩。 针对训练 训练 固定力矩下，动力臂增加为原来的倍，动力是否也增加倍？ 答：否，动力变为原来的。 动力与动力臂成反比例。 保持二者乘积不变。 这里“增加为”比较的是新旧倍数。 针对训练 训练 t货物需不超过 h卸完，平均每小时至少卸多少吨？ 答：至少 t。 边界速度 t/h。 时间更短，速度更大。 不超过时间对应至少效率。 针对训练 训练 容积 cm³的圆锥，口面积为 cm²，求深度。 答： cm。 。 。 不要漏圆锥体积公式中的三分之一。 针对训练 训练 余款万元，每月最多还万元，至少几个月结清？ 答：至少个月。 。 取满足条件的最小正整数。 至少整数个时间段应向上取整。 针对训练 训练 固定力矩 N·m，力臂从 m增至 m，动力减少多少？ 答：减少 N。 原动力 N。 新动力 N，相减得。 先求新旧实际值，再求差。 针对训练 训练 t货物要在 h内卸完，设备平均速度最多 t/h。可行速度范围是什么？ 答： t/h。 时间要求给。 再与设备上限取交集。 最终范围应同时满足全部限制。 针对训练 训练 阻力 N，阻力臂 m，工人最多用 N，动力臂至少多少米？ 答：至少 m。 固定力矩。 边界，故。 先确认阻力臂固定。 针对训练 训练 设备万元，首付万元，余款需个月内结清。每月平均不超过元，至少几个月结清？ 答：至少个月，可满足期限。 余款万元，月上限万元。 需，取。 单位转换、向上取整与期限检验缺一不可。 方法归纳 解题方法总结 建立固定乘积 ① 先扣除已完成或已付款的部分。 ② 从物理或几何公式求出真正的非零定值。 处理限制 ① 由正数分支递减性质转译上限与下限。 ② 整数月份向上取整，且检查最长时限。 $