26.4 实际问题与二次函数（第1课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第26章　二次函数 26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 高度与面积的最值 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 实际问题中的最值 观察与分析 飞行的最高高度、围栏围出的最大面积，都可以转成二次函数的最大值问题。先找两个变量之间的函数关系。 结论与应用 数学最值由顶点决定，但实际范围可能限制顶点是否可取。因此建模与范围检验都不可省略。 情境引入 问题量与自变量 观察与分析 跳水问题以时间为自变量、重心高度为因变量；菜园问题以一边长为自变量、面积为因变量。 结论与应用 要选择能用一个字母表示其他量的自变量。函数式写出后，再明确“求最大什么、何时取得”。 新知讲授 跳水高度模型 观察与分析 中，初始高度，二次项系数为负，所以图象有最高点。 结论与应用 达到最高点的时间为，该时刻位于起跳后的运动阶段。 1 2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x y O V 新知讲授 跳水的最大高度 观察与分析 将代入，得到。按题目保留一位小数，最高点时刻约。 结论与应用 中间计算尽量保留准确值，最后再统一取近似值。若先把时间变成再代入，可能累积舍入误差。 新知讲授 描述完整变化过程 观察与分析 跳水运动员先向上，重心高度在顶点前增加，顶点后降低，直到入水。图象左、右两侧对应不同运动阶段。 结论与应用 坐标原点与水面位置由模型决定。物体真实轨迹不一定等于“高度对时间”图象，后者只记录高度变化。 新知讲授 借墙围栏的三条边 观察与分析 矩形一边借墙，围栏只需围另外三边。设垂直墙边长，两条这样的边共用，平行墙边长。 结论与应用 不能套用完整四边周长的表达式。先逐段计数，再利用面积公式，才能得到正确模型。 新知讲授 面积函数与范围 观察与分析 ，需要且，所以。 结论与应用 面积单位是平方米，边长单位是米。自变量范围来自边长为正，它同时说明退化的矩形不在讨论内。 新知讲授 面积最大时的边长 观察与分析 ，顶点横坐标在允许范围内，因此最大面积。 结论与应用 平行墙边为。最终答案应同时给出两邻边，说明怎样围才能实现最大值。 5 10 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 x y O V 新知讲授 最佳矩形不一定是正方形 观察与分析 完整周长固定时，正方形面积最大；借墙三边固定时，最佳矩形的平行墙边是垂直墙边的两倍。 结论与应用 两个结论的约束条件不同。不能把“正方形最大”脱离周长模型，直接用到所有矩形优化问题。 新知讲授 墙长度限制 观察与分析 若墙只有，平行墙的边应不超过，所以。与正边长条件合并得。 结论与应用 原顶点落在新范围之外，不能使用原来的最大面积。条件变化首先改变的是允许范围。 新知讲授 顶点不可取时看区间端点 观察与分析 在的区间上，随增大而减小，所以最大值在取得。 结论与应用 这时平行边为，面积。利用增减性选端点，比不加判断地代入顶点公式更符合实际条件。 新知讲授 边界是否包含 观察与分析 墙长可以刚好用满，所以平行边带等号，允许；矩形边长不能为零，所以不带等号。 结论与应用 取值区间的开闭来自题意，决定端点是否可取。写范围时应解释等号的来源，而不是按习惯添加。 新知讲授 高度模型的最值 观察与分析 ，在飞行范围内，最高高度，于取得。 结论与应用 时间范围能通过高度为零的方程得到。顶点在范围中间，描述上升、下降两个阶段也更加直观。 新知讲授 用数值核对最大值 观察与分析 面积模型中，和均得，顶点得。两侧等距点函数值相同且低于顶点。 结论与应用 数值检查不能代替一般证明，但能验证顶点与最大值的合理性。如果顶点值反而更小，常见原因是开口符号算错。 新知讲授 多设法的效率比较 观察与分析 围栏题也可设平行墙边为，垂直边为，面积。 结论与应用 这个函数也给出平行边时面积最大。不同设法都应满足同一三边总长，最后得到同样实际尺寸。 新知讲授 最大值与达到位置一起回答 观察与分析 只给面积不能说明怎样围；只给也没有回答最大面积。运动题中“几秒最高”与“最高多少米”同样是两问。 结论与应用 答案按自变量最优值、相关尺寸、目标最大值的顺序写完整，并保持单位一致。 新知讲授 图象对范围的作用 观察与分析 画出整个抛物线后，在横轴上标出实际允许区间。最优点可能是顶点，也可能是区间允许的某个端点。 结论与应用 若区间跨顶点，顶点最优；若完全在一侧，按该侧增减方向找最优端点。先看位置关系，再计算。 新知讲授 建模到解释的完整链条 观察与分析 把问题转成一个变量的函数，写实际范围，求顶点并检查是否可取，最后翻译成实际答案。 结论与应用 这条链条适用于高度、面积等不同目标。每一步都由当前情境支持，不能只套一个最大值公式后结束。 例题讲解 例 1 跳水运动员重心相对水面的高度（米）与起跳后时间（秒）关系为。多久达到最高点？最大高度是多少？结果保留一位小数。 答：约时达到最高。 。 代入得。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 例题讲解 例 2 利用一面长度不限的墙，用篱笆围成矩形菜园，如何围使面积最大？最大面积是多少？ 答：垂直墙边，平行墙边；最大。 。 ，顶点可取。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 课堂练习 练习 上一围栏问题中，墙长只有，仍用篱笆围矩形菜园。如何围使面积最大？最大面积是多少？ 答：垂直墙边，平行墙边；最大。 ，故。 原顶点五不在范围内，函数在该区间递减，取。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 课堂练习 练习 地面竖直上抛小球，高度，。何时最高？最大高度是多少？ 答：时最高。 。 顶点时刻三在允许范围内。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 例题讲解 示例 用围栏，借助一面足够长的墙围矩形，求最大面积与两邻边。 答：垂直墙边、平行墙边，最大面积。 设垂直墙边，。 在内，顶点可取。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 例题讲解 示例 用围栏，借助一面足够长的墙围矩形，求最大面积与两邻边。 答：垂直墙边、平行墙边，最大面积。 设垂直墙边，。 在内，顶点可取。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 例题讲解 示例 用围栏围一个四边都需要围栏的矩形，求最大面积与边长。 答：边长均，面积。 。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 例题讲解 示例 面积函数，若，求最大面积。 答：时，最大。 整个区间在轴左侧，开口向下的函数递增。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 例题讲解 示例 高度，只观察，观察期间最高多少？ 答：，在取得。 观察区间在顶点前，函数递增。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 例题讲解 示例 用三边围栏，墙长，能达到原来最大面积吗？ 答：能。 最优平行边十米，不超过墙长十二米。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 课堂总结 高度与面积的最值 建模 用一个自变量表示目标量 范围 正边长、时间段、墙长限制 顶点 求最优位置与目标值 限制 顶点不在范围内时用增减性 结论 尺寸、时间、最大值及单位 针对训练 训练 用围栏借足够长的墙围矩形，最大面积方案为（ ）。A.垂直墙、平行墙；B.两边均；C.两边均；D.垂直墙、平行墙。 答：选A。 。 顶点可取，平行墙边；其余方案不满足最优尺寸或围栏总长。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 针对训练 训练 用围栏借墙围矩形，垂直墙边为，面积，最大面积，在取得。 答：；；。 。 ，顶点七可取。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 实际范围外的顶点也可直接作为最优方案。 错误 方案必须可取，顶点不可取时应检查区间增减。 （2） 借墙三边围栏长，设垂直墙边，面积为。 正确 垂直墙方向的边共用两段，平行边用剩余长度。 （3） 最大值与取得最大值的自变量是同一个量。 错误 前者是目标值，后者是取得目标的位置或时刻。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 针对训练 训练 ，求最高高度与时刻。 答：时最高。 。 系数为负，顶点给出最高高度二十一。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 针对训练 训练 ，，求最大值。 答：，在取得。 顶点横坐标四，不在内。 区间在轴左侧函数递增，。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 针对训练 训练 ，，求最大值。 答：，在取得。 顶点横坐标一，整个区间在轴右侧。 函数递减，。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 针对训练 训练 三边围栏，墙长，设垂直墙边为，求实际范围。 答：。 平行墙边为，条件。 解得且，合并范围。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 针对训练 训练 时间—高度图象的顶点横坐标表示什么，纵坐标表示什么？ 答：分别是达到最高点的时间与最大高度。 横轴标的是时间，所以顶点横坐标给出达到最高点的时刻。 纵轴标的是高度，所以顶点纵坐标给出最高高度；两者单位不同。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 针对训练 训练 学校用围栏借墙围矩形，墙长仅。怎样围面积最大？ 答：垂直边、平行边，最大。 ，范围。 顶点不可取，函数递减，取。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 针对训练 训练 抛球高度，单位米、秒。求最高高度；若只观察起抛后第一秒，观察期间最高多少？ 答：全程最高；第一秒内最高。 ，全程顶点。 内递增，。 先写实际范围，再检查顶点可否取；不可取时利用增减性。 方法归纳 解题方法总结 先建立函数和实际范围 ① 围栏逐边计数，运动明确时间阶段。 ② 额外限制可能改变最优解。 检查顶点能否取得 ① 顶点可取时直接用最值。 ② 顶点不可取时按区间增减选允许端点。 $