26.1 二次函数的概念（第1课时） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第26章　二次函数 26.1 二次函数的概念（第1课时） 二次函数的概念 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 固定周长中的面积变化 观察与分析 用长的细绳围成矩形，一边长变化时，邻边长为，面积。 结论与应用 展开得。对每个允许的，面积都有唯一值，但这个关系已经超出一次函数的范围。 情境引入 从方程到函数 观察与分析 若面积固定为，得到方程；若研究不同对应的所有面积，就用函数描述。 结论与应用 方程关注满足指定结果的未知数，函数描述变量之间的对应关系。同一个实际情境可以产生两种数学表达。 新知讲授 球队数与场次数 观察与分析 队单循环比赛，每两队一场，场数。 结论与应用 对每个确定的队数，都有唯一的场数。自变量名称不一定是，函数名称也不一定是。 新知讲授 产量与增产倍数 观察与分析 现年产量，今后两年每年都比上一年增加倍，两年后产量。 结论与应用 展开为。自变量是年增产倍数，而不是年份；要按题目明确变量含义。 新知讲授 二次函数 定义 一般地，形如（是常数，）的函数，叫作二次函数（quadratic function）。其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 理解 抓住常数系数、自变量最高次数为二以及二次项系数非零三个关键条件。 新知讲授 二次项系数不能为零 观察与分析 若中的，函数变成，已经是一次函数。 结论与应用 要使它是二次函数，需要。一次项、常数项可以为零，但二次项系数不能为零。 新知讲授 缺少一次项或常数项 观察与分析 有；有。 结论与应用 二次函数不要求三项都出现。按逐项定位，缺项的系数补零，而不是跳过。 新知讲授 先展开再读系数 观察与分析 展开为，因此。 结论与应用 括号外的不是一般形式中的常数项。判定与读系数时，先整理为一般形式。 新知讲授 整式中的最高次数 观察与分析 整理后是二次函数；整理后是一次函数。 结论与应用 函数类型按化简后的解析式判断。不能只看原式出现过平方或立方，就直接下结论。 新知讲授 分式与根式情形 观察与分析 的表达式不是自变量的二次多项式；同样不属于本课定义的二次函数。 结论与应用 数值系数如或可以出现。关键看未知量是否在分母、根号或其他非多项式结构中。 新知讲授 常数与自变量的身份 观察与分析 在中，是自变量，是常数系数；用不同字母不改变二次函数结构。 结论与应用 在含参数表达式中，应先说明哪个字母为变量、哪些字母为已知常数，再判断最高次数。 新知讲授 数学定义域与实际范围 观察与分析 对于二次多项式，自变量通常可取任意实数；矩形面积模型中，应有。 结论与应用 解析式的意义与实际对象的限制需要同时考虑。长度为负虽可代入多项式，却不能表示原矩形。 新知讲授 面积模型要看整体边长 观察与分析 绿地原长、宽，两边各增加后，新面积。 结论与应用 展开得。图中“各增加”与在四周均匀铺宽的路不同，不能一律加。 新知讲授 圆柱表面积的组成 观察与分析 圆柱表面积由两个底面积和一个侧面积组成，。当高时，可用一个变量表达。 结论与应用 得到。把题目中的等长关系代入后，才能判断表面积关于半径的函数类型。 新知讲授 连续下降的销售量 观察与分析 某产品原年销量万件，后两年平均下降率为，一年后，两年后。 结论与应用 函数描述末年销量与下降率的关系。实际一般要求。 新知讲授 用对应值解释函数 观察与分析 给定，当时，当时。每个都给出唯一的。 结论与应用 不同可能对应同一个，函数并不要求一一对应。例如中都对应。 新知讲授 同一关系的不同写法 观察与分析 与相等。前者显示长乘宽，后者显示二次项系数与一次项系数。 结论与应用 不同形式服务不同目的：建模时保持结构有助于解释，识别类型时展开更直接。二者可按需要转换。 新知讲授 自己提出二次关系 观察与分析 设计问题时，可从边长变化引起面积变化、两两配对数量、连续两次按同一倍率变化入手。 结论与应用 应明确自变量、因变量和实际范围，并写出能由已知关系推出的解析式。仅在式子里随意加不算建模。 例题讲解 例 写出下列变量之间的函数解析式。 （1） 一个圆柱的高等于底面半径，写出表面积关于半径的函数解析式。 （2） 产品年销售量为万件，后两年年销售量下降，平均下降率为。写出两年后年销量（万件）关于的解析式。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 连续两次都乘以一减下降率。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 课堂练习 练习 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 按二次、一次、常数顺序读取。 （2） 答：。 缺项补零。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 课堂练习 练习 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 分数系数保留符号。 （4） 答：。 先展开括号。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 课堂练习 练习 如图，长、宽的矩形绿地两边长各增加，扩充后面积为。写出关于的解析式。 答：。 新长宽分别为。 ，展开即可。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 课堂练习 练习 提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数表示。 答：例如：边长为的正方形面积是多少？。 边长是自变量，面积是因变量。 用面积公式得到二次关系，并附上长度为正的范围。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 例题讲解 示例 、中，哪个是二次函数？ 答：前者是，后者化为，不是。 先化简，再看自变量最高次数。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 例题讲解 示例 当为何值时，为二次函数？ 答：。 二次项系数。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 例题讲解 示例 经过对应值，求。 答：。 ，得。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 例题讲解 示例 长、宽的矩形外铺宽的小路，写出含小路总面积。 答：。 。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 例题讲解 示例 本金元，一年定期利率，一年到期本息自动转存。写出两年后的本息和关于的解析式。 答：。 第一年末本息为元，转作第二年的本金。 第二年再乘，得到元。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 课堂总结 二次函数的概念 定义 系数 先展开，再读符号与缺项 变量 自变量与因变量的唯一对应 模型 面积、配对、连续变化 范围 按实际对象附加取值限制 针对训练 训练 下列哪个是二次函数？A.；B.；C.；D.。 答：选C。 A为一次函数，B含自变量的分式，均不符合定义。 D化为；只有C的整式最高次数为二且首项系数非零。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 针对训练 训练 的一般式为，二次、一次项系数和常数项分别为。 答：；。 展开为。 合并常数项后，按次数读出系数。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 二次函数的二次项系数可以为零。 错误 为零时二次项消失，不再符合定义。 （2） 是二次函数。 正确 展开后最高次数为二，首项系数二非零。 （3） 是二次函数。 错误 化简为，最高次数为一。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 针对训练 训练 为二次函数，求条件。 答：。 要求二次项系数。 解得，否则函数退化为常数。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 针对训练 训练 ，求时的函数值。 答：分别为。 时，。 时，。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 针对训练 训练 已知，时，时。求解析式。 答：。 给出。 给出，故。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 针对训练 训练 支球队单循环比赛，写出场数关于的式子及实际范围。 答：，为大于的整数。 每队与其余队各比赛一次，合计次计数。 每场重复两次，除二得；队数是大于一的整数。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 针对训练 训练 某商品原价元，连续两次按的比例降价，写出现价。 答：，通常。 第一次后价格，第二次再乘。 现价；非负价格通常要求。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 针对训练 训练 长、宽的矩形花坛，长和宽各增加。求新面积关于的解析式，并求时面积。 答：；。 。 时。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 针对训练 训练 工厂原年产量吨，未来两年每年按相同增长率增长。写出两年后产量，并求增长率时的产量。 答：；吨。 。 百分数先换为小数再代入。 明确变量及实际范围，整理后检查二次项系数不为零。 方法归纳 解题方法总结 识别二次函数 ① 先整理到一般形式。 ② 检查二次项系数非零及变量身份。 由情境写解析式 ① 先用同一变量表达相关量。 ② 写出数量关系并保留实际范围。 $