26.2 二次函数的图象和性质（第3课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第26章　二次函数 26.2 二次函数的图象和性质（第3课时） 二次函数的图象和性质 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 左右移动与自变量替换 观察与分析 的点向右移动后变成，整个图象的顶点也应移到。 结论与应用 新函数是。括号内出现减号，是为了使时平方项为零，不能仅凭符号字面猜方向。 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 情境引入 在同一高度追踪点 观察与分析 旧图上的点向右平移变成。把代入，得到纵坐标仍为。 结论与应用 水平移动改变横坐标，纵坐标保持不变。用对应点检查解析式，比背诵方向口诀更可靠。 新知讲授 向右平移 观察与分析 向右平移个单位（），新图为，顶点是。 结论与应用 “右移减”来自新横坐标比旧横坐标多，所以旧横坐标等于新横坐标减。 新知讲授 向左平移 观察与分析 左移后，新顶点在，函数为。与统一形式比较时应写作。 结论与应用 不要把括号内的误认为顶点横坐标为。先找使括号为零的，即可确定顶点位置。 新知讲授 顶点与对称轴 观察与分析 的顶点是，对称轴为直线。水平平移把原纵轴的位置一起移到新位置。 结论与应用 对称轴可以不经过原点。直线是竖直直线，表示所有横坐标等于的点；时就是纵轴。 新知讲授 形状与开口不变 观察与分析 水平平移不改变，所以同系数抛物线的形状相同。正系数开口向上，负系数开口向下。 结论与应用 顶点在纵轴左边或右边，并不能决定开口方向。方向始终由首项系数的正负确定。 新知讲授 为什么对称轴移到h 观察与分析 横坐标与代入后，平方项分别为，函数值相等。 结论与应用 因此距离直线左右等距的点成对出现。到对称轴的距离取代了本来离纵轴的距离。 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y O A B 新知讲授 向上开口时的增减 观察与分析 当时，处，随着接近，平方项减小；处，平方项增大。 结论与应用 左侧减小，右侧增大，分界从变成。不能继续用机械描述平移后的函数。 新知讲授 向下开口时的增减 观察与分析 当时，在处随增大而增大，在处随增大而减小。 结论与应用 先确定轴的位置，再按开口判断两侧。即使为负数，左右的含义仍是数轴上“小于”和“大于”该值。 新知讲授 极值的大小与位置 观察与分析 对，极值仍为，但取得极值时的自变量变为。 结论与应用 水平移动改变极值取得的位置，不改变其数值。与竖直移动的效果比较，有助于分清两类平移。 新知讲授 由解析式读方向 观察与分析 应写成，所以顶点横坐标，由左移得到。 结论与应用 标准式中的减号属于形式的一部分。直接看括号里加几就说右移几，是常见符号错误。 新知讲授 由平移写解析式 观察与分析 右移单位，得到。二次项系数原样保留。 结论与应用 只替换原来的，不要同时再减常数。后者是竖直平移，会使顶点纵坐标也变化。 新知讲授 继续平移的累计 观察与分析 向左移单位，新顶点横坐标为，新式为。 结论与应用 可以先追踪顶点，再重写标准式；也可以在原式里用替换。两种方法结果应一致。 新知讲授 由对称点求另一个横坐标 观察与分析 若抛物线对称轴为，点的对称点横坐标满足，得。 结论与应用 一般对称点横坐标和为，纵坐标相同。这个关系可用于作图、补全坐标与确定对称轴。 新知讲授 由相等函数值找轴 观察与分析 在同一抛物线上，若不同横坐标给出相同函数值，则轴在两者中间，。 结论与应用 使用时两个横坐标应不同。若只是同一个点重复出现，就不能靠平均值推断一条新的对称轴。 新知讲授 比较函数值看离轴距离 观察与分析 对，比较横坐标时，先比较到轴的距离。 结论与应用 正系数离轴越远值越大；负系数则离轴越远值越小。跨越对称轴时，按距离比较比只看大小准确。 新知讲授 平移前后的坐标关系 观察与分析 右移后，旧点变为；左移则变为。 结论与应用 点的坐标直接按移动方向加减，函数括号内的替换则体现旧横坐标。这两个表达看起来符号相反，描述的是不同对象。 新知讲授 用顶点快速自检 观察与分析 无论怎样写平移后的解析式，都可代入预期顶点横坐标，看平方项能否为零。若不能，平移符号通常写反。 结论与应用 再检查是否保持、顶点纵坐标是否仍为零。一次简短代入能同时核对方向、距离和形状。 例题讲解 示例 画出，指出开口、对称轴、顶点，并说明与的关系。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y O 答：都开口向下；轴，顶点；分别左、右移单位。 把括号内平方为零的位置作为顶点横坐标。 列表时选择以各自对称轴为中心的成对横坐标。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 课堂练习 练习 在同一坐标系画出下列图象，指出三条曲线的位置关系及各自开口、轴、顶点、增减情况。 （1） （2） （3） -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y O （1） 答：开口向上；对称轴；顶点。 原曲线；递减，递增。 （2） 答：开口向上；对称轴；顶点。 原曲线左移；递减，递增。 增减以新的对称轴为界。 课堂练习 练习 在同一坐标系画出下列图象，指出三条曲线的位置关系及各自开口、轴、顶点、增减情况。 （1） （2） （3） -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y O （3） 答：开口向上；对称轴；顶点。 原曲线右移；递减，递增。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 例题讲解 示例 指出的开口方向、对称轴、顶点与增减情况。 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 把函数与比较，读出。 增减情况以对称轴为分界，按开口方向判断。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 例题讲解 示例 指出的开口方向、对称轴、顶点与增减情况。 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 x y O 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 把函数与比较，读出。 增减情况以对称轴为分界，按开口方向判断。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 例题讲解 示例 向左平移单位，求新解析式。 答：。 新顶点横坐标。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 例题讲解 示例 的对称轴为，求。 答：。 顶点横坐标。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 例题讲解 示例 上的点关于轴的对称点是什么？ 答：。 。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 例题讲解 示例 抛物线经过两个等高点，求。 答：。 。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 例题讲解 示例 中，比较处的函数值。 答：。 到轴的距离依次为三、一、二；负系数下越远越小。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 课堂总结 二次函数的图象和性质 平移 左加右减，用顶点核对 顶点 轴 增减 以新对称轴为分界 对称 等高两点横坐标和为两倍轴坐标 针对训练 训练 抛物线的对称轴为（ ）。A.；B.；C.；D.纵轴。 答：选A。 使括号为零得，顶点为。 对称轴是经过顶点的竖直直线，不是水平直线。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 针对训练 训练 的顶点为，对称轴为，最大值为。 答：；；。 令，得到顶点横坐标为负一。 负平方项不大于零，故最大值为零。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 的轴为。 错误 令括号为零得。 （2） 右移得到。 正确 顶点移到二、零。 （3） 水平平移会改变极值的大小。 错误 水平移动改变极值的位置，不改变纵坐标。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 针对训练 训练 向右移单位，求新解析式。 答：。 原顶点横坐标，右移四后为。 纵坐标仍为零，所以新式。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 针对训练 训练 如何平移得到？ 答：向右移单位。 原顶点，新顶点。 横坐标增加五，纵坐标不变，即向右平移五单位。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 针对训练 训练 对称轴，图象经过，求其对称点。 答：。 由对称轴中点关系，。 解得，纵坐标仍为九。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 针对训练 训练 的最小值是什么，何时取得？ 答：最小值，时取得。 ，因此最小值不小于零。 当，即时取零。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 针对训练 训练 ，时的两个横坐标是什么？ 答：。 ，所以。 解得，平均数为二，与轴一致。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 针对训练 训练 展示用抛物线支架原模型，整体向右移动。求新模型及原点处高度。 答：；原点处。 顶点移到，原点代入。 坐标原点保持不动，移动的是装置。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 针对训练 训练 槽形轨道截面为，单位为米。轨道最低点在哪里？距最低点水平的两处高度是多少？ 答：最低点；两处均高。 横坐标为，到轴距离都为二。 。 先追踪顶点横坐标，再写括号；增减以新的对称轴为界。 方法归纳 解题方法总结 先找使括号为零的位置 ① 由此确定顶点横坐标和对称轴。 ② 跟踪顶点能快速检查平移符号。 围绕新对称轴研究性质 ① 比较函数值可先比较离轴距离。 ② 开口向上左降右升，向下则相反。 $