26.2 二次函数的图象和性质（第4课时）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章　二次函数 26.2 二次函数的图象和性质（第4课时） 二次函数的图象和性质 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 把两种平移放在一起 观察与分析 已学竖直平移与水平平移。若两种移动同时发生，就得到。 结论与应用 分别跟踪顶点的横、纵坐标，可同时理解两个参数。先确定位置，再看决定的形状与开口。 情境引入 从一个具体图象出发 观察与分析 由下移，再左移得到。顶点从移到。 结论与应用 水平与竖直移动可以交换顺序，最终位置相同。关键是两次位移分别作用于横坐标和纵坐标。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 新知讲授 顶点式中的三个参数 观察与分析 中，决定开口与宽窄，是顶点横坐标，是顶点纵坐标。 结论与应用 读时要把括号写成，读时保留外面的符号。不同参数控制不同的图象信息。 新知讲授 对称轴与顶点 观察与分析 抛物线的对称轴是，顶点是。令，平方项为零，就能直接得到顶点。 结论与应用 顶点给出了位置，对称轴给出两侧成对关系。顶点不是两个参数随意拼接，而是可代入验证的图象上的点。 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O V 新知讲授 开口方向 观察与分析 当时，平方项非负，图象开口向上；当时，平方项非正，图象开口向下。 结论与应用 顶点在第几象限与开口方向没有必然联系。比如顶点在右下方，但仍开口向下。 新知讲授 形状相同的位置移动 观察与分析 与的形状相同，位置不同。平移不改变两点间距离，也不改变曲线的弯曲形态。 结论与应用 若两函数首项系数不相同，单纯平移不能使它们重合。判断可否平移，先核对是否完全相同。 新知讲授 向上开口的增减 观察与分析 当，在处，随增大而减小；在处，随增大而增大。 结论与应用 竖直参数只将数值整体加常数，不改变这两个区间上的增减。分界始终由轴的位置决定。 新知讲授 向下开口的增减 观察与分析 当，在处，随增大而增大；在处，随增大而减小。 结论与应用 描述函数性质时同时写出区间与方向。只有“先增后减”而不写分界，不能准确表达一条已知抛物线。 新知讲授 最小值与取得条件 观察与分析 当时，，且时等号成立，所以最小值为。 结论与应用 完整表达是“当时，取最小值”。把自变量的位置与函数值分开写，含义更清楚。 新知讲授 最大值与取得条件 观察与分析 当时，，在时取最大值。顶点是图象的最高点。 结论与应用 最大值不受正负影响。水平移动只改变取得最大值的位置，竖直移动才改变其大小。 新知讲授 用顶点与一点确定解析式 观察与分析 已知顶点，可设，再将另一个横坐标不等于的点代入求。 结论与应用 顶点已经确定两个参数，因此只剩一个未知系数。若第二个点还是顶点，就不能提供新的确定信息。 新知讲授 为什么选合适的坐标系 观察与分析 喷水池、拱桥等曲线可通过建系转成点的坐标。若已知最高点，选择方便的参考方向便能直接读出顶点。 结论与应用 建系后要说明单位和原点含义。图中距离有时是两点之差，不能把每段距离都直接当成某点坐标。 新知讲授 喷泉中的顶点与落地点 观察与分析 水柱在离池中心处高，落地处横坐标。以池中心地面为原点，顶点为。 结论与应用 设，再把代入。水管高度则对应纵轴交点的纵坐标。 新知讲授 实际曲线只取一部分 观察与分析 喷泉水线只从喷头到落地点存在，实际横坐标在与之间。完整抛物线的其他部分只是数学延伸。 结论与应用 写解析式时加上实际范围，可防止把落地后的负高度误解为真实水线。函数模型应保留情境的边界。 新知讲授 由两个等高点求轴 观察与分析 在同一抛物线上，不同横坐标对应相同纵坐标，则对称轴为。 结论与应用 等高条件可先帮助确定，再结合顶点或另一个点求其他参数。不要先把两点当成横轴交点，除非纵坐标确为零。 新知讲授 比较大小看离轴距离 观察与分析 在中，离越远，平方越大，函数值越小。相距轴等远的点取值相同。 结论与应用 跨越对称轴比较时，这种距离方法比单看横坐标大小更适合。先看的符号，再决定距离与函数值的关系。 新知讲授 读解析式前先化标准结构 观察与分析 中，。另一个函数可化为，应读。 结论与应用 括号内可能不是直接的。先利用平方的性质改写，再读参数，避免只抓数字与符号。 新知讲授 平移与代入共同检验 观察与分析 写出后，代入检查是否得到；再代入题目给出的另一点，检查是否成立。 结论与应用 前一检查核对顶点，后一检查核对形状系数。两者都成立，才能说明解析式符合当前全部条件。 例题讲解 示例 画出，指出开口方向、对称轴、顶点，并说明它与的关系。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：向下；轴，顶点；基础图左移、下移。 先标顶点，再取关于新对称轴成对的点。 相同系数保证曲线形状相同。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 例题讲解 例 2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，顶端安喷水头。抛物线形水柱在离池中心水平处达到最高，落地处离池中心。水管应多长？ 答：设，由落地点得。 以水管与地面交点为原点，水平为横轴、竖直为纵轴。 ，解得。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 例题讲解 例 2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，顶端安喷水头。抛物线形水柱在离池中心水平处达到最高，落地处离池中心。水管应多长？ 1 2 3 4 1 2 3 4 x y O V A B 答：水管长。 水线。 水管处，。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 课堂练习 练习 说出下列抛物线的开口、对称轴、顶点及随横坐标增大的变化情况。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 括号为零时横坐标负三。 （2） 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 负系数左升右降。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 课堂练习 练习 说出下列抛物线的开口、对称轴、顶点及随横坐标增大的变化情况。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 正系数左降右升。 （4） 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 顶点纵坐标负六。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 课堂练习 练习 说出下列二次函数的最大值或最小值。 （1） （2） （1） 答：时最小值为。 正平方项不小于零。 （2） 答：时最大值为。 负平方项不大于零。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 例题讲解 示例 抛物线顶点，经过，求解析式。 答：。 设，，得。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 例题讲解 示例 经过，求。 答：。 ，再由求。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 例题讲解 示例 右移、上移，求新解析式。 答：。 新顶点为。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 例题讲解 示例 ，比较时的值。 答：。 到轴距离依次为三、一、二，负系数下远者更小。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 课堂总结 顶点式 图象与性质 参数 形状看系数，位置看顶点 顶点 ，轴 极值 在轴上取得，值为k 平移 分别改变顶点横、纵坐标 建模 顶点设式，另一点求系数 针对训练 训练 函数的顶点为（ ）。A.；B.；C.；D.。 答：选C。 括号写为，所以。 代入得到，核对顶点坐标。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 针对训练 训练 的顶点为，最大值为，取得时。 答：；；。 括号为零时，函数值为。 首项系数为负，顶点为最高点。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 的顶点为。 正确 括号为零时函数值为三。 （2） 此函数在时随增大而减小。 错误 向下开口，轴左侧随横坐标增大而增大。 （3） 此函数的最大值为三。 正确 负平方项不大于零，最高点在顶点。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 针对训练 训练 左移、下移，求解析式。 答：。 左移三使顶点横坐标，下移二使纵坐标。 系数保持一，写成。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 针对训练 训练 顶点、经过的抛物线解析式是什么？ 答：。 设，代入。 ，得。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 针对训练 训练 经过点，求其对称点。 答：。 轴，对称点满足。 ，纵坐标不变为七。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 针对训练 训练 中，时的横坐标是什么？ 答：。 ，整理为。 开方得，两根。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 针对训练 训练 的顶点是什么？ 答：。 。 与顶点式比较，。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 针对训练 训练 桥拱最高点离水面，以水面中点为原点，拱形顶点，水面交点为。求曲线解析式及离中心处的高度。 答：；高。 ，得。 时。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 针对训练 训练 轨道模型，单位为米。求最低点与距最低点水平处的高度。 答：最低点；两侧均高。 平方项最小为零。 距轴二米时，。 令括号为零找顶点；顶点已知时设式，再代另一点求系数。 方法归纳 解题方法总结 用顶点式读图象性质 ① 使括号为零，确定轴与顶点。 ② 按开口方向判断极值和左右增减。 用已知点建立模型 ① 顶点已知时直接设顶点式。 ② 再代一点求系数，并保留实际范围。 $