26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时） 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第26章　二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时） 横轴公共点与方程的根 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 同一式子中的两个问题 观察与分析 函数研究每个对应的函数值；方程只寻找函数值恰好为零的横坐标。 结论与应用 把函数图象与横轴联系起来，可以给方程的根一个几何解释，也可用方程求出图象特定位置。 情境引入 横轴上的点纵坐标为零 观察与分析 抛物线与横轴的公共点都满足。例如点在上，说明是对应方程的根。 结论与应用 公共点是坐标对，方程的根是横坐标。回答“根是什么”时，不能把完整坐标点直接当成未知数的值。 新知讲授 两个公共点与两个不等根 观察与分析 与横轴交于，对应方程有不等实根。 结论与应用 两种表达记录同一关系。由根可写交点，由交点横坐标也可回到根，双向转换时保留各自的表达形式。 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O A B 新知讲授 一个公共点与相等根 观察与分析 与横轴只有公共点，对应方程两根均为。 结论与应用 图上一个公共点，对应代数中两个相等的实数根。不要因只画一个点就把二次方程说成只有一个根而忽略重根。 1 2 3 4 5 6 7 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O V 新知讲授 没有公共点与无实根 观察与分析 恒为正，与横轴没有公共点，方程没有实数根。 结论与应用 图象可能整体在横轴上方，也可能整体在下方。是否相交由函数值能否为零决定，不由上下方本身决定。 -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O 新知讲授 一般的联系 观察与分析 如果抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是，因此是一元二次方程的一个根。 结论与应用 这是用图象理解方程的依据，也可从求得的方程根反向确定抛物线与横轴的位置关系。 新知讲授 三种公共点情况 观察与分析 没有公共点、有一个公共点、有两个公共点，分别对应无实数根、两个相等实根、两个不相等实根。 结论与应用 在实数范围内，一元二次方程的根与图象横轴公共点存在一一的数值对应；相等根的两个数值重合。 新知讲授 判别式给出图象结论 观察与分析 时有两个横轴公共点，时有一个，时没有。 结论与应用 只问交点数量时，可先算判别式；若还要求公共点坐标，则需要继续求根，再把纵坐标补成零。 新知讲授 指定高度对应水平直线 观察与分析 求能否达到高度，不是只看横轴，而是研究方程。 结论与应用 图象上可理解为抛物线与水平线是否有公共点。整理方程时常数项应变为。 新知讲授 飞行高度中的两个时刻 观察与分析 对，高度对应方程，解得。 结论与应用 同一个高度可在上升阶段和下降阶段各经过一次。两个时刻不是两条飞行路线，而是同一运动的不同阶段。 新知讲授 最高点对应相等时间根 观察与分析 ，最高高度是，在取得。 结论与应用 令得到，两根相等。水平线在最高点只接触曲线一次，与代数的重根对应。 新知讲授 超过最大高度的要求 观察与分析 若问高度能否达到，方程无实数根。也可直接比较。 结论与应用 最值方法与判别式方法回答同一存在性问题。选择更简洁的方法，同时说明不能达到的原因。 新知讲授 落地时间的解释 观察与分析 飞行从地面开始，落地时。的根为，分别表示出发和再次落地。 结论与应用 所问“从飞出到落地需要多久”取。零根并非错误根，它记录了题目给出的初始状态。 新知讲授 时间范围约束 观察与分析 小球完整飞行阶段是。代数式在范围外仍可计算，但不再表示题目中的实际飞行。 结论与应用 求指定高度时，所得时刻还应落在实际阶段内。若模型从某个非零高度开始，负时间根通常应舍去。 新知讲授 由根反向判断图象 观察与分析 已知方程根为，无需画图即可知道对应抛物线与横轴交于。 结论与应用 再结合，可判断顶点在两交点之间且低于横轴。这一结论由开口与相交共同给出。 新知讲授 从纵坐标到横坐标 观察与分析 函数值已知时，要解关于横坐标的方程。例如取时，解。 结论与应用 函数允许两个不同自变量对应同一个值，因此反求横坐标未必唯一。问题如限定，再按范围选择。 新知讲授 不同坐标对象不可混淆 观察与分析 顶点纵坐标是最大值或最小值，横轴公共点横坐标是函数为零的位置，纵轴交点由得到。 结论与应用 先判断问题要找点、时刻还是高度，再选择对应计算。图象上的不同特殊位置有不同代数条件。 新知讲授 图象与方程交叉检验 观察与分析 解出两根后，两根平均数应为对称轴横坐标。在图象上，它们关于轴左右对称。 结论与应用 这个检验可发现漏根或符号错误。若判别式为零，两根均落在对称轴上，恰好就是与横轴相接的顶点。 例题讲解 示例 函数的图象与横轴各有几个公共点？据此判断对应方程根的情况。 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x y O 答：依次为个公共点；对应不等实根、相等实根、无实数根。 分别化为。 将零函数值与横轴位置对应。 令函数值为零求根，再把实根情况对应为图象与横轴的公共点个数。 例题讲解 例 1 以的速度将小球沿与地面成方向击出，高度（米）与时间（秒）的关系近似为。小球高度能达到吗？如果能，需要多久？ 答：能，在时达到。 ，整理得。 ，是最高点时刻。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 课堂练习 练习 小球飞行模型，。回答下列问题。 （1） 能达到吗？需要多久？ （2） 能达到吗？ （3） 从飞出到落地需要多久？ （1） 答：能，或。 。 （2） 答：不能。 最大高度仅为。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 课堂练习 练习 小球飞行模型，。回答下列问题。 （1） 能达到吗？需要多久？ （2） 能达到吗？ （3） 从飞出到落地需要多久？ （3） 答：。 ；除初始时刻外取。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 例题讲解 示例 求与横轴的公共点。 答：。 令，。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 例题讲解 示例 与横轴有公共点吗？ 答：没有。 。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 例题讲解 示例 与横轴有什么公共点？ 答：只有。 ，两根均为三。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 例题讲解 示例 能取值吗？对应是什么？ 答：能，。 ，得。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 例题讲解 示例 能等于吗？ 答：不能。 函数最小值为四，而目标值三更低。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 例题讲解 示例 方程的根为，对应函数与横轴公共点和轴是什么？ 答：公共点；轴。 两个公共点关于轴对称，横坐标平均数为二。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 课堂总结 横轴公共点与方程的根 对应 零函数值对应方程的根 数量 两个、一个、零个公共点 判别式 符号判断实根与相交 目标高度 令函数等于目标值列方程 实际 时间范围与根的不同意义 针对训练 训练 函数图象经过点，可知对应方程的一个根是（ ）。A.；B.；C.；D.。 答：选C。 图象点代入后满足。 方程的根取公共点横坐标，完整坐标点不是未知数的值。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 针对训练 训练 与横轴的公共点有个，坐标为；对应方程两根均为。 答：；；。 ，令得到重根。 两个相等根的数值重合，因此图象上只有一个公共点。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 横轴公共点的纵坐标为零。 正确 横轴上的点均满足函数值为零。 （2） 只有一个横轴公共点，对应两个相等实根。 正确 重根的两个数值相同，在图上重合为一点。 （3） 要求函数值等于二的横坐标，应令函数等于零。 错误 应令函数等于二，零仅用于求横轴公共点。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 针对训练 训练 判断与横轴是否有公共点。 答：没有。 对实数，有。 因此，不可能等于零。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 针对训练 训练 等于时，为何值？ 答：。 令，移项得。 ，得两个横坐标。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 针对训练 训练 能达到吗？ 答：不能。 ，函数最大值为五。 目标六超过最大值，不存在对应实数横坐标。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 针对训练 训练 与横轴只有一个公共点，求。 答：。 一个横轴公共点对应。 ，解得。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 针对训练 训练 函数横轴交点横坐标为，求对称轴。 答：。 两个横轴交点关于对称轴对称。 轴横坐标为。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 针对训练 训练 小球从地面抛出，高度。窗台高，求小球经过窗台高度的时刻与再次落地时刻。 答：窗台高度在时经过；落地。 令得。 令得，取再次落地时刻四。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 针对训练 训练 拱门曲线，单位为米。离中线水平距离多少时高度为？高的竖直杆能通过最高处吗？ 答：距中线时高三米；杆不能通过。 ，得。 最大高度四米。 给定高度就令函数等于该值；所得横坐标再结合实际范围。 方法归纳 解题方法总结 在函数与方程间转换 ① 横轴公共点先令函数值为零。 ② 给定其他高度就令函数等于该值。 解释解的数量与意义 ① 两个时刻可能对应上升和下降阶段。 ② 判断实际范围，区分出发与再次落地。 $