26.2 二次函数的图象和性质（第5课时）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章　二次函数 26.2 二次函数的图象和性质（第5课时） 二次函数的图象和性质 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 一般式怎样找到顶点 观察与分析 的一般形式容易读出系数，却不能立即看出顶点。可以借助上一章的配方法重写解析式。 结论与应用 配方使函数转成顶点式，从而把一般式与已经掌握的图象性质联系起来。形式转换是本课的主要工具。 情境引入 提取二次项系数 观察与分析 。先把含的两项中的系数提出来，括号内二次项系数就成为一。 结论与应用 常数项可以暂时留在括号外。若把全部项都提进括号，也必须同步除以提出的数，不能改变等式。 新知讲授 括号内外补数的区别 观察与分析 ，所以。 结论与应用 括号内减去的在外面实际贡献，不能直接与算成。提取系数后，所有项仍受外部系数影响。 新知讲授 得到顶点式 观察与分析 整理为，所以轴为、顶点，开口向上。 结论与应用 最小值在取得。配方后读性质，要把按标准形式定位，不能继续只看原来的常数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x y O V 新知讲授 围绕新轴列表 观察与分析 顶点横坐标为，可选，对应。 结论与应用 对称选点能看出左右相等的函数值，图象不必围绕原点选点。列表范围应覆盖顶点附近两侧。 新知讲授 对一般系数配方 观察与分析 对（）配方，得到。 结论与应用 因此，。公式来自配方，不是与顶点式无关的新规则。 新知讲授 一般式的对称轴 观察与分析 抛物线的对称轴是，只由决定。 结论与应用 改变只引起竖直平移，不改变轴的位置。这也解释了为什么轴公式中不含常数项。 新知讲授 一般式的顶点 观察与分析 顶点为。也可先求顶点横坐标，再将它代入原函数求纵坐标。 结论与应用 两种计算路径应一致。系数较简单时，配方往往更直观；系数复杂时，轴公式配合代入可减少展开。 新知讲授 正系数的左右增减 观察与分析 当，在处减小，在处增大。 结论与应用 不要用的正负直接判断整个函数增减。二次函数有两个变化区间，分界由共同决定。 新知讲授 负系数的左右增减 观察与分析 当，在轴左侧随增大而增大，在轴右侧随增大而减小。 结论与应用 先计算轴横坐标，再把“左升右降”写成具体区间。若轴为负数，区间比较符号也仍遵守数轴顺序。 新知讲授 最值公式的含义 观察与分析 当时，函数取得最值。取最小值，取最大值。 结论与应用 同一个纵坐标公式不决定最大还是最小，极值的类型还必须看开口方向，也就是的符号。 新知讲授 常数项给出纵轴交点 观察与分析 令，得，所以图象与纵轴交点为。这通常不是顶点，除非。 结论与应用 一般式的常数项与顶点纵坐标不能混淆。一个是纵轴交点的高度，一个是极值点的高度。 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y O C V 新知讲授 图象平移与一般式系数 观察与分析 两个函数相同而不同，轴相同，只发生竖直平移。若改变，通常连轴的位置也会改变。 结论与应用 不能只看常数差就断定两条任意二次函数可上下平移。平移前先检查其余系数是否相同。 新知讲授 两种作图路径 观察与分析 可以先画再按顶点位置平移，也可以把一般式配方后直接列表描点。两种方法都需要顶点式提供位置。 结论与应用 直接作图时至少明确顶点、对称轴及两侧对称点。只计算顶点还不足以画出可靠的开口宽窄。 新知讲授 由顶点反求参数 观察与分析 若的顶点为，由轴公式得，再代入求。 结论与应用 也可直接写再展开。已知顶点时，先用顶点式通常更简洁。 新知讲授 比较函数值的距离方法 观察与分析 一般式配成顶点式后，可以比较各横坐标到轴的距离。无需对每个值都展开一遍一般式。 结论与应用 特别是横坐标分布在轴两侧时，不能只按从小到大排列函数值。先判开口，再比距离。 新知讲授 配方与方程配方的区别 观察与分析 函数配方是在同一个表达式里加减同一数；方程配方通常在等式两边同加同一数。两者都基于完全平方恒等式。 结论与应用 写函数时不要误把补入的数无理由加到上。应始终保持新旧解析式对每个取值相等。 新知讲授 用展开和代入双重检查 观察与分析 将所得顶点式展开，应回到原一般式；再代入顶点横坐标，所得值应等于顶点纵坐标。 结论与应用 展开检查系数是否一致，代入检查顶点是否读对。两项核查可分别发现补数、外部系数与符号错误。 例题讲解 示例 先确定的开口、对称轴、顶点与增减情况，再描点画图。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x y O 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 配方得。 以顶点为中心选择对称横坐标，计算并描点。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 例题讲解 示例 先确定的开口、对称轴、顶点与增减情况，再描点画图。 -4 -3 -2 -1 1 2 -10 -5 5 x y O 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 配方得。 以顶点为中心选择对称横坐标，计算并描点。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 课堂练习 练习 先确定各抛物线开口、对称轴、顶点及增减情况，再描点画图。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 。 （2） 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 课堂练习 练习 先确定各抛物线开口、对称轴、顶点及增减情况，再描点画图。 （1） （2） （3） （4） -1 1 2 3 4 5 6 -20 -10 10 x y O V₁ V₂ 答：本页展示第（1）（2）题：蓝色对应前一题，橙色对应后一题。 先标出顶点，再在对称轴两侧选点；用平滑曲线连接，不能画成折线。 核对开口、顶点和对称轴，再检查每个描点的坐标。 课堂练习 练习 先确定各抛物线开口、对称轴、顶点及增减情况，再描点画图。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 。 （4） 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 课堂练习 练习 先确定各抛物线开口、对称轴、顶点及增减情况，再描点画图。 （1） （2） （3） （4） -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -10 10 x y O V₃ V₄ 答：本页展示第（3）（4）题：蓝色对应前一题，橙色对应后一题。 先标出顶点，再在对称轴两侧选点；用平滑曲线连接，不能画成折线。 核对开口、顶点和对称轴，再检查每个描点的坐标。 课堂练习 练习 求下列函数的最大值或最小值。 （1） （2） （1） 答：时，最小值。 。 （2） 答：时，最大值。 。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 例题讲解 示例 先确定的开口、对称轴、顶点与增减情况，再描点画图。 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y O 答：开口向上；对称轴，顶点；时随增大而减小，时随增大而增大。 配方得。 以顶点为中心选择对称横坐标，计算并描点。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 例题讲解 示例 先确定的开口、对称轴、顶点与增减情况，再描点画图。 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y O 答：开口向下；对称轴，顶点；时随增大而增大，时随增大而减小。 配方得。 以顶点为中心选择对称横坐标，计算并描点。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 例题讲解 示例 顶点为，求。 答：。 。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 例题讲解 示例 的纵轴交点与顶点分别是什么？ 答：纵轴交点；顶点。 配方。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 例题讲解 示例 如何平移得到？ 答：向上平移单位。 二次项、一次项相同，仅常数增加五。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 课堂总结 一般式 图象与性质 转换 提系数后配成顶点式 轴 顶点 性质 看开口、以轴分区、读极值 检查 展开还原，代入顶点 针对训练 训练 函数的对称轴为（ ）。A.；B.；C.；D.。 答：选B。 配方，顶点横坐标为。 也可用核对。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 针对训练 训练 的顶点式为，顶点为，最大值为。 答：；；。 。 整理后以顶点式读位置与最大值。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 一般式中的总是顶点纵坐标。 错误 常数项是纵轴交点高度，一般不是最值。 （2） 对称轴为。 正确 对一般式配方可得到该轴的位置。 （3） 时，顶点给出最大值。 正确 负系数开口向下，顶点是最高点。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 针对训练 训练 求的最大值。 答：，在取得。 。 化为，所以最高值为五。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 针对训练 训练 的对称轴是什么？ 答：。 读出。 代入。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 针对训练 训练 顶点，求。 答：。 由顶点写。 展开为，比较得到。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 针对训练 训练 ，比较时的值。 答：。 配方，到轴距离分别为。 正系数函数离轴越远越大，按距离排序。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 针对训练 训练 的顶点纵坐标是吗？ 答：不是，顶点为。 。 顶点纵坐标四，原常数八只是时的纵坐标。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 针对训练 训练 篮球高度模型，单位为米、秒。求最大高度及达到最大高度的时刻。 答：时最高。 。 确认该时刻位于题目描述的飞行阶段。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 针对训练 训练 某仓储方案的服务量为百件，月费用（元）满足，。求最低月费用及对应的服务量。 答：服务量为百件时，月费用最低为元。 。 顶点横坐标三在允许范围内。 先配成顶点式，保留括号外系数，再读轴、顶点与最值。 方法归纳 解题方法总结 配方后统一读性质 ① 提取首项系数时保留括号影响。 ② 由顶点式得到轴、顶点和增减区间。 区分不同图象信息 ① 常数项给纵轴交点，通常不是最值。 ② 顶点公式与代入计算可相互核对。 $