25.2 降次——解一元二次方程（第1课时）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章　一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程（第1课时） 直接开平方 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 正方形面积与边长 观察与分析 面积为的正方形边长是。若只解方程，还应考虑，因为。 结论与应用 几何长度要求正数，而方程的未知数可以是负数。先完整求方程的根，再按实际意义取舍。 情境引入 从平方根到方程 观察与分析 如果一个数的平方等于，这个数就是的平方根。因此解可直接调用已经学过的平方根知识。 结论与应用 当时，两个平方根互为相反数；符号专指算术平方根，求方程时不能遗漏负根。 新知讲授 平方等于正数 观察与分析 对于方程，当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根。 结论与应用 如的根是。将两个一次方程或合在一起，可简写为。 新知讲授 平方等于零 观察与分析 当时，方程有两个相等的实数根。两个根的数值相同，称为相等的实数根。 结论与应用 不要把说成无根，也不要因只出现一个数值而忽视“两个相等的根”的表达。零的平方仍为零。 新知讲授 平方等于负数 观察与分析 当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根。 结论与应用 例如不能写成。本课只在实数范围解方程，右边为负数应直接结束判断。 新知讲授 整体思想 观察与分析 中的可以看成一个整体，先把它看成，得到。 结论与应用 开方得到或，再分别解两个一次方程。这种替换只改变观察方式，不改变原方程。 例题讲解 示例 解方程。 答：。 。 将含未知数的一次式作为整体开方，再解一次方程。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 新知讲授 降次发生在哪里 观察与分析 由到时，未知数的最高次数从二次降到一次。后面的移项只是解一次方程。 结论与应用 降次是解一元二次方程的核心。这里利用平方根的意义，把一个二次方程转化为两个一次方程。 新知讲授 先移项再开方 观察与分析 还不是平方等于常数的直接形式。先移项得，再同除以得到。 结论与应用 系数除完之后才开方：。不能把的平方根误写成。 例题讲解 例1 解下列方程。 （1） （2） （1） 答：。 ，所以。 开方得。 （2） 答：。 ，得。 分别解与。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 新知讲授 括号外的系数 观察与分析 应先同除以，得到。若先把括号展开，会使本来简单的结构变得复杂。 结论与应用 观察到某个一次式的平方时，优先保持整体结构。化成平方等于非负数之后再降次，通常比展开更短。 新知讲授 括号内的系数 观察与分析 开方得到，还要解出。正、负两个分支都需要除以。 结论与应用 得到或。开方后的结果是一个一次方程，不能把直接当成。 新知讲授 识别隐藏的完全平方 观察与分析 的左边正好等于。把多项式改写成平方形式，就能直接开方。 结论与应用 应用公式核对中间项与常数项。三个项都匹配时才能整体开方。 新知讲授 符号辨析 观察与分析 由得到，因此。移项时只把变为。 结论与应用 表达式代表两个数。不要写成，后者改变了负分支的数值。 例题讲解 示例 解方程。 答：。 。 将含未知数的一次式作为整体开方，再解一次方程。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 例题讲解 示例 解方程。 答：无实数根。 平方非负，而右边小于零。 不存在使等式成立的实数。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 例题讲解 示例 解方程。 答：。 或。 分别解得或。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 例题讲解 示例 解方程。 答：。 ，即。 ，移项求根。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 例题讲解 示例 小明解，写成。指出问题并写出完整解。 答：应为。 正数有两个平方根，负四的平方也等于十六。 两个根为。 开方保留正负分支；整体平方不能遗漏展开后的中间项。 例题讲解 示例 解时，能否写成？说明理由。 答：不能。 ，不能漏掉中间项。 保持整体开方更简便：。 开方保留正负分支；整体平方不能遗漏展开后的中间项。 新知讲授 分数右端的计算 观察与分析 给出。当分子、分母都是非负数且分母不为零时，可分别开平方。 结论与应用 得到。先约分再开方，能够减少根号内的数并保持结果简洁。 新知讲授 代回检查两个分支 观察与分析 对于，代入得，代入得，两个分支均成立。 结论与应用 若检验时只有一支成立，常见原因是移项符号或括号内系数出错。检验要用原方程，而不是只检查最后一次式。 课堂练习 练习 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （1） 答：。 移项得。 。 （2） 答：。 化为。 。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 课堂练习 练习 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （3） 答：。 。 。 （4） 答：。 。 ，再移项。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 课堂练习 练习 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （5） 答：。 。 ，再移项。 （6） 答：。 。 ，再移项。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 例题讲解 示例 方程与的根相同吗？分别求解。 答：不同。前者，后者。 平方作用的范围不同：一个只含未知数平方，一个包含一次式整体。 先看清括号，再移动常数项。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 例题讲解 示例 方程有一个根为，求和另一个根。 答：，另一个根为。 代入得。 ，得到。 先代入已知根求常数，再整体开方找出另一个根。 例题讲解 示例 关于的方程有实数根，求的取值范围。 答：。 左边恒非负，所以需要。 时两根相等，时两根不等。 实数的平方非负，因此右端必须大于或等于零。 课堂总结 直接开平方 基础 平方根的意义 条件 平方形式 分类 步骤 化平方、判断、开方、移项 注意 正负两支；实际量检验 针对训练 训练 方程的实数根是（ ）。A.；B.；C.；D.。 答：选C。 且，所以有正、负两根。 A或B各漏一根；D把平方值当成根。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 针对训练 训练 方程的两个根为，它们是相等还是不等的实数根？ 答：，相等实数根。 平方等于零，得。 解得，两个分支在零处重合。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明原因。 （1） 无实数根。 正确 实数的平方不能为负。 （2） 正数的平方根只有正的一个。 错误 正数有互为相反数的两个平方根。 （3） 有两个相等实根。 正确 零的平方等于零，两根数值相同。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 针对训练 训练 解方程。 答：。 。 将含未知数的一次式作为整体开方，再解一次方程。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 针对训练 训练 解方程。 答：。 。 将含未知数的一次式作为整体开方，再解一次方程。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 针对训练 训练 解。 答：。 两边同除以，得。 ，分别解得或。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 针对训练 训练 解。 答：。 左边为。 。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 针对训练 训练 解。 答：。 或。 两分支移项、同除以，得或。 保留平方结构整体开方，正数右端要写正负两个分支。 针对训练 训练 正方形花坛四周铺宽的小路后，外部正方形面积为。求花坛边长。 答：花坛边长为。 设花坛边长，。 ，取符合长度意义的。 先用面积写平方等式，完整求根后按正边长限制筛选。 针对训练 训练 一个正方形展板边长增加后，面积为。求原边长的准确值。 答：。 设原边长，。 ，取正值。 先用面积写平方等式，完整求根后按正边长限制筛选。 方法归纳 解题方法总结 整体开平方 ① 先把平方项单独留在一边。 ② 把整个一次式看成一个整体。 完整表达根 ① 右端正数要写正负两支。 ② 先解一次方程，再按问题取舍。 $