25.2 降次——解一元二次方程（第3课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第25章　一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程（第3课时） 公式法 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 每次配方是否有共同结果 观察与分析 配方法能处理一般的一元二次方程，但每题都重新配方，计算较多。如果直接对配方，能否得到通用结果？ 结论与应用 本课从一般系数出发，把配方过程写成公式。公式的使用仍受条件限制，不能跳过根的存在性判断。 情境引入 一般方程先满足条件 观察与分析 一般形式要求，因此可同除以，得到。 结论与应用 这一步的合法性来自非零条件。可以为负，除法仍成立，但二次项系数必须先化为一。 新知讲授 把一般式配成平方 观察与分析 两边加，得到。 结论与应用 分母，因此右边的正负完全由分子决定。这正是分类根的关键。 新知讲授 根的判别式 定义 式子可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“”表示。 理解 计算顺序为先平方，再相乘，最后相减。若为负，必须加括号计算。 新知讲授 判别式大于零 观察与分析 当时，配方后右端为正数，方程有两个不相等的实数根，正、负两个平方根产生两个不同分支。 结论与应用 此时可以使用求根公式。判断不等根只需看判别式符号，不必先把每个根完全求出来。 新知讲授 判别式等于零 观察与分析 当时，配方后的平方等于零，两个根相等，均为。 结论与应用 这是公式中正负号两支重合的情况。可直接写，不必重复展开根号为零的计算。 新知讲授 判别式小于零 观察与分析 当时，配方后的右边为负数，方程无实数根。求根过程在判别式这一步就应结束。 结论与应用 本课在实数范围求解，不能继续计算。判断无根应写明无实数根，使范围准确。 新知讲授 求根公式 定义 当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式。 理解 分子为加减一个根式，整个分子都除以。注意分数线的范围。 新知讲授 公式法 定义 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 理解 公式法来自配方法，二者的基本思路相同。使用公式能减少重复配方，但系数必须来自一般形式。 新知讲授 先读准三个系数 观察与分析 中。读和时都要带前面的负号。 结论与应用 根公式的是对整个取相反数，故这里为，而不是。代入时先写括号再化简更稳妥。 新知讲授 先整理再代入 观察与分析 需化为。若直接把原左边系数代入，就会忽略右边的未知数项。 结论与应用 公式中的是移项合并后的系数。已知原题不在一般形式时，第一行必须先写整理结果。 新知讲授 根号内外的运算 观察与分析 ，因此。根式化简后再约分更容易看清。 结论与应用 分子中的两部分都要一起除以分母，不能只约去与而保持根式部分不变。 新知讲授 分母的负号 观察与分析 当时，分母为负。可以先把一般式两边同乘，使二次项系数为正，再用公式。 结论与应用 整体变号不会改变方程的根。若直接代入负分母，也必须对整个分子同时处理符号，不能只变一个分支。 新知讲授 含根式系数也可计算 观察与分析 中，，而，因此。 结论与应用 结果为。根式系数仍是实数，计算时注意平方括号和平方规则。 新知讲授 只判断根的情况 观察与分析 若问题只问有几个实数根，求出的符号即可。比如的。 结论与应用 因此无实数根，无需继续套公式。根据问题需要选择计算终点，能够避免多写错误或无效步骤。 新知讲授 含参数先保留二次条件 观察与分析 方程的判别式为。有实数根需要，即。 结论与应用 若二次项系数也含参数，还要先确保它不为零。根的分类条件不能代替一元二次方程本身的条件。 新知讲授 判别式的计算检查 观察与分析 等于，而等于。代入负数系数时，缺少括号可能把根的情况都判断错。 结论与应用 将展开成“一个平方减去一个乘积”，再逐项计算。根号前先把判别式算成确定数。 新知讲授 公式与实际意义 观察与分析 雕像比例方程有两个根。数学上两根都成立，但长度只能取正根。 结论与应用 正根约为，负根约为。方程求根与情境筛选是前后两个环节，都应写清。 例题讲解 例3 用公式法解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 。 。 。 （2） 答：。 。 。 。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 例题讲解 例3 用公式法解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 整理为。 。 ，分别求两根。 （4） 答：无实数根。 整理为。 。 判别式为负，不再使用实数求根公式。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 课堂练习 练习 用公式法解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （1） 答：。 。 。 （2） 答：。 。 。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 课堂练习 练习 用公式法解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （3） 答：无实数根。 。 。 无实数根。 （4） 答：。 。 。 。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 课堂练习 练习 用公式法解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （5） 答：。 ，。 ，化简根式求根。 （6） 答：。 ，。 ，化简根式求根。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 例题讲解 示例 用公式法解方程。 答：。 ，。 代入，分别写出两个根。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 例题讲解 示例 用公式法解方程。 答：。 ，。 代入，分别写出两个根。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 例题讲解 示例 用公式法解方程。 答：。 ，。 代入，分别写出两个根。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 例题讲解 示例 方程有两个相等的实数根，求及根。 答：，。 ，得。 。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 例题讲解 示例 有人说“有两个负根”。这个结论正确吗？ 答：不正确，方程无实数根。 。 先确认实数根存在，才能讨论根的正负。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 课堂总结 公式法 前提 判别式 分类 正：不等根；零：相等根；负：无实根 公式 针对训练 训练 方程的实数根情况是（ ）。A.无实根；B.两个不等实根；C.两个相等实根；D.不能确定。 答：选B。 。 正判别式对应两个不相等实数根，不必先把根全部求出。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 针对训练 训练 方程中，填出。 答：依次为。 连同各项前的符号读取系数，常数项为负一。 。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 表示方程没有实数根。 错误 此时有两个相等的实数根。 （2） 且时，可以使用实数求根公式。 正确 非零首项系数与非负判别式是使用前提。 （3） 若，公式中的。 错误 。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 针对训练 训练 用公式法解方程。 答：。 ，。 代入，分别写出两个根。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 针对训练 训练 用公式法解方程。 答：无实数根。 ，。 判别式小于零，方程无实数根。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 针对训练 训练 用公式法解方程。 答：。 ，。 代入，分别写出两个根。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 针对训练 训练 用公式法解方程。 答：。 ，。 代入，分别写出两个根。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 针对训练 训练 用公式法解方程。 答：。 ，。 代入，分别写出两个根。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 针对训练 训练 直角三角形两直角边相差，斜边为。求两直角边长。 答：和。 设较短边，。 整理，根，取。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 针对训练 训练 用长的绳围成面积的长方形，求两邻边长。 答：和。 设一边，。 ，根为。 整理后带符号读系数，先计算判别式，非负时再用公式。 方法归纳 解题方法总结 从一般式读取系数 ① 方程右端先化为零。 ② 系数连同符号一起代入。 先判别再求根 ① 判别式为负就结束实数求解。 ② 非负时用公式，化简后写出两根。 $