25.1 一元二次方程的概念（第1课时） 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第25章　一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念（第1课时） 一元二次方程的概念 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 雕像中的比例问题 观察与分析 全身高，腰部以下为，腰部以上就是。按题意，腰部以上与以下之比等于以下与全身之比。 结论与应用 比例式为，整理得。未知数仍只有一个，最高次数却变成了。 情境引入 问题1 一块矩形铁皮长、宽，四角各切去边长为的正方形，折成无盖方盒。底面积为，列出方程。 答：，即。 长、宽两端各去掉，所以都减。 实际长度要求。 先设未知数并表示相关量，再按题意列等量关系并保留实际范围。 情境引入 问题2 排球邀请赛采用单循环赛制，安排天，每天场，应邀请多少支球队？设球队数为，列出方程。 答：，即。 每队比赛场，直接相乘会把每场算两遍。 总场数，球队数必须为大于的整数。 先设未知数并表示相关量，再按题意列等量关系并保留实际范围。 新知讲授 一元二次方程 定义 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是，这样的方程叫作一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。 理解 三个条件必须同时满足：一个未知数、整式、最高次数为二。 新知讲授 一个未知数的含义 观察与分析 方程中，出现两次，仍只有一个未知数；方程含有两个未知数。 结论与应用 “一元”按未知数的种类判断，不按字母出现的次数判断。若字母表示已知常数，应先说明它的身份。 新知讲授 整式条件不能遗漏 观察与分析 中，是系数，含未知数的式子仍是整式；含分式。 结论与应用 判断整式时，查看分母中是否含未知数。不能因为一个方程出现，就忽略分式条件而认定它是一元二次方程。 新知讲授 最高次数以整理后为准 观察与分析 看起来有平方项，但去括号后两边的相消，化简为。 结论与应用 判断前先去括号、移项、合并同类项。最高次数必须来自整理后仍保留的项，不能只看原式是否出现平方。 新知讲授 一般形式 观察与分析 一元二次方程的一般形式为。二次项、一次项和常数项按次数从高到低排列。 结论与应用 右边先化为，再读系数。保证二次项存在；可以等于，因此一般形式也包含缺项方程。 新知讲授 项与系数的区别 观察与分析 在中，二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是。 结论与应用 常数项为，读数时必须连同前面的符号。项含字母，系数是乘在字母部分前面的数，两者不能混写。 新知讲授 缺项也要写出系数 观察与分析 没有一次项，故；没有常数项，故。 结论与应用 没有写出的项，其系数是零。不能把剩余两项的系数依次当成，应始终按三个位置对应。 新知讲授 二次项系数为什么不能为零 观察与分析 方程中，若，二次项消失，得到一元一次方程。 结论与应用 要使原方程是一元二次方程，必须。含参数的题目先确定二次项系数不为零，再讨论其他条件。 例题讲解 例 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 答：；系数依次为。 去括号得。 移项合并：。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 新知讲授 移项前后的符号 观察与分析 把整理时，将从右边移到左边，得到。原来的没有移动。 结论与应用 只有跨越等号的项要变号。完成后可把移走的项加回去，检查是否还原原方程，避免所有项一起变号。 新知讲授 去括号时先保持等式 观察与分析 先展开为，再把右边的项移到左边。 结论与应用 合并后得。常数项相消，一次项并未相消；分步骤书写能看清乘法展开与移项分别做了什么。 新知讲授 方程的根 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 理解 判断一个数是不是根，代入原方程计算左右两边，不以正负或大小猜测。 例题讲解 示例 判断与是否为方程的根。 答：是根，不是根。 ，等式成立。 ，等式不成立。 逐个代入原方程，只有左右相等的候选数才是根。 例题讲解 示例 已知是方程的根，求。 答：。 把根代入：。 解一元一次方程，得。 将已知根代入原式，解出参数后再代回核对。 新知讲授 把未知量写成同一个字母 观察与分析 矩形的长比宽多。若设长为，宽就是；若设宽为，长就是，两种设法都只用一个未知数。 结论与应用 设元后立即写出其他量的表达式，再用面积建立等量关系。同一字母的意义在整道题中必须保持一致。 新知讲授 实际取值范围先保留 观察与分析 切角折盒要求切角为正，并且盒底长、宽都为正；比赛球队数应为整数；木条较短一段还应小于全长的一半。 结论与应用 列出的方程记录等量关系，实际限制记录对象意义。后续解出方程时，还要用这些限制筛选结果，本课先正确列式。 课堂练习 练习 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：；。 移项时一次项变号。 （2） 答：；。 一次项缺项系数为零。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 课堂练习 练习 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：；。 先展开再移项。 （4） 答：；。 常数项相消。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 课堂练习 练习 根据下列问题列出一元二次方程，并化成一般形式。 （1） 个完全相同的正方形面积之和是，求正方形的边长。 （2） 一个矩形的长比宽多，面积是，求矩形的长。 （3） 把长为的木条分成两段，较短段与木条全长的积等于较长段长的平方，求较短段长。 （1） 答：设边长为，。 先写一个正方形的面积。 （2） 答：设长为，。 宽是长减去二。 先设未知数并表示相关量，再按题意列等量关系并保留实际范围。 课堂练习 练习 根据下列问题列出一元二次方程，并化成一般形式。 （1） 个完全相同的正方形面积之和是，求正方形的边长。 （2） 一个矩形的长比宽多，面积是，求矩形的长。 （3） 把长为的木条分成两段，较短段与木条全长的积等于较长段长的平方，求较短段长。 （3） 答：设较短段为，。 。 先设未知数并表示相关量，再按题意列等量关系并保留实际范围。 课堂练习 练习 如果是方程的一个根，求常数，并判断此方程是否有其他根。 答：，另一个根为。 代入得，所以。 ，因此也是根。 将已知根代入原式，解出参数后再代回核对。 例题讲解 示例 小明把的三个系数写成。指出错误并改正。 答：应为。 化成后读系数。 右边的系数不能直接作为一般形式中的系数。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 课堂练习 巩固 将下列方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：；。 只将常数项移到左端。 （2） 答：；。 分数系数不影响整式条件。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 课堂练习 巩固 将下列方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：；。 展开时保留交叉两项。 （4） 答：；。 两边展开后再合并。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 课堂练习 练习 下列哪些数是一元二次方程的根？为什么？。 答：和。 ，。 其余各数代入均不等于零。 逐个代入原方程，只有左右相等的候选数才是根。 课堂总结 一元二次方程的概念 概念 一元、整式、二次同时成立 形式 系数 整理后连同符号读取，缺项补零 根 代入使方程左右相等的值 建模 设元、等量关系、实际限制 针对训练 训练 下列方程哪个是一元二次方程？A.；B.；C.；D.。 答：选C。 A含两个未知数；B的分母含未知数；D的最高次数为。 C同时满足一个未知数、整式、最高次数为二。 逐项核对未知数个数、整式条件和化简后的最高次数。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 含未知数的分母不影响一元二次方程的整式条件。 错误 分母含未知数时相应式子不是整式。 （2） 是一元二次方程。 错误 展开合并为，最高次数为一。 （3） 一般形式中都可以等于。 正确 只需保证二次项存在。 逐项核对一元、整式、二次三个条件；化简后的最高次数才有效。 针对训练 训练 写出与的。 答：分别是与。 缺常数项，补后系数为。 缺一次项，补后系数为。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 针对训练 训练 将化为一般形式，并读出各系数。 答：；。 去括号得。 移项合并为，系数为。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 针对训练 训练 当取何值时，是一元二次方程？ 答：。 二次项系数必须满足，所以。 若，方程退化为，不再是二次方程。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 针对训练 训练 中哪些是的根？ 答：与。 时，；时，。 时，，因此只有是根。 逐个代入原方程，只有左右相等的候选数才是根。 针对训练 训练 是方程的根，求。 答：。 代入，得。 化为，所以；代回可得等式成立。 将已知根代入原式，解出参数后再代回核对。 针对训练 训练 把化成一般形式。 答：。 左边展开为。 移去右边，得，即。 先化简并移项为右端零，再按次数连同符号读取系数。 针对训练 训练 一张长、宽的照片，外配等宽的相框，外框总面积为。列方程并化简。 照片 答：。 。 展开、移项并同除以。 先设未知数并表示相关量，再按题意列等量关系并保留实际范围。 针对训练 训练 若每两名同学交换一张贺卡，交换是双向的，共送出张。设有名同学，列出方程及整数限制。 答：，为大于的整数。 每人向其余人各送一张，人共送张。 由总数得，整理；人数为大于的整数。 先设未知数并表示相关量，再按题意列等量关系并保留实际范围。 方法归纳 解题方法总结 识别与整理 ① 先化简，再核对三个定义条件。 ② 右端化零后按次数读系数。 列式与检验 ① 同一字母对应同一未知量。 ② 代入原式检验根，保留实际取值范围。 $