25.2 降次——解一元二次方程（第5课时）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章　一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程（第5课时） 根与系数的关系 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 求出根以后还能看到什么 观察与分析 方程的两根为，根和是，根积是。这两个数与方程系数直接相关。 结论与应用 本课研究不先求根就得到根和、根积的方法。先观察简单方程，再从求根公式解释规律。 情境引入 由两个分支消去根号 观察与分析 求根公式的两支是与。相加时，正负根号部分正好抵消。 结论与应用 相乘时出现平方差，根号也会消失。和与积比逐个根的表达式简单，这促使我们把两根作为整体研究。 新知讲授 根的和 观察与分析 。根和只由二次项与一次项系数确定。 结论与应用 当且时，根和为正；一般情况先代入判断。分子和分母的符号都应保留，不能只看。 新知讲授 根的积 观察与分析 。根积由常数项和二次项系数决定。 结论与应用 根积公式没有额外负号。常数项负、二次项系数正时，根积为负，说明两个实数根异号。 新知讲授 根与系数的关系 观察与分析 一元二次方程的两个根与其系数有如下关系：，。 结论与应用 在本课实数范围内，使用前先确认有实数根。根的顺序可以交换，和、积均不改变。 新知讲授 系数不为一的情形 观察与分析 中，根和为，根积为。不能只取，必须除以。 结论与应用 当二次项系数为时，公式才简化为根和、根积。读数前先检查首项系数。 新知讲授 另一条推导路径 观察与分析 若两根为，则。展开右边得到。 结论与应用 比较对应系数：、，再次得到根和、根积公式。 新知讲授 先确认有实数根 观察与分析 的，在实数范围没有两个根。不能把两个实数根当成已经存在。 结论与应用 题干若明确“两个实数根”，该条件已经包含；含参数问题中通常需要把这一条件列出来。 新知讲授 一般式先整理 观察与分析 整理为，根和为、根积为。 结论与应用 若直接从原等式两边读数，容易把一次项或常数项符号读反。根与系数关系同样依赖一般形式。 新知讲授 用已知一根求另一根 观察与分析 方程有一根为。由根和为，另一根为。 结论与应用 也可由根积为求。用除法时已知根不能为零；已知根为零时优先用根和。 新知讲授 根的平方和 观察与分析 ，因此只需根和、根积，就能求两个根的平方和。 结论与应用 不要把平方和误写成和的平方。展开时，交叉项必须减去。 新知讲授 两根倒数之和 观察与分析 当时，。可直接把根和、根积代入。 结论与应用 分母不能为零。当常数项为零时，至少一个根为零，倒数表达式没有意义，必须先检查条件。 新知讲授 两根差的平方 观察与分析 。只求差的平方时，不必区分哪个根更大。 结论与应用 若要求本身，还需要根的大小顺序，开平方时不能随意取正号。平方表达式消除了顺序影响。 新知讲授 构造以两数为根的方程 观察与分析 若两个数的和为、积为，以它们为根且二次项系数为的方程是。 结论与应用 一次项系数是根和的相反数。例如两根为，方程为。 新知讲授 判断异号根 观察与分析 两个实数根的积小于零，就一正一负。若积为正，两个非零根同号，还要利用根和确定正负。 结论与应用 “积大于零”单独不能推出两根都为正。例如的积也为正，但和为负。 新知讲授 由根的关系确定参数 观察与分析 两根若满足，由根和得，再用根积求。 结论与应用 先利用给定关系把两根用一个量表示，再同时调用和与积。最终还要检验参数下实数根是否存在。 新知讲授 整体代换减少根式计算 观察与分析 求时，若先把两个无理根求出再平方，根号项最终会消掉，但过程长且容易出错。 结论与应用 先写成根和、根积的组合，把未知的两个根作为整体处理。这样既避免根式运算，也突出表达式结构。 新知讲授 条件与计算同时保留 观察与分析 含参数方程要求两根为实数时，先列；若再要求倒数、商或正根，还需补相应的非零或符号条件。 结论与应用 根与系数关系给出运算工具，条件决定结果能否使用。先整理条件，再把目标式化成和与积。 例题讲解 例5 根据一元二次方程的根与系数关系，求下列方程两根的和与积。 （1） （2） （3） （1） 答：根和，根积。 二次项系数为一。 分别用与，按一般形式连同符号代入。 （2） 答：根和，根积。 各自除以二次项系数。 分别用与，按一般形式连同符号代入。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 例题讲解 例5 根据一元二次方程的根与系数关系，求下列方程两根的和与积。 （1） （2） （3） （3） 答：根和，根积。 先整理为。 分别用与，按一般形式连同符号代入。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 课堂练习 练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：根和，根积。 。 分别用与，按一般形式连同符号代入。 （2） 答：根和，根积。 。 分别用与，按一般形式连同符号代入。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 课堂练习 练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：根和，根积。 。 分别用与，按一般形式连同符号代入。 （4） 答：根和，根积。 。 分别用与，按一般形式连同符号代入。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 例题讲解 示例 不解方程，求的两根之和与积。 答：。 ；。 用，。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 例题讲解 示例 不解方程，求的两根之和与积。 答：。 ；。 用，。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 例题讲解 示例 为的两根，求。 答：。 。 。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 例题讲解 示例 为的两根，求。 答：。 根和为、根积为。 倒数和为。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 例题讲解 示例 写出以为根，二次项系数为的方程。 答：。 根和为、根积为。 代入。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 例题讲解 示例 方程的两实根中，一根是另一根的倍。求。 答：。 设两根为，，得。 ；符合。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 课堂总结 根与系数的关系 前提 方程有两个实数根 根和 根积 整体 平方和、差平方、倒数和 条件 一般形式、实根存在、非零分母 针对训练 训练 方程两实根的和与积依次为（ ）。A.；B.；C.；D.。 答：选A。 ，两实根存在。 根和，根积，都应除以首项系数。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 针对训练 训练 为的两根，填出。 答：依次为。 根和为，根积为。 平方和。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 两个实数根的积为负，则两根异号。 正确 同号非零数相乘为正，异号才为负。 （2） 方程两根的和总是。 错误 一般应为，只有时简化为。 （3） 求两根倒数之和前，无需检查零根。 错误 零没有倒数，必须先确认根积非零。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 针对训练 训练 为的根，求。 答：。 根和、根积。 平方和为。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 针对训练 训练 为的根，求。 答：。 由根和、根积，写。 代入得。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 针对训练 训练 为的根，求。 答：。 。 。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 针对训练 训练 的一个根为，求另一个根。 答：。 根和为，若一根为，另一根为。 根积检查：，与常数项一致。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 针对训练 训练 写出两根和为、积为且二次项系数为的方程。 答：。 根和，根积，代入。 得到；其两根的和与积均符合条件。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 针对训练 训练 一个矩形周长，面积。不先求边长，求两邻边长的平方和。 答：。 设邻边，。 。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 针对训练 训练 两段绳长之和为，长度乘积为。求两段绳长之差的绝对值。 答：。 。 。 先确认实根存在，再把目标式改写成根和、根积的组合。 方法归纳 解题方法总结 先读准和与积 ① 方程整理后连符号读系数。 ② 和有负号，积按常数项除首项系数。 把目标式化为整体 ① 平方和与差平方先展开恒等式。 ② 涉及倒数时先检查根积不为零。 $