25.2 降次——解一元二次方程（第4课时） 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第25章　一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程（第4课时） 因式分解法 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 物体回到地面的时刻 观察与分析 从地面竖直上抛物体，抛出秒后（），离地高度约为米。回到地面时高度为零，所以解。 结论与应用 左边各项含，可提取。这道方程具有乘积等于零的结构，能用比公式法更简便的办法。 情境引入 零乘积性质 观察与分析 如果两个因式的积为，那么这两个因式中至少有一个等于；反之，如果两个因式中任何一个为，它们的积也等于。 结论与应用 等价于或。“或”表示至少一种情况成立，也允许两个因式同时为零。 新知讲授 抛物问题的两个根 观察与分析 给出或，所以方程的两个根为。 结论与应用 表示抛出的初始时刻，表示再次落地时刻。两个根均成立，但它们对应不同的物理时刻。 新知讲授 因式分解法 定义 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于的形式，再使这两个一次式分别等于，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 理解 分解因式只是第一步，后面还要写出两个一次方程并求根，不能把乘积式当成最终答案。 新知讲授 乘积等于零是前提 观察与分析 不能推出或。零乘积性质只有乘积为时才能使用。 结论与应用 遇到非零右端，先移项合并为一般式，再考虑能否重新分解。不要把等式右边任意分给某个因式。 新知讲授 第一种结构：提公因式 观察与分析 可写成，给出或。含公因式时，应优先观察能否直接提取。 结论与应用 不能把原方程两边直接除以，因为可能等于。除去未知因式会丢失零根。 新知讲授 第二种结构：平方差 观察与分析 是，可写成。 结论与应用 平方差要求两项相减且各自为平方。在实数范围不能照搬这一分解公式。 新知讲授 第三种结构：完全平方 观察与分析 可写成，两个一次因式相同，所以得到两个相等的根。 结论与应用 完全平方形式可用因式分解，也可直接开方。两种方法说明的是同一个根重合现象。 新知讲授 第四种结构：分组提取 观察与分析 中，两个部分都含，提取后为。 结论与应用 原题若已经有括号，应先观察相同括号是否能当作整体提取。过早展开可能掩盖现成公因式。 新知讲授 先移项形成公因式 观察与分析 右边是。移项后为。 结论与应用 这样比全部展开再求根更短。判断公因式时，不仅看左边各项，还应检查右边能否改写成相同结构。 新知讲授 相等平方先作差 观察与分析 可移项，用平方差分解。也可利用两个实数平方相等，推出它们相等或互为相反数。 结论与应用 两种分支为或。负号要作用于括号内每一项。 新知讲授 二次项系数不为一 观察与分析 分解为，根为。 结论与应用 各因式仍是一次式，但未知数系数可能不为一。写出一次方程后，继续完成移项与除法。 新知讲授 整式乘法反向检查 观察与分析 把展开得到。分解结果必须能还原原方程整理后的多项式。 结论与应用 检查首项乘积、交叉项之和、常数项乘积，能够及时发现分解符号错误。不能只检查前后两项。 新知讲授 两个根不一定不同 观察与分析 的两个因式相同，两个根都等于。不能仅因有两个括号就断定有两个不同数值的根。 结论与应用 结合判别式可验证：对应方程的，与重根结论一致。 新知讲授 分解不便时选择方法 观察与分析 如，用简单整数因式分解不方便，但公式法能直接处理。不同方程可以选择不同方法。 结论与应用 配方法、公式法适用于一般二次方程，因式分解法在结构明显时简便。方法选择应服务于准确与简洁。 新知讲授 同一方程的不同解法 观察与分析 既可以直接开平方，也可以平方差分解。前者写，后者写。 结论与应用 两条路径得到相同的根。比较方法时关注方程的结构，而不是把某种方法固定为每题都要使用的程序。 新知讲授 不能只令其中一因式为零 观察与分析 应分成或。只保留第一个方程会少一个根。 结论与应用 遇到两个不同的一次因式，按顺序写出两个分支；遇到相同因式，说明两个根相等。 新知讲授 圆场地的长度限制 观察与分析 半径增加时，大圆面积与小圆面积之比是半径比的平方。设小圆半径，就应保留为正这一条件。 结论与应用 面积方程可能有负根，但半径只取正根。先完整解方程，再把代数解与实际解区别写出。 例题讲解 例4 解下列方程。 （1） （2） （1） 答：。 把作为整体，得。 或，分别求根。 （2） 答：。 移项合并得，即。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 课堂练习 练习 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （1） 答：。 。 或。 （2） 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 课堂练习 练习 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （3） 答：。 。 ，两根相等。 （4） 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 课堂练习 练习 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （5） 答：。 。 或。 （6） 答：。 或。 两分支分别解得与。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 课堂练习 练习 把小圆形场地的半径增加，得到大圆形场地。大圆与小圆的面积比为，求小圆半径。 答：小圆半径为。 ，即。 ，根为，取。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 例题讲解 示例 用因式分解法解方程。 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 例题讲解 示例 用因式分解法解方程。 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 例题讲解 示例 用因式分解法解方程。 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 例题讲解 示例 用因式分解法解方程。 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 例题讲解 示例 解方程。 答：。 移项得。 ，分别解一次方程。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 课堂总结 因式分解法 依据 零乘积性质 前提 乘积形式，右端为零 分解 公因式、平方差、完全平方 降次 一次因式分别等于零 注意 不能约去未知因式，保留零根 针对训练 训练 方程的根为（ ）。A.只有；B.只有；C.；D.无实根。 答：选C。 零乘积给出或。 A、B各漏一个分支，D与已经求得的实根矛盾。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 针对训练 训练 填空：，所以或，两根为。 答：依次为。 乘积等于零，两个一次因式至少有一个为零。 分别解与。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 两边除以可得唯一根。 错误 约去会漏根，应写。 （2） 可得或。 正确 零乘积至少有一个零因式。 （3） 可得或。 错误 乘积为非零数时，不能套用零乘积性质。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 针对训练 训练 用因式分解法解方程。 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 针对训练 训练 用因式分解法解方程。 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 针对训练 训练 用因式分解法解方程。 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 针对训练 训练 用因式分解法解方程。 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 针对训练 训练 用因式分解法解方程。 答：。 。 或。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 针对训练 训练 从地面上抛的小球高度为米。求再次落地的时间。 答：。 时，。 为抛出时刻，为再次落地。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 针对训练 训练 正方形边长增加后，面积成为原来的倍。求原边长。 答：。 ，即。 根，长度取。 乘积必须等于零；一次因式分别为零，不能约去未知因式。 方法归纳 解题方法总结 观察并构造零乘积 ① 先移项使右端为零。 ② 优先保留相同括号并提公因式。 分支求根并筛选 ① 每个一次因式分别等于零。 ② 零根不能随意约去，实际量须检验。 $