湖南省邵阳市九校联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题（创新实验班）

秘密＊启用前 邵阳市九校联盟10月创新实验班联考 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A．40 B．48 C．52 D．60 5．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，已知，点在边上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．1 8．函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若复数满足，则的最小值为 10．在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，且半径为．已知长方形的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（ ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的“蒙日圆”的方程为 C．长方形的面积的最大值为18 D．若椭圆的上下顶点分别为、，则其蒙日圆上存在两个点满足 11．设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则（ ） A．是奇函数 B． C．的最小值是 D．方程在区间内恰有1013个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则_______． 13．已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 14．定义为集合中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身， 已知集合，集合的所有非空子集依次记为、、…、，则_______ 四、解答题本题共5小题，共77分．（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．求； 16．（本小题15分）如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． （1）若，求的长； （2）求异面直线与所成角余弦值的最小值． 17．（本小题15分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为3． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 18．（本小题17分）已知函数． （1）当时，求曲线在原点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，证明：当时，． 19．（本小题17分）已知且，集合，其中．若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集．例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集． （1）判断集合是否是的子集？说明理由； （2）判断是否为集合的变换函数？说明理由； （3）若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月邵阳市拔尖创新班联考参考答案与评分标准 高二数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C C B D D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12． 13．15 14．①．3②． 四、解答题本题共5小题，共77分．（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15（共13分）．（1）因为， 由正弦定理可得， 2分 且， 即， 整理可得， 且，则，可得，又因为，则， 所以，，所以． 6分 （2）因为为的平分线，则，因为， 则， 8分 即，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积． 13分 16（共15分）．（1）连接，，， 由，有平面，又平面，所以， 当，，所以平面， 又平面，所以． 3分 此时与相似，故， 设，由， 解得，所以． 7分 （2）过作的平行线交于点，连接， 由，且，得四边形是平行四边形，故， 所以即为异面直线与所成的角， 设， 14分 所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值， 所以异面直线与所成角余弦值的最小值为． 15分 17（共15分）．（1）联立，得，即， 所以或． 2分 故圆与抛物线的三个公共点分别为，． 这三点恰好构成等腰直角三角形，所以， 解得或（舍去）．故的标准方程为． 4分 （2）易知的斜率不为0，设直线方程为，，， ．联立，得， 所以，，． 6分 （i）因为，到距离，即． 因为， 所以 ， 而，且． 所以，解得或， 但时，舍去． 故，，故直线的斜率． 9分 （ii）由，得，所以，从而． 由（i）知，而． 所以，解得，且． 又由，即， 由弦长公式知， 所以． 15分 18（共17分）．（1）当时，，，，， 所以曲线在原点处的切线方程为． 3分 （2），若在上单调递增， 则在上恒成立． 5分 ①当时，在上恒成立．令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取得最小值，最小值为1，所以， ，符合题意； 6分 ②当时，令，则． 因为在上单调递增，， 所以当时，， 当时，， 在上单调递减，在上单调递增． 要使得在上恒成立，则，解得，结合，得． 综上，的取值范围为． 10分 （另解：．若在上单调递增， 则在上恒成立． 由，得．令，， 则，．令，则 ．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，即． 当时，，，，所 ，即； 当时，，，，所以 ，即． 在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围为．酌情按步骤给分） （3）证明：令，则． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，所以是增函数． 因为，所以在上恒成立， 即当时，在上恒成立． 14分 令，则，所以是增函数． 因为，所以当时，，即． 因为，所以当时，，所以 ， 所以当时，． 17分 19（共17分）．（1）当函数时，，，，， 此时函数是集合的变换函数， 集合是的子集． 3分 （2）函数在定义域上单调递减， 4分 当时集合，其中，假设函数为集合的变换函数，则，，， 6分 即，即， 由①-②，得，整理后得， 即，， 而由①式易得，显然产生矛盾， 即函数不是集合的变换函数． 9分 （3）存在，理由如下 因为，所， 10分 ①当时，由且， 所以，，…，，，…，， 所以，， 12分 取，知符合题意； 13分 ②当时，由，而， 所以，，…，，所以，，…，， 所以， 16分 此时取知符合题意． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $