精品解析：山西省太原市第三十七中学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

太原37中2026—2027学年九年级10月质量检测 数学 说明：时间90分钟，满分100分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（　　） A. 矩形的对角线互相垂直且平分 B. 矩形的邻边一定相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 有三个角为直角的四边形为矩形 7. 已知一元二次方程的一个根是，则它的另一个根及的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 10. 如图，点是正方形内部的一点，为等边三角形，连接并延长交于点，的度数为（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是________． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 13. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是___________________． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点．若，则菱形的周长是_______． 15. 已知，如图，在菱形中，，，点是上一点且．将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，则的长为________． 三．解答题（本题共7道小题，共55分） 16. 解下列一元二次方程 （1） （2） 17. 下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：． 解：两边都除以，得．……………………………第一步 整理，得．………………………………………………………第二步 所以．……………………………………………………………第三步 任务： （1）小明从第________步开始出现错误，产生错误的原因是_______________． （2）原方程正确的解为______________________． （3）解方程：． 18. 如图，是的角平分线，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 19. 爱知·名古屋亚运会落下帷幕，中国体育代表团斩获金银铜，总计枚奖牌，创造亚运会境外参赛金牌数历史最佳战绩！一众年轻健儿奋勇拼搏，不断突破自我，交出一份亮眼答卷．九年级开展“亚运逐梦，青春自强”主题班会．老师准备四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分别记为A，B，C，D． A．团体项目：女子乒乓球团体 B．团体项目：男子米自由泳接力 （孙颖莎、王曼昱、陈熠、蒯曼、范姝涵） （徐海博、费立纬、潘展乐、张展硕） C．个人项目：女子米跳台（陈芋汐） D．个人项目：男子米栏（陈圆将） 现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小明先从中随机抽取一张，不放回，小刚再从剩余图片中随机抽取一张，然后两人根据抽到的图片介绍对应的亚运比赛项目．用画树状图或列表的方法，求小明和小刚介绍的都是团体项目的概率． 20. 太原的名优特产老陈醋醋香四溢，深受人们的喜爱．一位经销商在直播平台销售某种老陈醋礼盒，其进价为每盒元，按元销售，平均每天可售出盒．后来经过市场调查发现，售价每降低元，平均每天的销售量可增加盒．若该经销商想要平均每天获利元，且为了提高直播的销售量，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？ 21. 阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅、五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．尺规作图不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案．中国古代建筑藻井图案就是极具代表性的经典图案，它是一个正方形里面嵌套了多个正八边形．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出正方形的内嵌正八边形吗？ 课堂上同学们经过讨论，画出了下面的两个内嵌于正方形的正八边形的草图． 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和中心对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于… 深入分析：以图正方形内嵌正八边形为例分析，如图，连接，，，，发现的结论如下： （1）点，，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，；… 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图． （1）如图，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 类比阅读材料中对图的研究过程，分析图中图形的整体特征和元素特征，完成下列问题： （1）从角的角度观察图，连接、，则_________，_________． （2）请你从边的角度观察，与有怎样的数量关系，并说明理由． （3）请根据你发现的几何结论，利用尺规作图，在图的正方形中作出图中的内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 22. 如图，已知矩形，，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请直接写出当为何值时，四边形是菱形； （3）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原37中2026—2027学年九年级10月质量检测 数学 说明：时间90分钟，满分100分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，将方程移项化为一般形式，再比较系数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出判别式的值即可得出答案． 本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程无实数根． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程－配方法．首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，即可求解． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． 故答案为：C． 5. 如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数确定一元二次方程的根的取值范围．从表中可以看出当时，，当时，，所以能使成立的一定在范围内． 【详解】解：整理方程 得到：， 令， 由表中数据可知：当时，， 当时，， 当时，即时， 一定有． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（　　） A. 矩形的对角线互相垂直且平分 B. 矩形的邻边一定相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 有三个角为直角的四边形为矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知：A、B两个选项错误；根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形这个判定知，C选项错误；三个角为直角，则第四个也为直角，根据有四个角是直角的四边形是矩形判定得，故D选项正确． 【详解】A：矩形的对角线的性质是：矩形的对角线互相平分且相等，故此说法错误； B：矩形的邻边不一定相等，但对边一定相等，故此说法错误； C：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，由此判定知，此说法错误； D：当有三个角是直角时，根据四边形内角和定理，第四个角也是直角，从而判定是矩形，此说法正确． 故选：D 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，必须准确而熟练地掌握矩形的判定和性质． 7. 已知一元二次方程的一个根是，则它的另一个根及的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的另一个根为，由根与系数的关系得，求出，再根据，求出即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵方程的一个根为，由根与系数的关系得， ∴， ∵，将代入得， ∴． 8. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 9. 如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得到，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 10. 如图，点是正方形内部的一点，为等边三角形，连接并延长交于点，的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质推出，则可推出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ 或， 解得，． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 13. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点．若，则菱形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．熟练掌握菱形的性质，中位线是解题的关键．由题意可得是的中位线，则，根据菱形的周长为，计算求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 点为对角线的中点． 又点是边的中点， 是的中位线． ． 菱形的周长为． 15. 已知，如图，在菱形中，，，点是上一点且．将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作于点Q，证明为等边三角形，得出，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，，证明点、C、Q在同一直线上，得出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接，过点O作于点Q，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 根据旋转可得：，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴点、C、Q在同一直线上， ∴， ∴． 三．解答题（本题共7道小题，共55分） 16. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得，． 17. 下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：． 解：两边都除以，得．……………………………第一步 整理，得．………………………………………………………第二步 所以．……………………………………………………………第三步 任务： （1）小明从第________步开始出现错误，产生错误的原因是_______________． （2）原方程正确的解为______________________． （3）解方程：． 【答案】（1）一；方程两边同时除以，没有考虑等于0的情况 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质可知，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立，第一步没有考虑等于0的情况； （2）（3）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，是的角平分线，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定可得 是等腰三角形，从而，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】略 19. 爱知·名古屋亚运会落下帷幕，中国体育代表团斩获金银铜，总计枚奖牌，创造亚运会境外参赛金牌数历史最佳战绩！一众年轻健儿奋勇拼搏，不断突破自我，交出一份亮眼答卷．九年级开展“亚运逐梦，青春自强”主题班会．老师准备四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分别记为A，B，C，D． A．团体项目：女子乒乓球团体 B．团体项目：男子米自由泳接力 （孙颖莎、王曼昱、陈熠、蒯曼、范姝涵） （徐海博、费立纬、潘展乐、张展硕） C．个人项目：女子米跳台（陈芋汐） D．个人项目：男子米栏（陈圆将） 现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小明先从中随机抽取一张，不放回，小刚再从剩余图片中随机抽取一张，然后两人根据抽到的图片介绍对应的亚运比赛项目．用画树状图或列表的方法，求小明和小刚介绍的都是团体项目的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先列表得到所有的等可能性的结果数，然后找到两人介绍的都是团体项目的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：所有可能的结果列表如下： 小刚 小明 共有种结果，每种结果出现的可能性相同， 两人介绍的都是团体项目的结果有两种：、， ∴两人介绍的都是团体项目的概率是． 20. 太原的名优特产老陈醋醋香四溢，深受人们的喜爱．一位经销商在直播平台销售某种老陈醋礼盒，其进价为每盒元，按元销售，平均每天可售出盒．后来经过市场调查发现，售价每降低元，平均每天的销售量可增加盒．若该经销商想要平均每天获利元，且为了提高直播的销售量，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？ 【答案】每盒老陈醋礼盒应降价元 【解析】 【分析】设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每盒应降价元，根据题意得： ， 解得：，， 为了提高直播的销售量，舍去， 答：每盒老陈醋礼盒应降价元． 21. 阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅、五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．尺规作图不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案．中国古代建筑藻井图案就是极具代表性的经典图案，它是一个正方形里面嵌套了多个正八边形．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出正方形的内嵌正八边形吗？ 课堂上同学们经过讨论，画出了下面的两个内嵌于正方形的正八边形的草图． 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和中心对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于… 深入分析：以图正方形内嵌正八边形为例分析，如图，连接，，，，发现的结论如下： （1）点，，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，；… 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图． （1）如图，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 类比阅读材料中对图的研究过程，分析图中图形的整体特征和元素特征，完成下列问题： （1）从角的角度观察图，连接、，则_________，_________． （2）请你从边的角度观察，与有怎样的数量关系，并说明理由． （3）请根据你发现的几何结论，利用尺规作图，在图的正方形中作出图中的内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】（1）， （2）解：． 理由：∵，， ∴， ∴； （3）如图， 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，由正八边形的性质得，，再根据求解即可； （2）证明即可； （3）连接相交于点O，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，交于点H，同理作出点F，G，I，J，K，L，然后连接即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形为正方形的内嵌正八边形， ∴，， ∴， ∴， 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 22. 如图，已知矩形，，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请直接写出当为何值时，四边形是菱形； （3）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵M、N、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）5； （3）可能，2或8． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）当时，四边形是菱形，P是的中点，所以可求出的值． （3）四边形是矩形的话，必需为，用勾股定理的逆定理判断一下是不是直角三角形就行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，在和中， ， ∴， ∴， ∵M、N、E分别是的中点， ∴ ，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 四边形可能是矩形． 若四边形是矩形，则 设， ，． 或． 故当或时，四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，勾股定理的逆定理，掌握矩形和菱形的性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $