天津市新华中学2027届高三年级第一学期第一次阶段性练习反馈数学试题

HIGH SCHOOL 新华中学2027届高三年级第一学期第一次阶段性练习反馈 数学学科 卷分为第1卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟。 将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷 上的无效。 第I卷 注意事项：1每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号。 2本卷共9题，每题5分，共45分。在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x EZ≤2}，B={xx2+4x≤0}，则A0CRB=() A.{-2,-1,0} B.R C.[-2,0)U(1,2] D.{1,2 2.已知数列{an}的通项公式为a,=n2-kn+5,则“{an}为单调递增数列”是“k≤2”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f)=2+，9)=sx，则为如图的函数可能是（ y个 4 A.y=f)+g)- B.y=f)-g()-4 C.y=f(x)·g(x) D.y-器 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=6,则as+a6=() A.8 B.10 C.14 D.18 5.已知定义在R上的函数f(x)=2-m-1(m为实数)为偶函数，记a=f(logo.53),b=f(log25), c=f(2m),则a,b,c,的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 6.已知向量a=(2,0),万=(sima,号，若向量6在向量上的投影向量c=(兮，0)，则a+列-() A.V3 B.√7 C.3 D.7 7.已知正数a,b的等比中项是2，且m=b+n=a+,则m+n的最小值是() A.3 B.4 C.5 D.6 第1页 8.已知函数f()=2sin2%+sinωx,ωe},1,则下列说法正确的是( ) A.f()在区间(0，上一定有最大值 B.fx)在区间(0，)上一定有最小值 Cf)在区间(：，)上不一定单调 D.f)在区间(g)上一定单调 9.己知{an}是各项均为整数的递增数列，且a1≥3，若∑1a=100,则n的最大值为() A.9 B.10 C.11 D.12 第Ⅱ卷 注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共11题，共105分。 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.已知i是虚数单位， 则= 11.在数列{an}中，a1-2,a+1=an+lg（1+),则a= 12.设钝角△ABC三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=2,bsinA=V3,c=3, 则b= 13.己知数列{a,nJ,b,n}满足bn=log2a,nEW,其中{bn}是等差数列且a10a017=2,则b10+b2017= 且 b1+b2+…+b2026= 14.在△ABC中，点M,N是线段BC上的两点，MA=MB=MC=1,MA·M=子则 MA.NA= ,WA的取值范围是 15.己知函数f(x)= (x2+x+子x≤0，若关于的方程f网=k(kER)有四个不同的根，它们从小到大依次 (nx-1|,x>0 记为x1,x2,x3,x4,给出下列四个结论： ①0<k≤京②0<x1x,x4<号®e<<e;@函数g闭-f()-有8个零点；其中所有正确结论的 序号是」 (部分选对得2分，全部选对得5分，选错得0分) 三、解答题：本题共5小题，共75分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题14分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设a,b,c满足条件 b2+c2-bc=a2和=+V3. (I)求角A和tanB; (2)若b=2,求△ABC的面积； (3)求c0s(A+2B) ,共8页 17.(本小题15分)已知函数f()=Acos(wx+p)(A>0,ω>0，lp|<习的部分图象如图所示. 5 12 (1)求函数f(x)的解析式： (2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g(x)的图象. (i)求g)的解析式及.g()）值： (i)求g()在[0，上的值域. 18.(本小题15分)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sm,且S4=20,a1,a2,a4成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式； (2)记bn=1+2++,证明数列{3}是等比数列，并求数列{3b}的前2n项和R2m: (3)记cn=12-anl,求数列{cn}的前n项和Tn 19.(本小题15分)己知函数f(x)=ex+ax(a∈). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间； (3)若f(x)有两个正零点x1,x2,且x1<x2;(i)求a的取值范围；(ii)求证：x1+x2>2. 第2页， 20.(本小题16分)己知函数f(x=xex+asinx. (1)当a=0时，求证：f凶>x+1: (2)当a=-时，证明：f)≥1+5+(x-1)e,xe[行+∞月 (3)若f(x)>0对x∈(0，π)恒成立，求实数a的取值范围. 共8页 答案和解析 1.【答案】D 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】由题意得：A={-2,-1,0,1,2},CRB={xx<-4或x>0},A0 CrB={1,2. 故选：D 2.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查数列的函数特性，涉及充分、必要条件的判断，属于基础题. 根据题意，假设数列{a}为单调递增数列，求出k的取值范围，由此结合充分、必要条件的定义， 【解答】 解：已知数列{an的通项公式为an=n2-k+5, 若数列{an}为单调递增数列， 则有a+1-a.=[n+1)2-k(n+1)+5]-(n2-m+5)=2n+1-k>0,(m∈Z且n≥1)， 变形可得k<2n+1,又由n∈Z且n≥1，则k<3, 故当k≤2时，数列{an}为单调递增数列，反之不一定成立， 故“数列{an}为单调递增数列”是“k≤2”必要而不充分条件， 故选：B, 3.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查函数图象的识别，属于基础题. 根据函数的奇偶性分析不符合题意的选项排除即可. 【解答】 解：由函数图象关于原点对称，易知函数是奇函数， y=fx)+g()-=x2+sinx与y=f()-g()-是=x2-sinx均为非奇非偶函数，排除A和B, 对于C,y=f(x)g)=(x2+)sinx是奇函数， 且y'=2 xsinx-+(x2+)cosx>0对xe(0,平)恒成立， 则函数y=f(x)g(x)在(0，妥)上单调递增，与题意不符. 故选：D 4.【答案】A 【解析】解：等比数列{an}中，S2,S4-S2,S6-S4成等比数列， ·2,4,S6-54成等比数列， S6-S4=8=a5+a6, 故选：A. 5.【答案】c 【详解】由f(x)为偶函数得m=0,所以a=21og053到-1=2log23-1=3-1=2,b=2log25-1=5-1=4,c=20 1=0,所以c<a<b,故选C. 考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算， 6.【答案】B 分析可得答案. 【解析】【分析】 本题主要考查投影向量，向量的模长，属于中档题. 根据已知条件，结合投影向量的公式，求出ā·万，再结合向量模公式，即可求解. 【解答】 解：向量在向量a上的投影向量c=(,0), 则爵×a=(分)， 向量a=(2,0),则=2，故a·万=1， a=(2,0),万-(ma,), 则2sina=1,解得sina==1, 所以反+=a+万+2a万=√4+1+2=V7 故选：B. 7.【答案】c 【详解】由已知正数a,b的等比中项是2，可得ab=4, 又m=b+>0,n=a+5>0, “m+n=a+)+(侣+)≥2画+品=2×4+存=5， 当且仅当a=b=2时，等号成立，故m+n的最小值为5. 故选：C 8.【答案】D 【解析】【分析】 第3页，共8页 本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于较难题. 利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，根据ω的取值范围结合正弦型函数的单调性可得出结论. 【解答】 解：因为f()=2sim22+sincx=sinox-COSWx+1=V2sin(wx-)+1, 当xe(o,)时，ox-e(受-到 w层刂，%-e[品 “fx)在区间(0，)上单调递增，且为开区间故无最值；则A,B错误； 当xe(g7）时，ox-e(g-,7-) we,g-e,周，-e[ “f在区间（臣码）上一定单调，故C错，D对. 故选：D. 9.【答案】c 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条 件，即得到n的最大值. 【详解】 若要使尽可能的大，则4，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列{a,}是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为S, 则an=n+2 3y42=102>10 S2 所以n≤11. 对于0，=n+2.=34x1=88<10 2 取数列{a}各项为4，=n+20m=1,2,10)a11=25, 则a1+a2+…+a11=100, 所以n的最大值为11. 故选：C 10.【答案】号 【解折12=古2可号-专以-周+(-月号 i 11.【答案】lgn+2 第4 【分析】考察求数列通项的方法：累加法；在化简过程中注意对数运算； 【详解】化简得：a+1-a=g(件) a-a1=lg(份)ag-a=lg(),…a-am-1=g()月 将上述式子相加， 得a-a1=lg(份+g()+…+g(）=g(作××…×)=gm, 代入a1=2,得a-2=lgn, 则a.=lgn+2, 故答案为：a=gn+2. 12.【答案】V19 【解析】【分析】 本题主要考查了余弦定理，同角平方关系在求解三角形中的应用，属于中档题 由己知结合余弦定理及同角三角函数的平方关系即可求解b 【解答】 解：因为a=2,bsinA=√3， 所以sinA=y3 b 由余弦定理得，c0sA=b2+c2-2=b2+5 2bc 6b 由题意知A为锐角，且品+ 36621, 整理得，b4-26b2+133=0, 所以b=√7或b=V19, 当b=√7时，a=2,c=3,可知角C为最大角，此时a2+b2>c2,C为锐角，即△ABC为锐角三角形，与已知矛盾， 当b=V19时，c0sB<0,符合题意， 故b=√19 故答案为：√19. 13.【答案】1,1013 【解析】【分析】 本题考查对数运算、等差数列的性质、等差数列求和，属于中档题 运用等差数列的性质可得b1+b2+b3+…+b020=2020b,2020=202000tb201n, 再利用对数运算可得结果 2 2 【解答】 解：因为数列{bn}是等差数列，且bn=log2an,a1oa2017=2, 页，共8页 所以b1+b2+b3+.+b2026 =2026(b1+b3026) 2 2026(b10+b2017) 2 s2026 ×0og2010+l0g2a201) -2025×1cg.0） -2025x1o82=1013. 故答案为：1013. 14.【答案】：（经] 【解析】【分析】 本题考查的是向量的数量积运算，属于中档题， 由M=M=MC=1及M是线段BC上的点，得△ABC为以BC为斜边的直角三角形，再结合MA·MN=求解即 可. 【解答】 解：因为MA=MB=MC=1,所以M为△ABC外接圆圆心， 又M在线段BC上，所以△ABC为以BC为斜边的直角三角形，M为BC中点， 因为M·MN= 所以MA·NA=MA.MA-M =M-M丽·M=1-=克 因为NA=MA-M=」 (MA-MN)2 =√1+MN2-2MA.MN =1+MN-2×克=|M, 又N点在线段BC上，所以WA=MN≤1，当N与B或C重合时取等号， 结合三角形两边之和大于第三边得WA+M=2NA>AM=1, 得WA>子，所以WA的取值范围是(，1] 故答案为（传， 15.①④ 【分析】因为x≤0时f(x)是二次函数，可配方求值域和零点情况；x>0时去绝对值分析 nx一1的单调性、值域，所以能画出f(x)的大致图象，找到方程f(x)=k有四个不同实根时k的取值范围.对于x1,x2, 因为是x≤0时二次方程x2+x+}=k的两个根，所以用韦达定理可直接得到x1+x2、x1x2的表达式对于x3,x4,因为 第5页 是x>0时方程Ilnx-1=k的两个根，所以去掉绝对值后可得lnx3=1-k,nx4=1+k,进而推导x3x4、x3的取值 范围，再结合x1x2的结果得到x1x2xx4的范围.分析g()=ff(x)-的零点：先令t=f(),解方程f()=得到t的所 有取值，再分别判断每个t对应的f(x)=t的实根个数，相加得到g(x)的零点总数. 【详解】x≤0时，f)=(x+)2,值域为[0，+∞)，顶点(-，0)，x=0时f0)= x>0时，f(x)=lnx-1l,值域为[0，+o) 作出函数图像如图： =fx) y=k 方程f()=k有四个不同根的条件是0<k≤量故①正确： x,x是方程(x+)2=k即x2+x+(-内=0的两根，由韦达定理：x1x2=-k: x3,x4是lnx-1|=k的两根，得nx3=1-k,nx4=1+k, 故n(x3x4)=2,即x3x4=e2; 因此x1x2x3x4=(子-)e2,其取值范围为[0,2)，故②错误； x3=e1-k,0<k≤是故好≤1-k<1,x9=e1-k,其取值范围为[ee),故③错； 9x)=f(f(x)-的零点等价于f)=1t=f), 解得f()=的根为：t1=-1,t2=0,t3=e,t4=e4;分别计算f(x)=t的根个数： t=-1:f(x)=-1无实根： t=0:f(x)=0共2个实根： 当t>时，f(x)=t有3个实根 因此g(x)的总零点个数为2+3+3=8个，④正确. ,共8页 16【答案】解：1)由余弦定理得c0sA=2+4-分因为AE(0,m,所以A-号 -2分 2bc P案作用流定写-恶是-浮器-专 ---4分 sinB sinB 即号器需=V5,所以tamB-专 -5分 (②)因为b=2后=+3，所以c=1+2√3， -7分 所以5aAc-besinA-×2×1+2V3)x号-3+ 9分 (3)因为B∈(0，四，而tanB=,故可缩小B的范围为B∈(0，)， 所以n8、1 8o8-分又sin2B+cos28=1,所以sinB=5,cos8=29, 5 -11分 所以sin2B=2 2sinBe0sB=专，cos2B=cos2B-sim2B=2 --13分 因为A-子所以cos(A+2B)=cos号cos2B-sin号sn2B-×号-号×号2 10 -14分 【解析】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题。 (①)先利用余弦定理求出A=了，结合条件利用正弦定理化边为角可得答案： (2)求出c,利用三角形面积公式可得答案； (3)先根据倍角公式求出sn2B,c0s2B,再利用两角和的余弦公式可求答案. 17.【答案】()f()=2cos(2x-) (2)(i)9)=2cos(4x+):1:(i)[-2,1. 【分析】(1)由图可知A=2,7=晋+营求出周期，再利用周期公式可求出，再将（倍0）代入可求出p,从而可求 出f(x)的解析式： (2)(i)根据三角函数图象变换规律求出gw),进而可求g():(i)由0，求出4x+的范围，再利用余弦函数的性 质可求出其值域。 【详解】(1)由图可知，A=2,T=钙+所以T=,w=是=2.将点（僵，0）代入f)=2cs(2x+) 得g+9=m+5kez.又ml<号所以p=-景所以f)=2cs(2x-) --5分 (2)(i)将f(x)的图象向左平移个单位长度， 得y=2cos[2(x+)x-引=20s(2x+), 再将所得图象的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得y=2cos(4x+), 所以g()=2cos(4+),所以g(目=2cos(4×5+)=2cos(2m-)=2cos(目=1； -10分 第6页 (i)因为x∈[0，，所以0≤4x≤，于≤4x+5≤元， 所以cosm≤cos(4比+)≤cos号，所以-1≤cos(4比+)≤3，所以-2≤cos2(4x+)≤1， 故g(x)在[0，上的值域为[-2,1]. -15分 18aa=2ma⑧r-{28 【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,根据题意，列出方程组，求得a1,d的值，即可求解； (2)由(1)知an=2n,利用等差数列的求和公式，求得bn=n+1,得到3m=3m+1,结合等比数列的求和公式，即 可求解； (3)由（1)知an=2n,得到cn=12-2n,分类讨论，结合等差数列的求和公式，即可求解， 【详解】(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d(d≠0)， 由S4=20,可得4a1+d=20,所以2a1+3d=10, 因为a1,a2,a4成等比数列，可得a吃=a1·a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d), 即a好+2a1d+d2=a好+3a1d,即d2=a1d,所以a1=d, 联立方程3.10，解得e12d=2.所以，=2+0-X2=2如 所以数列{an}的通项公式为an=2n. 4分 (2)由(1)知：数列{aJ的通项公式为an=2n, 则a1+a2+…+an=2牛2m=n0+1), 2 所以bn=4+a2++a=na+D=n+1,所以3n=3+1, n n 侧则空-器=3，所以数列3是以3？=9为首项，以3为公比的等比数列， 所以数3的前2n项和为0-9- -9分 1-3 2 (3)由(1)知：an=2n,可得cm=|12-anl=l12-2m, 设dn=12-2m,可得{d的前n项和为Tn=10+2-2m=-n2+11n 2 当n≤6，n∈N*时，可得cn=dm=12-2n,则Tn=-n2+11n: -11分 当n>6,n∈N*时，cn=-dn=2n-12, 可得Tn=(c1+c2+…+c6)+(c+c8+…+cn)=T6-(d+dg+…+dn) =T6-(Tn-T'6)=2T'6-Tn=60-(-n2+11n)=n2-11n+60, --14分 综L可得效项指前n项-6公 -----15分 共8页 19.【答案】(1)y=2x+1 (2)当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(-o,+o): 当a<0时，f(x)的单调递减区间为(-oo,ln(-a),单调递增区间为(n(-a),+oo): (3)(i)a的取值范围(-oo,-e).(i)略 【分析】(1)利用导数的几何意义求得f'(O),f0),可求切线方程： (2)利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间： (3)(i)结合(2)的分析，确定α满足的条件，从而求得a的取值范围；(i)通过构造函数证明对数均值不等式，从 证得x1+x2>2. 【详解】(1)当a=1时，f(x)=ex+x,求导得f(x)=ex+1,所以f(0)=e0+1=2, 又f0)=e°+0=1，所以切点为(0,1)， 所以切线方程为y-1=2x,即y=2x+1: --3分 (2)由f(x)=ex+ax,求导得f(x)=e+a, -4分 若a≥0，f(x)=e+a>0,所以fx)在R上单调递增； -5分 若a<0,令f(x)=0,得ex+a=0,解得x=ln(-a), 当x<ln(-a)时，f(x)<0,则在f(x)(-o,ln(-a)上单调递减： 当x>ln(-a)时，f(x)>0,则在f(x)(n(-a),+o)上单调递增： -7分 综上所述：当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(-o,+∞)： 当a<0时，f(x)的单调递减区间为(-oo,ln(-a),单调递增区间为(n(-a),+o): (3)(i)由题意知方程f(x)=e+ax=0有两个不同的正实根x1,x2, 由2a0.a四-e+ex0-1.所f2t80, 解得a<-e,所以a的取值范围(-o,-e). -10分 (ii)由(i)得a<-e,所以e1=-ax1,e=-ax2, 两边同时取自然对数，得x1=ln(-a)+lnx1,x2=ln(-a)+lhx2, 两式相减得x3-x1=血x,-lnx1,即-=1， 1nx2-Inx1 要证x1+x2>2,只需证明，”-灯<2*1 Inx2-Inx1 2 即2-型<，一x,所以侵<x,一xy X2+x1 2+1 令t=2>1,只需证明lnt>2c,构造函数g(0=lnt-2)(t>1), t+1 t+1 求导得0回高品>0，所以函数00在1，+四)上单调递增， 于是g()>g(1)=0,所以不等式lnt>2-成立， t+1 于是原不等式x1+x2>2成立. -15分 第 20.【答案】解：(1)证明：由a=0,得f(x)=xe*, 要证f②>x+1,只要证e*-x-1>0, -----1分 令g(x)=e-x-1,则g′(x)=ex-1, 当x∈(-∞，0)时，g′(x)<0,则g(x)单调递减， 当xE(0,+o)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增， 所以g(x)>g(0)=0,即e>x+1, 因此f9>x+1; -4分 (2)令gx)=e*-号sinx-x-1,则g()=e-号cosx-导 -5分 当x20时，e≥1，-子≤-子c0sx≤子，则g()=e*-子cosx-≥1-子-号=0， 所以g(x)在[0，+)上单调递增，则g(x)≥9(0)=1-0-0-1=0， 所以g()≥0在[0，+∞)上恒成立，即e-子sinx≥x+1在[0，+)上恒成立： ---7分 当-i≤x<0时，令m()=9()=ex-cosx-号 所以m(x)=e*+子simx,因为y=e和y=sinx在[，0)上单调递增， 所以m()=e+sinx在[，0上单调递增， 所以mo)=e*+号simx≥e+号sin(-)=e片-号sm写 由第(1)问知，所以e方>1+(-)=子，由于0<sin<1, 所以me)=e+号six之e专-号sim时>号号=0， 则g)=e-cosx-在[上单调递增， 则g)=e-cosx-<90)=0,即g()<0在(-，0)恒成立， 所以g(x)在[，0)上单调递减， 所以g)>90)=1-0-0-1=0,即g)>0在[，0)成立， 故e*-号sinx≥x+1在[-，0）成立， 综上，e-子six≥x+1在[-+o）上恒成立， ------10分 7页，共8页 (3)f'(x)=(x+1)ex+acosx,f(0)=0, 令h(x)=f'(x) h'(x)=(x+2)ex-asinx, ①当a≥0时，由x∈(0，π)，得xex>0,asinx≥0， 因此f(x)>0,满足题意， --11分 ②当a<0时，由x∈(0，π)，得(x+2)e'>0,-asinx>0, 因此h'(x)>0,则f'(x)在(0，π)上单调递增， -12分 1若-1≤a<0,则f′(x)>f'(0)=1+a≥0， 则f(x)在(0，π)上单调递增， 所以f(x)>f(0)=0,满足题意， --13分 2若a<-1,则f'(0)<0,f'()>0, 因此f'(x)在(0，)存在唯一的零点x0,且x∈(0，)， 当0<x<x时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当xo<x<π时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(xo)<fO)=0,不合题意， --15分 综上，a的取值范围为-1，+o): --16分 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第8页，共8页