第1章一元二次方程课件2026-2027学年苏教版数学九年级上册

基础题 用一元二次方程解决问题 1 1.用一元二次方程解决实际问题的一般步骤：（1）审题，找出相等关系； （2）设________; （3）列______；（4）解方程；（5）检验；（6）写出答案. 未知数 方程 返回目录 1 2 2 2.若矩形的相邻两边长分别为， ，则矩形的周长为_________，面积为 ____. 返回目录 1 2 3 1.一块长方形菜地的面积是，如果它的长减少 ，那么它就成为 正方形菜地，求这块长方形菜地的长和宽. 解：设长方形菜地的宽为，则长为 . 根据题意，得 ， 解得，（舍去），则 . 答：这块长方形菜地的长为，宽为 ． 返回目录 1 2 3 4 第2题图 2.如图，某小区居委会打算把一块长，宽 的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散 步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面 积是 .请计算花砖路面的宽度. 解：设花砖路面的宽为，根据题意，得 ， 整理，得，解得， . ，， . 答：花砖路面的宽度为 . 图放大 返回目录 1 2 3 5 图片还原 返回目录 1 2 3 6 第3题图 3.如图①，一张长方形纸板的长为 ，宽为 ，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方 体盒子.若该长方体盒子的底面积为 ，求该 长方体盒子的高. 图放大 返回目录 1 2 3 7 第3题图 解：设该长方体盒子的高为 ，则该长方体盒 子的底面长为 ，宽为 ， 根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得， ， 又，， . 答：该长方体盒子的高为 . 返回目录 1 2 3 8 图片还原 返回目录 1 2 3 9 若平均每次增长或下降的百分率为，则产值经过两次增长或下降到 ， 可列方程为______________或______________. 返回目录 1 2 3 4 10 1.我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担.某种药品经过两次 降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 解：设平均每次降价的百分率是 ， 根据题意，得 ， 解得， （舍去）. 答：平均每次降价的百分率是 . 返回目录 1 2 3 4 11 2.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五 月份的产量提高到1210辆.求该厂四、五月份的月平均增长率. 解：设该厂四、五月份的月平均增长率为 ， 根据题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：四、五月份的月平均增长率为 . 返回目录 1 2 3 4 12 3.某商场在春节期间将单价为200元的某种商品经过两次降价后，以162元 的价格出售. （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价，再下调 ，这样更有吸引力， 请问售货员的方案 对顾客是否更优惠？为什么？ 返回目录 1 2 3 4 13 （1）求平均每次降价的百分率； 解：设平均每次降价的百分率是 , 根据题意，得 , 解得, （舍去）. 答：平均每次降价的百分率是 . 返回目录 1 2 3 4 14 （2）售货员向经理建议：先公布降价，再下调 ，这样更有吸引力， 请问售货员的方案 对顾客是否更优惠？为什么？ 解：是.理由如下： , 售货员的方案对顾客更优惠. 返回目录 1 2 3 4 15 4.某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元， 第七天的营业额是前六天总营业额的 . （1）求该商店“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同， “十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店8，9月份 营业额的月增长率. 返回目录 1 2 3 4 16 （1）求该商店“十一黄金周”这七天的总营业额； 解：第七天的营业额是（万元）, （万元）. 答：该商店“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元. 返回目录 1 2 3 4 17 （2）该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同， “十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店8，9月份 营业额的月增长率. 解：设该商店8，9月份营业额的月增长率为 , 根据题意，得 , 解得, （舍去）. 答：该商店8，9月份营业额的月增长率为 . 返回目录 1 2 3 4 18 1.一个直角三角形的面积为，两条直角边长的和为 ,求该直角 三角形的两条直角边的长. 解：设此直角三角形一条直角边长为 ，则另一条直角边长为 .根据题意，得 , 整理，得 ， 解得， . 答：这个直角三角形的两条直角边长分别为， . 返回目录 1 2 3 19 第2题图 2.如图，在中， ， ， ．点从点开始沿边向点以 的速 度移动，点从点开始沿边向点以 的速度移 动．如果点，分别从点， 同时出发，经过多少 秒，的面积等于 ？ 图放大 返回目录 1 2 3 20 第2题图 解：设经过，的面积等于 ， 则， . 根据题意,得 ， 整理,得，解得， . ，， ． 答：经过，的面积等于 ． 返回目录 1 2 3 21 图片还原 返回目录 1 2 3 22 3.如图，用一段长为的篱笆靠墙围成一个矩形菜园，墙的长度为 . 第3题图 （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为________ ； （用含 的代数式表示） （2）若菜园的面积为，求 的值. 图放大 返回目录 1 2 3 23 第3题图 （1）设垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边 长为__________；（用含 的代数式表示） （2）若菜园的面积为，求 的值. 解：根据题意，得 ， 整理，得，解得或 , 当时， ，不合题意，舍去， 当时，, . 答： 的值为10. 返回目录 1 2 3 24 图片还原 返回目录 1 2 3 25 商品销售问题中的常用相等关系： 1.每件商品的利润、进价与售价之间的相等关系：_____________________ _____. 每件商品的利润=售价 -进价 返回目录 1 2 26 2.总利润、每件商品的利润与销售量之间的相等关系：_________________ ______________. 每件商品的利润× 销售量=总利润 返回目录 1 2 27 1.某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50 千克，为了尽快减少库存并且让利于顾客，决定降价销售，超市发现当售 价每千克每下降1元时，其日销售量就增加10千克.设售价下降 元，超市 每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 返回目录 1 2 3 28 2.某超市销售一种饮料，平均每天可售出200箱，每箱利润为12元，为尽可 能多地减少库存，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天 可多售出40箱．若要使每天销售该饮料获利2800元，则每箱应降价多少元？ 解：设每箱降价元，则每天可售出 箱， 根据题意，得 , 整理，得,解得, ． 要尽可能多地减少库存， ． 答：每箱应降价5元． 返回目录 1 2 3 29 3.某旅行社优惠信息如下： 旅游人数 收费标准 不超过10人 人均收费1200元 超过10人 每增加1人，人均收费降低20元，但人均收费不低于800元 根据以上信息，某公司组织一批员工去旅游，支付给旅行社20000元，求 该公司参加旅游的人数． 返回目录 1 2 3 30 解：因为 ，所以人数超过10． 设该公司参加旅游的人数为 ，根据题意，得 , 解得, . 当时， ; 当 时， , 不合题意,舍去． 答：该公司参加旅游的人数为20. 返回目录 1 2 3 31 $基础题 一元二次方程 1 1.只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是______的整式方程叫作 一元二次方程. 一 二次 返回目录 1 2 3 2 2.关于的一元二次方程的一般形式是________________（，， 是常 数，___0），其中，， 分别叫作________、________、________; ___，___分别叫作二次项系数、一次项系数. 二次项 一次项 常数项 返回目录 1 2 3 3 3.能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作___________________. 一元二次方程的解 返回目录 1 2 3 4 1.下列关于 的方程中，是一元二次方程的是( ) C A. B. C. D. 返回目录 1 2 3 4 5 6 5 2.将方程改写成的形式，则，， 的值分 别为( ) C A. 2，4，7 B. 2，4， C. 2，，7 D. 2，， 返回目录 1 2 3 4 5 6 6 3.若是关于的一元二次方程的一个解，则 的值 是( ) B A. 5 B. C. 6 D. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 4.下列各数：，，0，2，3,其中是一元二次方程 的根 的是________. -1， 返回目录 1 2 3 4 5 6 8 5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、 一次项系数和常数项. （1） ; （2） ; （3） ; （4） ． 返回目录 1 2 3 4 5 6 9 （1） ; 解：化为一般形式为 , 二次项系数为5，一次项系数为，常数项为 . （2） ; 解：化为一般形式为 , 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为 . （3） ; 解：化为一般形式为 , 二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 10 （4） ． 解：化为一般形式为 , 二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为1． 返回目录 1 2 3 4 5 6 11 6.用方程描述下列问题中的数量关系： （1）有一个面积为的长方形，将它的长剪短，宽剪短 ，恰 好变成一个正方形，设这个正方形的边长为 ; （2）两个连续整数的积为30，设较小整数为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 12 （1）有一个面积为的长方形，将它的长剪短，宽剪短 ，恰 好变成一个正方形，设这个正方形的边长为 ; 解：，即 . （2）两个连续整数的积为30，设较小整数为 . 解：，即 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 13 1.通过直接求________来解一元二次方程的方法叫作直接开平方法. 平方根 返回目录 1 2 14 2.如果一个一元二次方程可以写成，为常数， 的形 式，那么可以用____________法求解. 直接开平方 返回目录 1 2 15 1.方程 的根是( ) D A. B. C. D. ， 返回目录 1 2 3 4 16 2.方程 的根是( ) C A. ， B. ， C. ， D. ， 返回目录 1 2 3 4 17 3.若方程有实数解，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 返回目录 1 2 3 4 18 4.用直接开平方法解下列方程： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 返回目录 1 2 3 4 19 （1） ； 解：， （2） ； 解：， （3） ； 解：， 返回目录 1 2 3 4 20 （4） ； 解：， （5） ； 解：， （6） ． 解：， 返回目录 1 2 3 4 21 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个__________的乘积 时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个______________，这种 解一元二次方程的方法叫作____________. 一次因式 一元一次方程 因式分解法 返回目录 1 2 3 4 5 22 1.方程 的解是( ) C A. ， B. ， C. ， D. ， 返回目录 1 2 3 4 5 23 2.一元二次方程 的实数根是( ) A A. 或 B. C. D. 返回目录 1 2 3 4 5 24 3.方程 的解是( ) C A. B. ， C. ， D. ， 返回目录 1 2 3 4 5 25 4.若菱形的两条对角线的长分别是方程 的两实数根，则 菱形的面积为____. 12 返回目录 1 2 3 4 5 26 5.用因式分解法解下列方程： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） . 返回目录 1 2 3 4 5 27 （1） ； 解：， （2） ； 解：， （3） ； 解：， （4） ； 解：， 返回目录 1 2 3 4 5 28 （5） ； 解：， （6） . 解：， 返回目录 1 2 3 4 5 29 一元二次方程的根由方程的各项系数，， 确 定.当_____时，方程的实数根 _ __________，这叫作一元二次 方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫作________. 公式法 返回目录 1 2 3 4 5 30 1.用公式法解方程时，先求出，，的值，则，， 依次 是( ) D A. 2，3，1 B. 0，2， C. 2，3， D. 2，， 返回目录 1 2 3 4 5 31 2.方程，利用公式法解方程时，计算 ( ) D A. B. 1 C. 14 D. 17 返回目录 1 2 3 4 5 32 3.方程 的根是( ) A A. ， B. ， C. ， D. ， 返回目录 1 2 3 4 5 33 4.用公式法解方程 ，正确的是( ) A A. B. C. D. 返回目录 1 2 3 4 5 34 5.用公式法解下列方程： （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） ; （6） . 返回目录 1 2 3 4 5 35 （1） ; 解：， （2） ; 解：， （3） ; 解：， （4） ; 解：， 返回目录 1 2 3 4 5 36 （5） ; 解：， （6） . 解：， 返回目录 1 2 3 4 5 37 1.一元二次方程 的根的判别式为_________. 返回目录 1 2 38 2.一元二次方程的根的情况：当 时， 有____________的实数根；当 时，有__________的实数根； 当 时，______实数根.反之也成立. 两个不相等 两个相等 没有 返回目录 1 2 39 1.一元二次方程 的根的情况是( ) C A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 返回目录 1 2 3 4 5 6 40 2.若关于的方程有两个相等的实数根，则 的值是 ( ) B A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 返回目录 1 2 3 4 5 6 41 3.若一元二次方程有实数根，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 返回目录 1 2 3 4 5 6 42 4.若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 则 的取值范围是( ) C A. B. C. 且 D. 且 返回目录 1 2 3 4 5 6 43 5.不解方程，判断方程根的情况： （1） ; （2） ． 返回目录 1 2 3 4 5 6 44 （1） ; 解： , 方程 无实数根. （2） ． 解： , 方程 有两个相等的实数根． 返回目录 1 2 3 4 5 6 45 6.已知关于的一元二次方程 . （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求 的取值范围. 返回目录 1 2 3 4 5 6 46 （1）求证：方程总有两个实数根； 解：证明： , 方程总有两个实数根. （2）若方程有一个根为负数，求 的取值范围. 解：由题意可知或 . 方程有一个根为负数，,解得 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 47 $