1.3 动量守恒定律的综合应用（人船模型、弹簧小球模型等）讲义 -2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第二册

动量守恒定律的综合应用讲义练习解析 1、 基础练习 1. 长为L、质量为M的平板小车停在光滑水平面上，质量为m的木块（可视为质点，）以速度滑上小车的左端，如图甲所示，最后随小车一起运动；若小车以速度向左运动，将木块轻轻放在小车左端，如图乙所示，最终也随小车一起运动。则（　　） A．两种情况中木块相对小车滑行的距离相等 B．两种情况中木块最终随小车运动的速率相等 C．两种情况中木块与小车间摩擦产生的热不相等 D．两种情况中木块相对小车滑行的时间不相等 答案A 解析ABC．根据动量守恒定律和能量关系，甲图中 乙图中 因 可知 选项A正确，BC错误； D．对滑块由动量定理，对甲 对乙 解得 可知 选项D错误。 故选A。 2. （多选）质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为M的小球以速度v0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，重力加速度为g，则（　　） A．小球以后将向左做平抛运动 B．小球将做自由落体运动 C．此过程小球对小车做的功为Mv02 D．小球在圆弧轨道上上升的最大高度为 答案BC 解析AB．由题可知，小球及小车组成的系统在水平方向动量守恒，当小球返回到小车的左端时，二者类似于弹性碰撞，由于小球与小车的质量相等，二者交换速度，故此时小球的速度为0，小车的速度为，小球在重力的作用下做自由落体运动，故A错误，B正确； C．根据动能定理可知，小球对小车所做的功，故C正确； D．设小球在圆弧轨道上升的最大高度为，此时小球与小车水平方向共速，设速度为，系统水平方向动量守恒，则有 根据能量守恒定律可得 联立解得，故D错误。 故选BC。 3. （多选）某同学想用气垫导轨模拟“人船模型”。该同学到实验室里，将一质量为M、长为L的滑块置于水平气垫导轨上（不计摩擦）并接通电源。该同学又找来一个质量为m的蜗牛置于滑块的一端，在食物的诱惑下，蜗牛从该端移动到另一端。下面说法正确的是（　　） A．只有蜗牛运动，滑块不运动 B．滑块运动的距离是L C．蜗牛运动的位移是滑块的倍 D．滑块与蜗牛运动的距离之和为L 答案CD 解析ABC．人在船上走时，由于蜗牛、滑块导轨组成的系统所受合外力为零，总动量守恒，因此系统的平均动量也守恒，设蜗牛从滑块一端到另一端的时间为t，在这段时间内滑块后退的距离为x，滑块相对地面运动的距离为L-x，选滑块后退方向为正方向，由动量守恒有 所以 则滑块相对地面运动的距离为L，选项AB错误，C正确； D．由以上数据可得蜗牛运动的位移是滑块的倍，选项D正确。 故选CD。 4. 如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，Q与水平轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　) A．P的初动能 B．P的初动能的 C．P的初动能的 D．P的初动能的 答案　B 解析　把小滑块P和Q以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒．在整个碰撞过程中，当小滑块P和Q的速度相等时，弹簧的弹性势能最大．设小滑块P的初速度为v0，两滑块的质量均为m，以v0的方向为正方向，则mv0＝2mv，得v＝，所以弹簧具有的最大弹性势能Epm＝mv02－×2mv2＝mv02＝Ek0，故B正确。 5. 如图所示，水平弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽上h高处开始自由下滑(　　) A．在以后的运动过程中，小球和槽组成的系统动量始终守恒 B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功 C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动 D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽上h高处 答案　C 解析　小球从弧形槽上下滑过程中，小球和槽组成的系统在水平方向上动量守恒，但是，当小球接触弹簧的过程中，弹簧会对小球施加一个水平向左的外力，故在此运动过程中小球和槽组成的系统动量不守恒，A错误；小球在弧形槽中下滑过程中和弧形槽之间产生了一个垂直于接触面的弹力，而且在弹力水平分力的方向上两者都发生了位移，故小球和弧形槽之间的相互作用力会做功，B错误；小球下滑时，与光滑弧形槽在水平方向上动量守恒，所以小球离开光滑弧形槽时，两者速度大小相等、方向相反，因此，小球被弹簧反弹后，速度与光滑弧形槽速度相等，且都做匀速直线运动，小球不能追上光滑弧形槽，C正确，D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $ 动量守恒定律的综合应用讲义 1、 动量守恒定律解题的一般步骤 1. 确定研究对象，判断是否满足动量守恒的条件：确定要研究的是哪些物体组成的系统，判断一下系统的外力是否为0或相对，如果系统外力为0，则系统动量守恒； 2. 确定系统的初动量和末动量，列动量守恒公式解题：用相应符号表示系统内各物体的质量、初速度和末速度，然后列式解题即可。 2、 应用动量守恒定律解题的几种模型 1. 弹簧-小球模型 光滑的水平面上，与弹簧连接的小球B静止上水平面上，小球A以速度v向右运动，如下图所示。经过一段时间后，与小球B发生碰撞。因为两个小球组成的系统合外力为0，所以整个过程，系统的动量守恒。 (1) 当两球共速时，弹簧的弹性势能达到最大 小球A接触到弹簧之后，受到弹簧水平向左的弹力，所以小球A开始减速，B受到弹簧向右的弹力，开始加速，在两者达到共速之前，A的速度较大，所以弹簧一直被压缩，当两者达到共速时，形变量达到最大，弹簧的弹性势能达到最大。 设小球A与B的质量分别为mA和mB，共速时的速度为v ́，则由动量守恒定律可知 mAv=（mA＋mB）v ́ 则 v ́=v 系统损失的动能转化为弹簧的弹性势能，则此时的弹性势能为： Epmax=mAv2－（mA＋mB）v ́2= 共速之后，两小球的运动状态会有以下几种情况： · 当mA>mB时，当弹簧恢复原长时，A球达到最小速度且不为0，B球达到最大速度 两个小球达到共速后，小球B继续加速，小球A继续减速，两球的距离逐渐增大，因为A球的质量较大，所以这个过程两者的加速度大小aA<aB，当弹簧恢复原长时，弹簧此时无弹力，A球和B球分离，此时A球的速度减到最小且不为0，而B球此时达到最大速度。 设此时A和B的速度为vA和vB，由动量守恒定律可得 mAv=mAvA＋mBvB 而此时弹簧的弹性势能为0，则 mAv2=mAvA2＋mBvB2 两式联立，得 vA=v，vB=v。 之后B球以较大的速度继续往右做匀速直线运动，A球以最小速度继续往右做匀速直线运动，两者不会再发生碰撞。 · 当mA<mB时，A球最小速度为0，A达到最小速度时，弹簧还未恢复原长，当弹簧恢复原长时，A球反向运动，B球达到最大速度 两个小球共速之后，B继续加速、A减速的过程中aA>aB，则当A减速到0时，弹簧还处于压缩状态，此时由动量守恒定律可知mAv=mBvB，vB = v； 当弹簧恢复到原长时，B的速度达到最大，此时vB ́=v，A反向运动，速度vA ́ =v。 之后，A球反向运动，B球继续往右运动。 · 当mA=mB时，弹簧恢复原长时，A球速度为0，B球达到最大速度v 当两球质量相同时，A球减速到0时弹簧刚好恢复原长，此时B球速度达到最大，为v。 之后A球静止，B球向右做匀速直线运动。 2. 滑块-木板模型 光滑的水平面上，初速度为v0的滑块B放到静止的长木板A上，如下图所示。其中，滑块的质量为m，长木板的质量为M，经过一段时间后，滑块和长木板以相同的速度v向右运动。 因为地面光滑，所以对于滑块和长木板组成的系统来说合外力为0，则系统动量守恒。 则由动量守恒定律，可得 mv0=（M+m）v 解得 v= v0 这个过程中，滑动摩擦力产生的热量为： Q=fx相 = mv02－ （M+m）v2 = 3. 小球（滑块）-曲面模型 (1) 小球从曲面滑下 光滑的槽型曲面静止在光滑水平面上，小球从槽高h处静止下落，如下图所示。 小球和曲面组成的系统合外力不为0，所以系统动量不守恒，但系统在水平方向合力为0，所以水平方向动量守恒。 假设小球的质量为m，曲面质量为M，小球下滑到曲面底部的速度为vm，方向水平向右，曲面在小球滑到底部时的速度为vM，方向水平向左。 对系统水平方向列动量守恒定律，得 mvm+MvM =0 由系统能量守恒可得 mgh=mvm 2 + MvM2 则vm= ，vM=。 (2) 小球从曲面底部向上滑 光滑水平面上，小球以初速度v0从光滑曲面底部向上滑，等小球水平上升到曲面可以达到的最高点时（不一定是曲面最高点），小球水平方向的分速度与曲面速度相同，小球竖直方向速度为0，如下图所示。 小球和曲面构成的系统在水平方向合外力为0，则由动量守恒定律，可得 mv0=（m+M）v共 系统只有重力做功，系统的机械能守恒，则 mv02 = （m+M）v共2+mgh 其中，h为小球能够上升的最大高度。 所以v共= v0，h=v02 4. 子弹-木块（小球）模型 子弹以一定初速度v0射击放在光滑水平面上静止的木块，在忽略空气阻力的情况下，子弹和木块组成的系统动量守恒，如下图所示。 那这时则分两种情况：子弹留在木块内以及子弹穿出。 (1) 子弹留在木块内 如果子弹留在木块内，最后子弹和木块一起往前运动，若子弹质量为m，木块质量为M，子弹与木块之后的速度为v共，子弹和木块组成的系统动量守恒，则 mv0=（M+m）v共 解得 v共=v0 而这个过程中，系统的摩擦力做负功，减少的动能转化成系统的内能。即 Q=fx相= mv02 － （m+M）v共2v02 (2) 子弹穿出木块 若子弹穿出木块，此时子弹的速度变为v1，木块的速度变为v2，木块的长度为L，子弹与木块间的平均阻力为f，子弹和木块组成的系统动量守恒，则 mv0 = mv1+Mv2 子弹和木块组成的系统能量守恒，则 fL= mv02－mv12－Mv22 5. 人船模型 人站在静止的船头，当人开始向船尾走，船会向反方向运动，如下图所示。忽略水的阻力，人和船组成的系统动量守恒。 若人的质量为m，船的质量为M，船长为L，则在人走到船尾的过程中，每时每刻人和船组成的系统动量都守恒，因为系统初动量为0，则 mv1+Mv2 =0 其中，v1和v2为人和船的速度，在人走到船尾的过程中，任何时刻人和船的速度都满足上述公式。 公式两边同乘t，可以得出人对地的位移x1和船对地的位移x2的大小之间的关系为： mx1+Mx2 =0 x1和x2的方向相反。 当人走到船尾时的位移与船运行的位移大小之和为船长L，则 x1－x2=L 联立，可得x1=L， x2=L。 3、 基础练习 1. 长为L、质量为M的平板小车停在光滑水平面上，质量为m的木块（可视为质点，）以速度滑上小车的左端，如图甲所示，最后随小车一起运动；若小车以速度向左运动，将木块轻轻放在小车左端，如图乙所示，最终也随小车一起运动。则（　　） A．两种情况中木块相对小车滑行的距离相等 B．两种情况中木块最终随小车运动的速率相等 C．两种情况中木块与小车间摩擦产生的热不相等 D．两种情况中木块相对小车滑行的时间不相等 2. （多选）质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为M的小球以速度v0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，重力加速度为g，则（　　） A．小球以后将向左做平抛运动 B．小球将做自由落体运动 C．此过程小球对小车做的功为Mv02 D．小球在圆弧轨道上上升的最大高度为 3. （多选）某同学想用气垫导轨模拟“人船模型”。该同学到实验室里，将一质量为M、长为L的滑块置于水平气垫导轨上（不计摩擦）并接通电源。该同学又找来一个质量为m的蜗牛置于滑块的一端，在食物的诱惑下，蜗牛从该端移动到另一端。下面说法正确的是（　　） A．只有蜗牛运动，滑块不运动 B．滑块运动的距离是L C．蜗牛运动的位移是滑块的倍 D．滑块与蜗牛运动的距离之和为L 4. 如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，Q与水平轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　) A．P的初动能 B．P的初动能的 C．P的初动能的 D．P的初动能的 5. 如图所示，水平弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽上h高处开始自由下滑(　　) A．在以后的运动过程中，小球和槽组成的系统动量始终守恒 B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功 C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动 D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽上h高处 学科网（北京）股份有限公司 $