精品解析：辽宁省抚顺市2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027年中学生能力训练 数学限时作业（一） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、分母含未知数，不是一元二次方程，不符合； B、含，两个未知数，不符合； C、只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合； D、当即时，方程为，是一元一次方程，不符合． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线为顶点式， ∴ ， ∴ 其对称轴为直线． 3. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 4. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 6. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 7. 东北超是2026年最大的群众足球赛事．有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单循环赛制需去重计数的特点，推导总场数后列方程． 【详解】解：有支球队参加单循环赛，每两支球队之间比赛1场， 每支球队需和其余支球队各赛1场，所有球队累计比赛场次为， 每场比赛被两支球队各计算1次，存在重复计数， 实际总比赛场数为， 实际总比赛场数为28场， 可列方程． 8. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 10. 二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式转化为，直接由图象进行求解． 【详解】解：将不等式转化为， 二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点， 由图象可知，的解集为或， 不等式的解集为或． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 12. 二次函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 13. 若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一次函数的性质，由一元二次方程没有实数根得，故有直线经过第一、二、四象限，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∴直线不经过第三象限， 故答案为：三． 14. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 15. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 17. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】（1） 的取值范围是且 （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则； （2）利用根与系数的关系得到，，将它们代入，解分式方程即可． 【小问1详解】 解：在方程中，，，， 方程是一元二次方程， ， 又方程有两个不相等的实数根， ， 整理得：， 解得：， 综上所述的取值范围是且； 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：，， ， ， 即， ， 经检验，是分式方程的根， 所以，当时，． 18. 某乡村草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需要设计一款底面积为的有盖长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．在纸板的四个角分别剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余纸板折叠后，盒盖与盒底全等．工作人员按要求设计了一款基础裁剪方案（如图1），并借助提出了优化裁剪方案（如图2）．两种方案中剪去的正方形边长相等，两种方案折叠得到的包装盒底面积、体积均相同，指出：按照方案2折叠后，包装盒的表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 请你解决以下问题： （1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求快递包装盒的表面积； （2）通过计算说明对方案2“表面积更小”的评价是否准确？ 【答案】（1） （2）解：如图：∵ ，，底面积等于， ∴，解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴如图：当， 时，满足条件， ∴，， ∴包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积． ∵， ∴对方案2“表面积更小”的评价准确． 【解析】 【分析】（1）如图：根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积等于长方形硬纸板的面积减去正方形面积与长方形面积的和，据此列代数式并化简即可； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积等于长方形硬纸板的面积减去正方形面积与长方形面积的和，分别计算出两种方案的表面积，然后对比即可验证． 【小问1详解】 解：如图：由题意可得， 由题意可得，，， ∴，， ∴包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积． 【小问2详解】 略 19. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的32万人增加到2026年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）按照这个增长率，预计该市2027年参加健身运动的人数将达到多少人？ 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）预计该市2027年参加健身运动的人数将达到人 【解析】 【分析】（1）设年均增长率为，根据2024年和2026年的人数列一元二次方程，舍去不符合实际的负根求解； （2）用2026年的人数乘以年均增长率)，换算单位后得到2027年的人数， 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 2024年人数为32万人，经过2年增长到2026年的50万人， ， ， ， 增长率为正数，负根不符合实际意义， ， ， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：2026年人数为50万人，年均增长率为， 2027年人数为（万人）， 万人人， 2027年参加健身运动的人数为625000人， 答：预计该市2027年参加健身运动的人数将达到625000人． 20. 抛物线：的对称轴为，且经过点． （1）求抛物线：的解析式； （2）将抛物线向左平移个单位得到抛物线，的顶点落在直线上． ①求的值； ②过点作与轴平行的直线交抛物线于点，（两点均在轴的左侧，且点在点的右侧），若，求的值． 【答案】（1） （2）①5；②5 【解析】 【分析】（1）由抛物线对称轴为可得，由抛物线经过点，可得，即可求解； （2）①由平移可得抛物线的顶点坐标为，代入，即可求解； ②由题意可得，可得，，可得，，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线：的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线：经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①∵将抛物线向左平移个单位得到抛物线， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵的顶点落在直线上 ∴， ∴． ②由①可知，抛物线解析式为， 过点作与轴平行的直线， ∴， 解得，， ∵点在点的右侧， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 生活情景 户外露营时，为了防晒遮阳，常会准备天幕，有一款隧道式穹顶天幕，它的外观轮廓近似抛物线． 设计数据 图1为天幕的平面示意图，相关信息如下： ①天幕底部跨度为3米； ②天幕最高点到底部的距离为2.1米； 建立模型 以中点为原点，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． 解决问题 （1）根据数据，求抛物线的解析式； （2）如图3，点、为上的两点，米，水平、区域是活动“非舒适区”，那么身高为米的儿童能否在“非舒适区”站立活动？ 【答案】（1） （2）身高为米的儿童不能在“非舒适区”站立活动． 【解析】 【分析】（1）由题意可知：抛物线顶点，且抛物线经过，然后运用待定系数法求解即可； （2）如图：过E作轴交抛物线于F，且点F的横坐标为1，再求得点F的纵坐标，然后与比较即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线顶点，且抛物线经过， 设抛物线的解析式为， 则，解得：， 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：点、为上的两点，米，则点E的横坐标为1， 如图：过E作轴交抛物线于F，且点F的横坐标为1， 当时，， 所以身高为米的儿童不能在“非舒适区”站立活动． 22. 如图，抛物线的顶点为点，与轴交于点和点，点在抛物线上． （1）如图1，若时，的面积为3，求的值； （2）以点为顶点的抛物线交轴于点． ①若，求点的坐标； ②直线与线段有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①或，②或者 【解析】 【分析】（1）先求出A点坐标，再根据，即可作答； （2）根据点在抛物线上、且为抛物线的顶点，用m表示出n、c，根据点、、的坐标表示出 、、，①在中，利用勾股定理可得出关于m的方程，解方程即可求解；②根据点、点的坐标，先确定，再根据待定系数法求出直线的解析式，进而求出其与x轴的交点坐标，再根据直线与线段有交点，列出不等式，解不等式；解不等式时，按照、两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵点在抛物线上， ∴，即， ∵点为抛物线的顶点， ∴，， 即， ∴，即， 当时，， ∴， 又∵，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ①若， ∴在中，， ∴， 化简：， 解：或者， 当时，，此时点与点重合，不符合题意舍去； 当时，，此时点； 当时，，此时点； 综上：点的坐标为：或 ②上述已得：，， ∴，， 若，则点、点的横坐标相等，此时直线平行于x轴， 此时直线与线段不可能有交点， ∴， 令，， 解得：， 结合图象有：，， ∵，， ∴利用待定系数法可得直线的解析式为：， 令，， 解得：， 则直线与x轴的交点坐标为：， ∵直线与线段有交点，，， ∴， 当时， 即：， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴； 当时， 即：， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴； 综上：的取值范围或者． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，求解不等式，解一元二次方程以及勾股定理等知识，问题的难点在第二问的第二小问，得出不等式后，充分利用不等式的性质解不等式是解答本题的关键． 23. 已知二次函数与二次函数的图象交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）①点在轴上，过点作垂直于轴的直线，与抛物线，分别相交于点，．若点在点的上方，求的最大值； ②若函数，其中，且函数的最大值与最小值的差为16，求的值； ③点在抛物线上，将点分别向左、向上平移个单位长度得到点，，再以和为邻边作正方形；当抛物线落在正方形内部的图象上，随的增大而增大时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②；③或 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后代入求出即可解答； （2）①首先画出二次函数与的图象，判断出，设，，表示出，然后利用二次函数的性质求解； ②首先由图象得到当时，y取得最大值9，然后判断出当时，，然后代入求解即可； ③根据题意表示出，，，，然后分情况讨论，找出临界点代入求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①列表如下： x 0 2 3 6 4 0 4 9 0 8 9 0 如图，画出二次函数与的图象， 由图象得，当时，二次函数的图象在上方， 设，， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值； ②由①中图象可得，当时，，当时，， ∵函数，其中， ∴当时，y取得最大值9， ∵函数的最大值与最小值的差为16， ∴函数的最小值为， ∵， ∴最小值在二次函数上取得， ∵当时，随x的增大而增大， ∴当时，，即， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴的值为； ③根据题意得，，，，， 如图，当点和原点重合时，； 如图，当点落在上时， ∴， 解得，； ∵抛物线落在正方形内部的图象上，随的增大而增大时， ∴， 如图，当点C运动到抛物线的顶点上，此时， ∵抛物线落在正方形内部的图象上，随的增大而增大时， ∴， 综上所述，点的横坐标的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年中学生能力训练 数学限时作业（一） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 7. 东北超是2026年最大的群众足球赛事．有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A. B. C. D. 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 12. 二次函数的最小值为__________． 13. 若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第______象限． 14. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 15. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程∶ （1）； （2）． 17. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 18. 某乡村草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需要设计一款底面积为的有盖长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．在纸板的四个角分别剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余纸板折叠后，盒盖与盒底全等．工作人员按要求设计了一款基础裁剪方案（如图1），并借助提出了优化裁剪方案（如图2）．两种方案中剪去的正方形边长相等，两种方案折叠得到的包装盒底面积、体积均相同，指出：按照方案2折叠后，包装盒的表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 请你解决以下问题： （1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求快递包装盒的表面积； （2）通过计算说明对方案2“表面积更小”的评价是否准确？ 19. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的32万人增加到2026年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）按照这个增长率，预计该市2027年参加健身运动的人数将达到多少人？ 20. 抛物线：的对称轴为，且经过点． （1）求抛物线：的解析式； （2）将抛物线向左平移个单位得到抛物线，的顶点落在直线上． ①求的值； ②过点作与轴平行的直线交抛物线于点，（两点均在轴的左侧，且点在点的右侧），若，求的值． 21. 生活情景 户外露营时，为了防晒遮阳，常会准备天幕，有一款隧道式穹顶天幕，它的外观轮廓近似抛物线． 设计数据 图1为天幕的平面示意图，相关信息如下： ①天幕底部跨度为3米； ②天幕最高点到底部的距离为2.1米； 建立模型 以中点为原点，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． 解决问题 （1）根据数据，求抛物线的解析式； （2）如图3，点、为上的两点，米，水平、区域是活动“非舒适区”，那么身高为米的儿童能否在“非舒适区”站立活动？ 22. 如图，抛物线的顶点为点，与轴交于点和点，点在抛物线上． （1）如图1，若时，的面积为3，求的值； （2）以点为顶点的抛物线交轴于点． ①若，求点的坐标； ②直线与线段有交点，请直接写出的取值范围． 23. 已知二次函数与二次函数的图象交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）①点在轴上，过点作垂直于轴的直线，与抛物线，分别相交于点，．若点在点的上方，求的最大值； ②若函数，其中，且函数的最大值与最小值的差为16，求的值； ③点在抛物线上，将点分别向左、向上平移个单位长度得到点，，再以和为邻边作正方形；当抛物线落在正方形内部的图象上，随的增大而增大时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $