专题05 二次函数（知识&考点&公式&8高频&3易错&5重难&6模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材北师大版

专题05 二次函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(10类) 考点清单(7类) 公式清单(10类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 二次函数的定义 定义：一般地，形如__________________（、、 是常数，）的函数叫做二次函数。 三个要素： 1. 等号左边是函数，右边是关于自变量 的整式 1. 的最高次数是__________ 1. 二次项系数 注意： · 时，函数变成一次函数（或常数函数），不是二次函数 · 、 可以为 0 知识点02 二次函数的三种表达式 形式 表达式 适用场景 一般式 ____________________ 已知任意三点坐标 顶点式 ____________________ 已知顶点 和另一点 交点式 ____________________ 已知与 轴两交点和另一点 三种形式可以互相转化： · 顶点式展开 一般式 · 一般式配方 顶点式 · 一般式因式分解 交点式 知识点03 二次函数的图象——抛物线 形状：二次函数的图象是一条__________。 抛物线的性质： · 轴对称图形 · 有一条对称轴 · 对称轴与抛物线的交点是顶点 · 开口方向由__________决定 知识点04 的图象和性质 性质 开口方向 __________ __________ 顶点坐标 __________ __________ 对称轴 __________（） __________（） 最值 时， 时， 增减性 时 随 增大而________； 时 随 增大而________ 时 随 增大而__________； 时 随 增大而__________ 的意义： 越大，开口越小； 越小，开口越大。 知识点05 二次函数图象的平移 平移规律：左加右减，上加下减。 平移方式 函数变化 顶点变化 向上平移 个单位 向下平移 个单位 向左平移 个单位 向右平移 个单位 顶点式 ： · 顶点坐标：____________________ · 对称轴：直线____________________ 知识点06 二次函数 的性质 对称轴公式： 顶点坐标公式： 开口方向： · 开口向上 有最__________值 · 开口向下 有最__________值 最值公式： 增减性： · ：对称轴左侧 随 增大而__________，右侧 随 增大而__________ · ：对称轴左侧 随 增大而__________，右侧 随 增大而__________ 知识点07 二次函数与坐标轴的交点 与 轴的交点： · 令 ，得 · 交点坐标： 与 轴的交点： · 令 ，得 · 交点个数由判别式 决定： 的取值 与 轴交点个数 两个交点 一个交点（顶点在 轴上） 没有交点 知识点08 a、b、c 的几何意义 系数 决定的内容 开口方向和大小（ 向上， 向下； 越大开口越小） 对称轴位置（对称轴 ，“左同右异”：、 同号对称轴在 轴左侧，异号在右侧） 与 轴交点位置（ 交 轴正半轴， 交负半轴， 过原点） 知识点09 确定二次函数的表达式 方法一：一般式法 · 已知任意三点坐标 代入 列三元一次方程组 方法二：顶点式法 · 已知顶点 和另一点 设 代入另一点求 方法三：交点式法 · 已知与 轴两交点 、 和另一点 设 代入另一点求 知识点10 二次函数的实际应用 常见题型： 1. 最大面积问题：周长固定的矩形，求面积最大时的长和宽 2. 最大利润问题：每件利润 销售量 总利润，求利润最大时的售价 3. 抛物线形问题：拱桥、投篮、喷水、隧道等 解题步骤： 1. 建立平面直角坐标系 1. 设二次函数表达式 1. 代入已知点求表达式 1. 求顶点坐标，得最值 1. 检验结果是否符合实际 考点01 二次函数的识别 考查形式：判断哪个是二次函数；含参数函数是二次函数求参数范围。 解题关键：最高次数是 2，且二次项系数 。 考点02 二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标 考查形式：给出函数解析式，求开口方向、对称轴、顶点坐标、最值。 解题方法： · 配方成顶点式 · 或直接用公式：对称轴 ，顶点坐标代入公式 考点03 二次函数的平移 考查形式：给出一个抛物线，平移后求新解析式；或逆向求平移方式。 解题关键：左加右减（对 ），上加下减（对 ）；顶点平移决定整个抛物线平移。 考点04 二次函数的增减性 考查形式：比较函数值大小；判断 随 变化情况。 解题关键：先找对称轴，再看两点在对称轴的同侧还是异侧；同侧直接用增减性，异侧用对称点转化到同侧。 考点05 确定二次函数表达式 考查形式：给出条件求函数解析式。 方法选择： · 三点 一般式 · 顶点 一点 顶点式 · 与 轴两交点 一点 交点式 考点06 二次函数与一元二次方程的关系 考查形式：已知抛物线与 轴交点情况，求参数范围；判断方程根的情况。 解题关键：抛物线与 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。 决定交点个数。 考点07 二次函数的最值应用 考查形式：最大面积、最大利润等实际问题。 解题关键：把实际问题转化为二次函数，求顶点处的最值；注意自变量的取值范围。 序号 公式/结论 说明 1 一般式：（） 2 顶点式： 顶点 3 交点式： 与 轴交于 、 4 对称轴公式： 5 顶点横坐标： 6 顶点纵坐标： 7 最值： 最小值， 最大值 8 与 轴交点： 9 判别式： 决定与 轴交点个数 10 平移规律：左加右减，上加下减 辨析01 a 的符号与开口方向 的符号 开口方向 最值 向上 最小值 向下 最大值 易错：开口向上是有最小值，不是最大值！ 辨析02 对称轴公式的符号 易错：，前面有个负号！ 例如： · 对称轴 ✅ · 常见错误： ❌（漏了 前面的负号） 辨析03 平移规律——左加右减是对 x 易错：“左加右减”是对 本身加或减，不是对整个式子。 例如： 向右平移 2 个单位 · 正确： ✅ · 错误： ❌（这是向下平移 2 个单位） 口诀：左加右减是 的事，上加下减是 的事。 辨析04 增减性的判断 易错：不看对称轴，直接说 随 增大而增大/减小。 正确做法： · 先找对称轴 · 再看在对称轴的左边还是右边 · 左边和右边的增减性可能相反 辨析05 b的符号判断——左同右异 对称轴位置 和 的符号关系 在 轴左侧 、 同号 在 轴右侧 、 异号 就是 轴 口诀：左同右异（左边同号，右边异号） 辨析06 实际应用中自变量的取值范围 易错：求出顶点最值后，不检验顶点是否在自变量的取值范围内。 例如：矩形周长 20m，求面积最大。 · 顶点在 ，在合理范围内 直接取顶点最值 · 如果题目限定长 ，那 就不在范围内，要取端点值 【题型一】二次函数的相关概念 【例1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【变式1-1】（25-26九年级上·吉林松原·期中）若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）关于x的二次函数的图像过原点，则a的值为_____． 【题型二】求二次函数解析式 【例2-1】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【例2-2】（25-26九年级上·安徽六安·期中）某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为______． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）经过，，三点的抛物线的解析式是：_________． 【题型三】二次函数的增减性 【例3-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减少，则的值等于__________． 【例3-2】（25-26九年级上·上海青浦·期中）若点，，都在抛物线图像上，比较、、的大小：____________________．（用“<”符号连接） 【变式3-1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大，的取值范围是______． 【变式3-2】（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知函数，当x__________时（填“”、“”或“”），y随x的增大而减小． 【题型四】二次函数的对称性 【例4-1】（25-26九年级上·上海金山·期中）如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 【例4-2】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，当时，x的取值范围是______．    【变式4-1】（25-26九年级上·湖北荆州·期中）若二次函数的对称轴是直线，则_________． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东云浮·期中）抛物线的对称轴是_____，顶点坐标是_____ 【题型五】二次函数的最值问题 【例5-1】（25-26九年级上·广东汕头·期中）二次函数的最小值为________． 【例5-2】（25-26九年级上·山东日照·期中）抛物线（是常数，）， ，若有最大值9，则的值为__________． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数的表达式为，当时，y的取值范围为______． 【变式5-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，当时，该函数取得最小值为3，则m的值为______． 【题型六】二次函数的平移问题 【例6-1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）将抛物线向下平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【例6-2】（25-26九年级上·天津西青·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，所得解析式是___． 【变式6-1】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 【题型七】二次函数与一次函数图像问题 【例7-1】（25-26九年级上·广西桂林·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A．B．C． D． 【例7-2】（25-26九年级上·甘肃·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【变式7-1】（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型八】二次函数的实际应用问题 【例8-1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【例8-2】（25-26九年级上·甘肃·期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价． (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 【变式8-1】（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【变式8-2】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． (1)当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲________件，每天的利润是________元； (2)设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【题型一】二次函数与x轴的交点问题 【例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 易错警示 - 二次函数 （）与 轴交点： ① 两个交点 ② 一个交点（顶点在 轴上） ③ 无交点 - 若题目说”函数”没说”二次函数”，要分 和 两种情况讨论 - 两交点间距离： - 推导：，， - 题目给交点距离时，用这个公式比解方程快 【变式1-1】（25-26九年级上·广东·期中）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高度与水平距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米． 【变式1-2】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________． 【题型二】二次函数的图象与性质问题 【例2】关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 易错警示 - 对称轴：，有负号 - 顶点坐标： - 配方法求顶点最稳妥，不容易记错公式 - ：开口向上，对称轴左侧递减，右侧递增 - ：开口向下，对称轴左侧递增，右侧递减 - 比较函数值大小：先看点离对称轴的远近，再开口方向 - 左右平移：对 本身加减，左加右减 - 上下平移：对整个式子加减，上加下减 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【变式2-2】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）下列关于抛物线的叙述，正确的是（  ） A．开口向下 B．抛物线的顶点一定在第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．与轴正半轴可以相交 【变式2-3】（25-26九年级下·陕西西安·期中）拋物线恰好经过三个象限，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．拋物线的顶点可以在第三象限 C．若，则当时，y随x的增大而增大 D．方程有两根且两根异号 【题型三】二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系 【例3】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　） A． B． C． D． 易错警示 - ：看开口，上正下负 - ：与对称轴位置相关，左同右异——对称轴在 轴左侧，、 同号；右侧则异号 - ：看与 轴交点，交于正半轴 ，负半轴 ，过原点 - 时， 看 在 轴上方还是下方 - 时， - 时， - 这类题就是把横坐标代回去，看对应点在 轴上方（）还是下方（） - 的符号：看对称轴与 的位置关系 对称轴 （ 时） - 的符号：看对称轴与 的位置关系 - 口诀：“1和-1比对称轴，移项得复合式符号” 【变式3-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 【变式3-2】（25-26九年级上·广西贺州·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图是二次函数（，，是常数，）图像的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：；；；（为实数）；当时，，其中正确的是（　 　） A． B． C． D． 【题型一】二次函数中的线段长与周长问题 【例1-1】（25-26九年级上·天津红桥·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 【例1-2】（25-26九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【变式1-1】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)判定的形状； (3)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作交于点，求的最大值及此时点P的坐标． 【变式1-2】（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点是第一象限的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)过点作于点．若，求点坐标： (3)过点作于点，过点作轴于点，交于点，当的周长取得最大值时，请求出点的坐标及周长的最大值． 【题型二】二次函数中的面积问题 【例2-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，点、在的图象上，直线与y轴交于点C，连接． (1)_________；_________； (2)求直线的函数表达式； (3)观察的图象，当时，y的取值范围_________；当时，y的取值范围_________； (4)若点P在的图象上，且在A、B之间，连结，则的面积的最大值为_________． 【例2-2】（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 【变式2-1】（25-26九年级上·天津·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点，的抛物线与轴的另一个交点为，点为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点． (1)当时，求； (2)求面积的最大值． 【题型三】二次函数中的特殊三角形存在性问题 【例3-1】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【例3-2】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，并且，动点在过，，三点的抛物线上． (1)请直接写出此抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由； (3)是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3-1】（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【题型四】二次函数中的特殊四边形存在性问题 【例4-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线经过，，三点． (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点为顶点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【例4-2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点． (1)连接，在拋物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线与x轴交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是直线上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标． 【变式4-2】（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)H是直线CB上一点，若，求点H的坐标； (4)P是轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型五】二次函数中的相似三角形存在性问题 【例5-1】如图，以为顶点的抛物线交x轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为______； (2)在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例5-2】如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若以为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标． 【变式5-1】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第三象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【题型一】顶点坐标与对称轴计算模型 【模型解读】 已知二次函数解析式，求对称轴和顶点坐标，有两种方法：配方法和公式法。配方成顶点式最直观，公式法最快。考试时根据题目特点选择。 【结论】 方法一：配方法 对称轴： 顶点： 方法二：公式法 对称轴 顶点横坐标 顶点纵坐标 快速验证： 开口向上，顶点是最低点（最小值） 开口向下，顶点是最高点（最大值） 【例1】（25-26九年级上·广东惠州·期中）关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是______． 【变式1-2】对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为___________（写顶点式）． 【题型二】二次函数平移模型 【模型解读】 抛物线平移时，形状不变（ 不变），只是位置变了。平移规律是“左加右减，上加下减”。关键是看顶点怎么平移，整个抛物线就跟着平移。 【结论】 平移规律： 上下平移：上加下减（在常数项上加减） 左右平移：左加右减（在 上加减） 例： 向上平移 个单位 向右平移 个单位 先右移 再上移 顶点平移： 原顶点 右移 上移 【例2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数关于轴对称的函数解析式为__________．原函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为__________． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 【题型三】a、b、c符号判断模型 【模型解读】 根据抛物线的位置，判断 、、 的符号，以及代数式的正负。这是中考高频题型，要记住每个系数的几何意义。 【结论】 的符号：开口向上 ，开口向下 的符号：与 轴交点在正半轴 ，负半轴 ，过原点 的符号：左同右异 - 对称轴在 轴左侧 、 同号 - 对称轴在 轴右侧 、 异号 - 对称轴就是 轴 常见代数式判断： 时的函数值 时的函数值 时的函数值 【例3】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·上海浦东·期中）如图，是二次函数图像的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若，是抛物线上两点，则；④，其中正确的有（）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式3-3】（25-26九年级上·甘肃·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【题型四】最大面积问题模型 【模型解读】 周长固定的矩形，什么时候面积最大？这是二次函数最经典的应用。设一边长为 ，用 表示另一边，面积就是 的二次函数，求顶点处的最大值。 【结论】 解题步骤： ① 设未知数 ② 用 表示另一边 ③ 列面积函数式 ④ 求顶点，得最大面积 ⑤ 验根： 的取值范围是否合理 【例4】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过A、C两点的直线，已知点A坐标为，点B坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求直线的解析式，并直接写出时x的取值范围； (3)在抛物线对称轴上取一点M，使的值最小，求点M的坐标； (4)点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值． 【变式4-1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点，另抛物线经过点. (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使的面积最大，若存在，请求出点M的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【变式4-3】如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【题型五】最大利润问题模型 【模型解读】 降价销售问题：每降价 元，销量增加若干件。设降价 元，每件利润和销售量都用 表示，总利润 每件利润 销售量，是关于 的二次函数，求最大值。 【结论】 基本等量关系： 总利润 每件利润 销售量 设降价 元： 每件利润 原每件利润 销售量 原销量 增加量 总利润 展开后是二次函数，开口向下时，顶点处利润最大。 解题步骤： ① 设降价 元 ② 表示每件利润和销售量 ③ 列总利润函数 ④ 求顶点，得最大利润和对应售价 ⑤ 验根：售价不能低于成本 【例5】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. (1)请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； (2)当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 【变式5-1】（25-26九年级上·河南安阳·期中）某商家购进了一批吉祥物玩具，进价为每个元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，吉祥物玩具每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当吉祥物玩具的销售单价定为多少元时，商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）某商品每件进价20元，当每件售价为35元时，日销售量为100件．若每件售价高于35元，则每涨1元，日销售量减少10件．若每件售价低于35元，每降1元，日销售量增加10件．物价局规定，该商品每件售价不得低于进价且不得高于50元．若每件商品售价为元（为整数）． (1)设日销售利润为元，求关于的函数表达式． (2)当售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南新乡·期中）某商场根据市民需要，销售一种防尘口罩，进货价为20元/个．经市场销售发现：售价为30元/个时，每周可售出200个，每涨价1元，就少售出5个．若供货厂家规定市场售价不得低于30元/个，且商场每周要完成不少于130个的销售任务 (1)确定周销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式； (2)确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式； (3)当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【题型六】抛物线形实际问题模型 【模型解读】 拱桥、投篮、喷水、隧道等问题，本质是建立坐标系，把实际图形转化为抛物线，求解析式后再解决问题。关键是建立合适的坐标系，让计算最简单。 【结论】 解题四步： ① 建立坐标系：顶点在原点最方便 ② 设解析式：顶点在原点设 ③ 代入已知点求 ④ 用解析式解决问题 常见坐标系选择： - 拱桥问题：顶点在原点，水面在 轴上 - 投篮问题：出手点在 轴上，篮筐在抛物线上 - 喷水问题：出水口在原点，水柱最高点在顶点 注意： ① 坐标系建在哪里，解析式就不一样 ② 求完解析式要验证是否符合实际 ③ 注意自变量的取值范围 【例6】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【变式6-1】（25-26九年级上·河北邢台·期中）在学习了二次函数的相关知识后，老师设计并带领同学们开展了一项综合实践活动，下面是某小组尚未完成的活动报告． 主题 二次函数在生活中的应用 研究内容 如图1，某校校门的截面呈抛物线形，经测量可知，该校门长，高（最高点到地面的距离） 国庆前夕，该校拟在图1所示的校门上悬挂“欢度国庆”四个大字的矩形牌匾，要求居中悬挂，悬挂点在校门上，下沿与水平地面平行． 数据收集 从牌匾设计方获知，设计的牌匾长，高． 研究过程 以水平地面所在截线为x轴，校门的对称轴为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系． 示意图       探究问题 …… 安全要求 为了通车与行人安全，牌匾底部距离水平地面应不小于． 根据上述内容，将“探究问题”展开如下，请帮助该小组解决下列问题． (1)结合“研究过程”，求校门所在抛物线的解析式； (2)按设计参数悬挂该牌匾，能否达到“安全要求”？说明理由． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）根据以下素材，探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材1 某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，已知在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米． 素材2 现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高． 问题解决： (1)确定水柱形状：根据素材1，求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)探究喷水高度：改建前，身高为1.67米的小明站在距离喷水管3米处，他会被喷到吗？ (3)确定设计方案：根据素材2，喷水管要升高多少？ 【变式6-3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 技巧 一句话要点 判断二次函数——“三要素检查法” 整式函数、最高次数是2、二次项系数 ，三要素缺一不可。 求对称轴顶点——“配方公式法” 配方成顶点式最直观，或直接用公式：对称轴 ，顶点纵坐标 。 抛物线平移——“左加右减法” 上下平移加减常数项，左右平移对 加减；左加右减是对 ，不是对整个式子。 增减性判断——“对称轴分界法” 先找对称轴，左右两侧增减性相反；开口向上左减右增，开口向下左增右减。 求解析式选形式——“三点顶点交点法” 三点用一般式，顶点+一点用顶点式，与 轴两交点+一点用交点式。 与x轴交点个数——“判别式法” 两个交点， 一个交点， 无交点；含参数别忘了 。 判断a、b、c符号——“左同右异法” 看开口， 看与 轴交点， 用左同右异（对称轴左则 、 同号，右则异号）。 函数值大小比较——“距离对称轴法” 算各点到对称轴的距离，开口向上离得越远 越大，开口向下离得越远 越小。 最大面积问题——“设边列函数法” 设一边长为 ，用 表示另一边，列面积函数，求顶点处最大值。 最大利润问题——“单利乘销量法” 设降价 元，每件利润=原利润-，销售量=原销量+增加量 ，总利润=两者相乘。 抛物线实际问题——“建系设点求法式” 建立坐标系（顶点在原点最方便），设解析式，代入已知点求系数，再解决问题。 求最值——“顶点公式法” 最值在顶点处取得， 最小值， 最大值；注意自变量取值范围。 含参数二次函数——“先a≠0再Δ法” 讨论根的情况或交点个数时，先保证二次项系数 ，再列判别式不等式。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(10类) 考点清单(7类) 公式清单(10类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 二次函数的定义 定义：一般地，形如 （、、 是常数，）的函数叫做二次函数。 三个要素： 1. 等号左边是函数，右边是关于自变量 的整式 1. 的最高次数是 2 1. 二次项系数 注意： · 时，函数变成一次函数（或常数函数），不是二次函数 · 、 可以为 0 知识点02 二次函数的三种表达式 形式 表达式 适用场景 一般式 已知任意三点坐标 顶点式 已知顶点 和另一点 交点式 已知与 轴两交点和另一点 三种形式可以互相转化： · 顶点式展开 一般式 · 一般式配方 顶点式 · 一般式因式分解 交点式 知识点03 二次函数的图象——抛物线 形状：二次函数的图象是一条抛物线。 抛物线的性质： · 轴对称图形 · 有一条对称轴 · 对称轴与抛物线的交点是顶点 · 开口方向由 决定 知识点04 的图象和性质 性质 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 轴（） 轴（） 最值 时， 时， 增减性 时 随 增大而减小； 时 随 增大而增大 时 随 增大而增大； 时 随 增大而减小 的意义： 越大，开口越小； 越小，开口越大。 知识点05 二次函数图象的平移 平移规律：左加右减，上加下减。 平移方式 函数变化 顶点变化 向上平移 个单位 向下平移 个单位 向左平移 个单位 向右平移 个单位 顶点式 ： · 顶点坐标： · 对称轴：直线 知识点06 二次函数 的性质 对称轴公式： 顶点坐标公式： 开口方向： · 开口向上 有最小值 · 开口向下 有最大值 最值公式： 增减性： · ：对称轴左侧 随 增大而减小，右侧 随 增大而增大 · ：对称轴左侧 随 增大而增大，右侧 随 增大而减小 知识点07 二次函数与坐标轴的交点 与 轴的交点： · 令 ，得 · 交点坐标： 与 轴的交点： · 令 ，得 · 交点个数由判别式 决定： 的取值 与 轴交点个数 两个交点 一个交点（顶点在 轴上） 没有交点 知识点08 a、b、c 的几何意义 系数 决定的内容 开口方向和大小（ 向上， 向下； 越大开口越小） 对称轴位置（对称轴 ，“左同右异”：、 同号对称轴在 轴左侧，异号在右侧） 与 轴交点位置（ 交 轴正半轴， 交负半轴， 过原点） 知识点09 确定二次函数的表达式 方法一：一般式法 · 已知任意三点坐标 代入 列三元一次方程组 方法二：顶点式法 · 已知顶点 和另一点 设 代入另一点求 方法三：交点式法 · 已知与 轴两交点 、 和另一点 设 代入另一点求 知识点10 二次函数的实际应用 常见题型： 1. 最大面积问题：周长固定的矩形，求面积最大时的长和宽 2. 最大利润问题：每件利润 销售量 总利润，求利润最大时的售价 3. 抛物线形问题：拱桥、投篮、喷水、隧道等 解题步骤： 1. 建立平面直角坐标系 1. 设二次函数表达式 1. 代入已知点求表达式 1. 求顶点坐标，得最值 1. 检验结果是否符合实际 考点01 二次函数的识别 考查形式：判断哪个是二次函数；含参数函数是二次函数求参数范围。 解题关键：最高次数是 2，且二次项系数 。 考点02 二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标 考查形式：给出函数解析式，求开口方向、对称轴、顶点坐标、最值。 解题方法： · 配方成顶点式 · 或直接用公式：对称轴 ，顶点坐标代入公式 考点03 二次函数的平移 考查形式：给出一个抛物线，平移后求新解析式；或逆向求平移方式。 解题关键：左加右减（对 ），上加下减（对 ）；顶点平移决定整个抛物线平移。 考点04 二次函数的增减性 考查形式：比较函数值大小；判断 随 变化情况。 解题关键：先找对称轴，再看两点在对称轴的同侧还是异侧；同侧直接用增减性，异侧用对称点转化到同侧。 考点05 确定二次函数表达式 考查形式：给出条件求函数解析式。 方法选择： · 三点 一般式 · 顶点 一点 顶点式 · 与 轴两交点 一点 交点式 考点06 二次函数与一元二次方程的关系 考查形式：已知抛物线与 轴交点情况，求参数范围；判断方程根的情况。 解题关键：抛物线与 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。 决定交点个数。 考点07 二次函数的最值应用 考查形式：最大面积、最大利润等实际问题。 解题关键：把实际问题转化为二次函数，求顶点处的最值；注意自变量的取值范围。 序号 公式/结论 说明 1 一般式：（） 2 顶点式： 顶点 3 交点式： 与 轴交于 、 4 对称轴公式： 5 顶点横坐标： 6 顶点纵坐标： 7 最值： 最小值， 最大值 8 与 轴交点： 9 判别式： 决定与 轴交点个数 10 平移规律：左加右减，上加下减 辨析01 a 的符号与开口方向 的符号 开口方向 最值 向上 最小值 向下 最大值 易错：开口向上是有最小值，不是最大值！ 辨析02 对称轴公式的符号 易错：，前面有个负号！ 例如： · 对称轴 ✅ · 常见错误： ❌（漏了 前面的负号） 辨析03 平移规律——左加右减是对 x 易错：“左加右减”是对 本身加或减，不是对整个式子。 例如： 向右平移 2 个单位 · 正确： ✅ · 错误： ❌（这是向下平移 2 个单位） 口诀：左加右减是 的事，上加下减是 的事。 辨析04 增减性的判断 易错：不看对称轴，直接说 随 增大而增大/减小。 正确做法： · 先找对称轴 · 再看在对称轴的左边还是右边 · 左边和右边的增减性可能相反 辨析05 b的符号判断——左同右异 对称轴位置 和 的符号关系 在 轴左侧 、 同号 在 轴右侧 、 异号 就是 轴 口诀：左同右异（左边同号，右边异号） 辨析06 实际应用中自变量的取值范围 易错：求出顶点最值后，不检验顶点是否在自变量的取值范围内。 例如：矩形周长 20m，求面积最大。 · 顶点在 ，在合理范围内 直接取顶点最值 · 如果题目限定长 ，那 就不在范围内，要取端点值 【题型一】二次函数的相关概念 【例1-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是关于的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【例1-2】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得且， ． 【变式1-1】（25-26九年级上·吉林松原·期中）若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此令系数即可求解． 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数， ∴． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）关于x的二次函数的图像过原点，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的定义，掌握二次函数图像上的点满足函数关系式是解题关键． 根据二次函数图像过原点，即当时，，代入函数解析式求解a的值，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）进行验证． 【详解】解：∵二次函数的图像过原点， ∴当时，，即， 解得或， 又∵函数为二次函数，∴，即， ∴． 故答案为：1． 【题型二】求二次函数解析式 【例2-1】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 【例2-2】（25-26九年级上·安徽六安·期中）某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，由对称轴为轴，可设二次函数为，由开口向下，得；代入点可得与的关系，从而写出表达式． 【详解】解：设抛物线解析式为， 抛物线开口向下， ， 又抛物线经过点， 代入得，即； 取，则， 解得， 函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）抛物线与轴交于点，过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；由抛物线与y轴交于点可求出c的值；直线过点C且平行于x轴，故可求得直线与抛物线的另一交点D的坐标，代入抛物线方程可求出b的值，从而求得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点， ∴当时，，即， 即， ∵过点的直线轴，且与抛物线的另一交点为， ∴, 即， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， 故抛物线解析式为． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）经过，，三点的抛物线的解析式是：_________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的一般式，把三点坐标代入可解得答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， ∵抛物线经过，，三点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 故答案为：． 【题型三】二次函数的增减性 【例3-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减少，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据时，随的增大而增大，当时，随的增大而减少，得到抛物线的对称轴为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：抛物线的对称轴为， ∴， ∴； 故答案为：． 【例3-2】（25-26九年级上·上海青浦·期中）若点，，都在抛物线图像上，比较、、的大小：____________________．（用“<”符号连接） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为，二次项系数， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线，开口向下的抛物线上， 点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ ． 【变式3-1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大，的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象及性质可列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握其图象及性质是解题的关键． 【变式3-2】（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知函数，当x__________时（填“”、“”或“”），y随x的增大而减小． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，求出二次函数的对称轴为，根据抛物线开口向下即可得到当时y随x的增大而减小． 【详解】∵二次函数的对称轴为，且， ∴抛物线开口向下，且当时y随x的增大而减小． 故答案为：． 【题型四】二次函数的对称性 【例4-1】（25-26九年级上·上海金山·期中）如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点为对称点，对称轴经过两点横坐标的中点，计算中点横坐标即可得到对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过的点和，且这两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 【例4-2】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，当时，x的取值范围是______．    【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为，然后问题可求解 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 又∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为； 故答案为． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖北荆州·期中）若二次函数的对称轴是直线，则_________． 【答案】 【分析】根据二次函数对称轴公式进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴公式，解题的关键在于熟知对于二次函数的对称轴为直线． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东云浮·期中）抛物线的对称轴是_____，顶点坐标是_____ 【答案】 直线 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．正确写出二次函数的顶点式是解题的关键． 由，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故答案为：直线；． 【题型五】二次函数的最值问题 【例5-1】（25-26九年级上·广东汕头·期中）二次函数的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．本题二次函数开口向上，顶点纵坐标即为最值，代入公式或者配方都可以． 【详解】， 开口向上，当时有最小值． 【例5-2】（25-26九年级上·山东日照·期中）抛物线（是常数，）， ，若有最大值9，则的值为__________． 【答案】或2 【分析】根据题意可得，则对称轴为直线，当时，则当时，，当时，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵当时，有最大值9， ∴当时，， ∴，即， ∴； 当时，则离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，有最大值9， ∴当时，， ∴，即， ∴； 综上所述，的值为或2． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数的表达式为，当时，y的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了的图象与性质，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值为顶点处的函数值，最大值为端点处的函数值． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数的图象的开口向上， 对称轴为， 在内， 当时，，为最小值． 当时，； 当时，． ∴在范围内，有最大值． ∴的取值范围为． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，当时，该函数取得最小值为3，则m的值为______． 【答案】3或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的性质，分两种情况讨论：当对称轴在区间内时，最小值为顶点纵坐标；当对称轴不在区间内时，最小值为边界值．分别求解方程得到m的值． 【详解】解：二次函数为 ，开口向上，对称轴为 ， 分以下两种情况讨论： 情况一：当时，对称轴在区间内，最小值在顶点处，顶点纵坐标为 ， 因最小值为3，则，满足； 情况二：当时，对称轴不在区间内，函数在上递减，最小值在处，代入得， 设最小值为3，则，即， 解得或， 其中 不满足，舍去；满足． 综上，或． 故答案为：3或． 【题型六】二次函数的平移问题 【例6-1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）将抛物线向下平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【分析】解题思路是先确定原抛物线的顶点坐标，再根据抛物线 “向下平移则顶点纵坐标相应减少” 的规律，计算平移后的顶点坐标．本题考查抛物线的平移规律与顶点坐标，涉及的知识点是抛物线的顶点式与平移性质．解题中用到的方法是顶点式平移法，即通过顶点式分析原顶点，结合 “上加下减” 的平移规则确定新顶点．解题关键是掌握抛物线平移时顶点坐标的变化规律，避免混淆 “上下平移” 对应的坐标轴（误改横坐标）．易错点是将平移方向对应的坐标轴搞反，导致顶点纵坐标计算错误． 【详解】原抛物线 的顶点坐标为 ，向下平移3个单位后，顶点纵坐标减少3，横坐标不变，因此新顶点坐标为 ． 故答案为 ． 【例6-2】（25-26九年级上·天津西青·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，所得解析式是___． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握图象的平移法则是关键．根据抛物线的平移法则解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到． 故答案为：． 【变式6-1】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则计算得到新抛物线的解析式． 【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式，， ∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴根据平移规则，对自变量左移加，对常数项上移加， 可得． 【题型七】二次函数与一次函数图像问题 【例7-1】（25-26九年级上·广西桂林·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符号，判断是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 【例7-2】（25-26九年级上·甘肃·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 【变式7-1】（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，关键是m的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为直线，与y轴的交点坐标为，据此解答即可． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在y轴右侧与图象符合，故B选项正确； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴右侧，与图象不相符，故D选项错误． 故选：B． 【题型八】二次函数的实际应用问题 【例8-1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，，； (2)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据题意得到，则，再由建立与之间的函数解析式，然后根据解不等式组求解自变量的取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 又，即 ， ； （2）解： ， 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线的开口向下，自变量的取值范围为，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，取最大值， 当时，， 答：当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【例8-2】（25-26九年级上·甘肃·期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价． (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 【答案】(1)A售价每件60元，B售价每件72元 (2) (3)；A类特产每件降价2元时，每天销售的总利润最大，最大利润为1840元 【分析】（1）设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，根据购买4件A类特产和7件B类特产需744元建立方程求解即可； （2）根据每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）列出对应的函数关系式即可； （3）列出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元， 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价为（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）解：由题意得， ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴， ∴． （3）解：由题意得， ， ， ∴当时，w有最大值1840． ∴A类特产每件降价2元时，每天销售的总利润最大，最大利润为1840元． 【变式8-1】（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，能安全通过此桥 【分析】（1 ）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，根据抛物线的图象和性质得到点D、B的坐标，由待定系数法求出其解即可； （2 ）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． 【详解】（1）解：设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米，，， 则，， 代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：能，理由如下， 由题意得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米， ， 该船的速度不变，能安全通过此桥． 【变式8-2】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． (1)当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲________件，每天的利润是________元； (2)设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)80，1600； (2)①（且为整数）；②当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 【分析】（1）根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，列式计算可得平均每天售出的马甲件数；根据利润单件利润销售数量列式计算即可； （2）①根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，可列出的代数式表示，根据实际情况可知的取值范围； ②根据利润单件利润销售数量，用含x的代数式表示利润，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：当每件马甲售价为60元时， 平均每天售出马甲（件）， 每天的利润是（元）； （2）解：①根据题意得， 即， ∵售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件， ∴售价上涨不得超过元， 即， ∵且为整数， ∴， 即（且为整数）； ②根据题意得 ， ∴当时，有最大值，最大值为1800， 即当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 【题型一】二次函数与x轴的交点问题 【例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，先求出抛物线的对称轴，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，进而求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴方程，即的解是，； 故选A． 易错警示 - 二次函数 （）与 轴交点： ① 两个交点 ② 一个交点（顶点在 轴上） ③ 无交点 - 若题目说”函数”没说”二次函数”，要分 和 两种情况讨论 - 两交点间距离： - 推导：，， - 题目给交点距离时，用这个公式比解方程快 【变式1-1】（25-26九年级上·广东·期中）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高度与水平距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米． 【答案】10 【分析】令，得到一元二次方程，解方程，根据实际意义得到最终答案． 【详解】解：令，得， 整理得， 解得，（舍）． 所以该运动员此次投掷铅球的成绩是10米． 【变式1-2】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，令，解方程即可求解． 【详解】令，得， 解得或 ∴二次函数的图象与轴的交点坐标是和． 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为___________． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标 通过求解一元二次方程得到抛物线与x轴的交点坐标，再计算两点之间的距离． 【详解】解：令，得方程， 因式分解得， 解得，， 即抛物线与x轴的交点为和， ∴弦长为：． 故答案为：． 【题型二】二次函数的图象与性质问题 【例2】关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 易错警示 - 对称轴：，有负号 - 顶点坐标： - 配方法求顶点最稳妥，不容易记错公式 - ：开口向上，对称轴左侧递减，右侧递增 - ：开口向下，对称轴左侧递增，右侧递减 - 比较函数值大小：先看点离对称轴的远近，再开口方向 - 左右平移：对 本身加减，左加右减 - 上下平移：对整个式子加减，上加下减 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 【变式2-2】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）下列关于抛物线的叙述，正确的是（  ） A．开口向下 B．抛物线的顶点一定在第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．与轴正半轴可以相交 【答案】B 【分析】利用二次函数的基本性质，通过配方得到抛物线的顶点坐标和对称轴，利用到二次函数开口方向，增减性，与坐标轴交点坐标，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：先对抛物线配方得： ∵ ∴抛物线开口向上，A错误． 抛物线顶点坐标为 ∵， ∴ 顶点横坐标小于0，纵坐标小于0，因此顶点在第三象限，B正确． ∵抛物线对称轴为，开口向上， ∴时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大，C错误． 令，得，抛物线与轴交于，交点在轴负半轴，D错误． 综上，答案选B． 【变式2-3】（25-26九年级下·陕西西安·期中）拋物线恰好经过三个象限，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．拋物线的顶点可以在第三象限 C．若，则当时，y随x的增大而增大 D．方程有两根且两根异号 【答案】D 【分析】抛物线恒过点，必经过第三、四象限，结合“恰好经过三个象限”的限制，分情况讨论对称轴位置、顶点分布，再结合根的判别式与根与系数的关系，对各选项逐一判断． 【详解】解：抛物线过点，即经过y轴的负半轴，则至少要经过第三、四两个象限，如果时，抛物线开口向上延伸同时要经过第一、二象限，这样共经过四个象限，与题设矛盾； 故只有，顶点在x轴的上方，抛物线与x轴有两个交点，且对称轴在y轴的左侧与右侧两种情况．（如图） A． 当对称轴在y轴右侧时，，可得a与b异号，则，此选项不符合题意； B． 如下图，若抛物线的顶点在第三象限，则只经过第三、四两个象限，与题设矛盾，故顶点不可能在第三象限，此选项不符合题意； C．若，对称轴，如下图： 在时，随增大而减小，此选项不符合题意； D．方程的判别式， ∵， ∴， ∴． ∴方程有两个不相同的实数根． 又由根与系数关系可得：方程的两根，两根异号，此选项符合题意． 【题型三】二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系 【例3】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．根据抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，对称轴为直线，可以判断，，的值，进而说明①；再根据对称轴，解答②；将点代入抛物线得，解答③；接下来结合时，，解答④；然后求出抛物线与轴的另一个交点为，根据抛物线的性质解答⑤即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ， ，则①不正确； ， ，则②正确； 将点代入抛物线得，则③正确； 当时，，即，则④正确； 抛物线与轴交于点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当或时，，则⑤正确． 正确的有个． 故选：D． 易错警示 - ：看开口，上正下负 - ：与对称轴位置相关，左同右异——对称轴在 轴左侧，、 同号；右侧则异号 - ：看与 轴交点，交于正半轴 ，负半轴 ，过原点 - 时， 看 在 轴上方还是下方 - 时， - 时， - 这类题就是把横坐标代回去，看对应点在 轴上方（）还是下方（） - 的符号：看对称轴与 的位置关系 对称轴 （ 时） - 的符号：看对称轴与 的位置关系 - 口诀：“1和-1比对称轴，移项得复合式符号” 【变式3-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象的性质等知识点，能熟练利用二次函数的性质进行分析、判断是解题的关键． ①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断； 【详解】解：①由图象得：，， ， ， ，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ， ，即，即②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴， ∴， ∴（m为任意实数），故③错误； ④∵，， ，， ∴ ， ， ， ∴，故④正确． 故正确的结论有：①④． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·广西贺州·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． （1）根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解； （2）根据图象过点得，再结合对称轴得来求解； （3）利用当时，来求解； （4）利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：（1）由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故（1）正确，符合题意； （2）∵对称轴为直线， 即， ∴，故（2）正确，符合题意； （3）∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故（3）错误，不符合题意； （4）∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， 故（4）正确，符合题意， 综上所述，符合题意的有：（1）、（2）、（4），共3个． 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图是二次函数（，，是常数，）图像的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：；；；（为实数）；当时，，其中正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列不等式． 由抛物线对称轴的位置以及与轴交点位置可得结论； 由抛物线对称轴可得结论； 当时，列出不等式即可得结论； 根据在对称轴处取得最值判断即可； 根据图像与轴的交点得到结论即可． 【详解】解：抛物线的对称轴在轴右侧，开口向下， ∴，，即， ， 抛物线与轴的交点在轴正半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，故正确； ∵与的函数值相等， ∴当时，， ，故错误； 根据图示知，当时，有最大值， 当时，有， 所以（m为实数），故正确； 如图，当时，不一定大于， 故错误， 综上，正确的是①②④， 故选：A． 【题型一】二次函数中的线段长与周长问题 【例1-1】（25-26九年级上·天津红桥·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，进行列方程，再解出方程，得，理解题意，得，解得，，即可作答． （2）理解题意，得，再求出直线的解析式，整理得，然后化为顶点式，得，运用二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， 解得， ∴， 当时，， ∴， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：依题意，如图所示： 点在抛物线上， ， 当时，， 点的坐标为．， 又， 设直线的解析式为， ， 解得， 可得直线的解析式为， 轴， 点的坐标为， 点在直线的上方， ， 则， ∵， 当时，的最大值，最大值为． 【例1-2】（25-26九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质． （1）利用待定系数法求得抛物线的函数表达式，化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴点，关于抛物线对称轴对称， ∴由抛物线的对称性得， ， 当时，，则点的纵坐标为， 矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)判定的形状； (3)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作交于点，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3)， 【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法即可解答； （2）解直角三角形，求出，，进而求出，即可得出结论； （3）求出直线BC的解析式为，求出，设，则，得到，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，，得 又抛物线过点 设抛物线表达式 得 抛物线的解析式为； （2）解：在中， 在中， 为直角三角形； （3）解：设直线BC的解析式为，则， 解得， 直线BC的解析式为 ， ， ， 设，则 ， ∴当时，有最大值为，此时点P坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及解析式，二次函数的性质，解直角三角形，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 【变式1-2】（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点是第一象限的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)过点作于点．若，求点坐标： (3)过点作于点，过点作轴于点，交于点，当的周长取得最大值时，请求出点的坐标及周长的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)周长的最大值为，点D的坐标为 【分析】（1）把两点代入抛物线，利用待定系数法求出，然后将代入求出； （2）连接，证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，根据角之间的关系推出，求出点C和D的纵坐标都等于3，把代入抛物线解析式即可求出； （3）由轴，得出，证明为等腰直角三角形，因为△DEF的周长等于，有，求出直线的解析式为，设点D的坐标为，，则，利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：把两点代入抛物线 则， 解得． ∴抛物线的解析式为 ∴当时， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形，． ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即． ∴点C和D的纵坐标都等于3． 把代入抛物线解析式得，， 解得（舍去），， ∴； （3）解：如图所示， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴ 则的周长等于． ∵， ∴设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为． 设点D的坐标为，， 则． ∴当时，取得最大值， ∴此时的周长取得最大值为 ∴将代入得，点D的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数、待定系数求解解析式、等腰直角形的判定及性质，解题的关键是利用属性结合的思想进行求解． 【题型二】二次函数中的面积问题 【例2-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，点、在的图象上，直线与y轴交于点C，连接． (1)_________；_________； (2)求直线的函数表达式； (3)观察的图象，当时，y的取值范围_________；当时，y的取值范围_________； (4)若点P在的图象上，且在A、B之间，连结，则的面积的最大值为_________． 【答案】(1)，4 (2) (3)； (4) 【分析】（1）将代入求a的值，再求出时对应的函数值即可； （2）利用待定系数法求解； （3）观察函数图象，根据函数图象的增减性求解； （4）设点P的坐标为，作轴交直线于点Q，用含m的式子表示出，再根据用含m的式子表示出的面积，利用二次函数的最值求解． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 在上， ； （2）解：设直线的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：观察的图象，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，y的值先减小，后增大，取值范围为； 当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 可得当时，y的取值范围为：； （4）解：设点P的坐标为，其中， 作轴交直线于点Q，则点Q的坐标为，如图： ， ， 二次项系数， 时，取最大值，最大值为． 【例2-2】（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1), (2)3 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． （2）解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2-1】（25-26九年级上·天津·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 【答案】(1) (2)开口向上，顶点坐标， 对称轴为直线 (3)27 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴为直线， （3）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，， ∴的面积． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点，的抛物线与轴的另一个交点为，点为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点． (1)当时，求； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点、坐标，确定抛物线的解析式为，根据平行线的性质得点的纵坐标，进而求出点的坐标及的长，再利用相似三角形的判定和性质求解即可； （2）如图，过作轴交于点，设，得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，得；当时，得， ∴，， 又∵过点，的抛物线与轴的另一个交点为， ∴设抛物线解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴设抛物线解析式为， ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标相同都是， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，过作轴交于点，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法确定二次函数解析式及二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，掌握相似三角形的判定和性质及二次函数的性质是解题的关键． 【题型三】二次函数中的特殊三角形存在性问题 【例3-1】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【例3-2】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，并且，动点在过，，三点的抛物线上． (1)请直接写出此抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由； (3)是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论与方程思想是解题的关键． （1）求出点、的坐标，设抛物线的解析式是，将点，，的坐标代入解方程即可； （2）存在，根据题意作与轴交于点，证明，点为过、两点的一次函数与抛物线的交点；进而求解； （3）设点的坐标为，当是以为直角边的直角三角形时，可分两种情况；当点为直角顶点时：当点在上方的抛物线上时，当点在下方的抛物线上时，共四种情况，讨论即可求解； 【详解】（1）解：点的坐标是， ， ， ，， ∴点的坐标是，点的坐标是， 设抛物线的表达式是， 由题意得， 解得， ∴抛物线的表达式是； （2）解：在抛物线上存在点，使得； 理由如下： ， ， ， 若点在上方的抛物线上， ，， 此时与上方的抛物线没有交点， 故点在上方的抛物线上时不满足题意； 当点在下方的抛物线上时，如图，与轴交于点， ， ， 即， 在与中， ， ， ，， 过、两点的一次函数为，点为过、两点的一次函数与抛物线的交点； ， 即， 解得：，， 当时，； ； （3）解：存在． 设点的坐标为， ，， ，，． 当是以为直角边的直角三角形时，可分两种情况： ①如图，如果点为直角顶点，那么， 即， 整理得， 解得，（不合题意舍去）， 则点的坐标为； ②如图，如果点为直角顶点， 那么， 即， 整理得， 解得，（不合题意舍去）， 则点的坐标为； ③当点为直角顶点时：当点在上方的抛物线上时，如图，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，交的延长线于点， ， ， ， 设， ，， ，， ， 即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 将代入得， 故； ④当点在下方的抛物线上时，如图，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作的垂线，交的延长线于点， ， ， ， 设，， ，， ，， 即， ， ， ， 解得 (舍去)，， 将代入 得：， ； 综上所述，的坐标是或或或； 【变式3-1】（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或或或 【分析】（1）将、坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）连接交对称轴直线于点，则点即为所求，待定系数法求直线的解析式，进而令，即可求解； （3）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)8； (3)，   ， ， 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求出a、c的值，即可得出结果； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交于点H，求出，根据，即可； （3）先求出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，如图所示： 设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为8， 此时． （3）解：抛物线整理得：， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∴，，， 当时，则， 解得：，， ∴此时点Q的坐标为：，   ； 当时，则， 解得：， ∴点的坐标为：； 当时，， 解得：，， 当时，P、Q重合，不符合题意舍去， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，   ， ，． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【题型四】二次函数中的特殊四边形存在性问题 【例4-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线经过，，三点． (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点为顶点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)这条抛物线的解析式为 (2) (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，两点之间，直线最短，平行四边形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据两点之间，直线最短，找出点点P的位置，求出直线的解析式即可得到答案； （3）设，，根据平行四边形的性质，分①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，，三点， 解得 这条抛物线的解析式为． （2）解：连接交抛物线的对称轴于点P，此时的值最小． ， 抛物线的对称轴为直线． 设的直线解析式为， ， 解得 ． 当时，． ； （3）解：答：存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形． 解：设，， ①当为平行四边形的对角线时，． 解得或（舍去） ． ②当为平行四边形的对角线时，点M，N的横坐标差是1． 解得或 或． ③当为平行四边形的对角线时，． 解得或（舍去） ． 综上所述：M点坐标为或或或． 【例4-2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点． (1)连接，在拋物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (2)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标． 【答案】(1)存在， (2)点M横坐标为2或或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，最短路径问题，平行四边形的性质． （1）用待定系数法求抛物线的函数解析式，可得抛物线的对称轴．当三点共线时，的周长有最小值，把代入抛物线的解析式中，求得点C的坐标，直线与对称轴的交点为P点，设直线的解析式为，把点B，点C的坐标代入，求解即可得到直线的解析式，根据点P在直线上，也在对称轴上，即可求出点P的坐标； （2）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出M点的横坐标即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下： 将，代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为，对称轴为； ∵A、B点关于直线对称， ∴， ∴， ∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值， 把代入中，得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入中，得， ∴点P的坐标为． （2）∵点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点， 设，，， 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍）或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍）或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述：M点横坐标为2或或． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线与x轴交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是直线上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴的交点坐标，运用待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质． （1）先求出点A，B的坐标，再代入二次函数解析式，求出a，k的值即可； （2）求得直线的解析式为，设点M的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，），分点D在直线上方和下方两种情况，根据平行四边形的性质列方程求出m的值即可解决问题 【详解】（1）对于直线，令则； 令则，解得， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）对于，令，则， 解得，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，）． ∴或． ∵以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，， ∴． ∴或． 由，得 ，． 由，得， ∴方程无解． ∴点M的坐标为或． 【变式4-2】（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)H是直线CB上一点，若，求点H的坐标； (4)P是轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的取值范围为 (3)点H的坐标为或 (4)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）先求得A、B、C三点的坐标，然后代入求得a、b、c的值即可解答； （2）根据对称轴直线求出对称轴，即可得出最小值，再分别求出和 时的函数值，即可确定n取值范围； （3）先求出点E、F的坐标，然后再运用勾股定理逆定理说明，设，再分H在上方和下方两种情况，分别根据三角形面积和中点的性质进行解答即可； （4）先求出的长，然后当为菱形一边和对角线两种情况分别画图，再结合菱形的性质、勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴交于点B、点C, ∴,， ∵直线与x轴交于点A， ∴， ∵抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵点在抛物线上，， ∴当时，抛物线有最小值，即n有最小值； ∵当时，；当时，，即n有最大值14． ∴的取值范围为． （3）解：∵直线与y轴交于点E， ∴， ∵，即得：， ∴， ∴，，， ∴ ∴． 设． ①当H在上方， ∵， ∴， ∴，即F是的中点， ∴，解得：， ∴； ②当H在下方， ∵， ∴， ∴， 设点为的中点，如图，即C是的中点， ∴，解得：， ∴． ∵， ∴设点，由为的中点, ∴，解得：, ∴； 综上，点H的坐标为或． （4）解：存在一点Q使存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵,, ∴， ①当为菱形一边时，则， ∴， 即， ②当为菱形对角线时，则， 设，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键． 【题型五】二次函数中的相似三角形存在性问题 【例5-1】如图，以为顶点的抛物线交x轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为______； (2)在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）求出点坐标为，点坐标为利用待定系数法求抛物线解析式即可． （2）分类讨论点的坐标，根据三角形相似对应边成比例计算边长，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点坐标为，点坐标为， ∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在点使得以，，为顶点的三角形与相似， 由（1）可知， ∴， ∴点的坐标为， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，，， ，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， 如解图，连接， 把代入， 解得或， ∴点的坐标为， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点和点重合时， ∴点的坐标为． 过点作，交轴于点，如图， 则为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【例5-2】如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若以为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点，点或点，点 【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式即可； （2）根据题意，可分为两种情况进行分析：当时；当时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：将和代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接， 当时， ∵轴，， ∴点纵坐标是，横坐标， 即， 解得， ∴点的坐标为； ∵轴， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为：， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当时， 此时， 过点作于点， ∴， ∴， 设点的坐标为，则点坐标为， 则， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为， 综上，点的坐标为，点的坐标为或点坐标为，点坐标为． 【变式5-1】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第三象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，此时的值为或或或 【分析】（1）点A、B的坐标分别为，则，求出点A、B的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则点，则，即可求解； （3）以点O，D，E为顶点的三角形与相似，则或，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设则 ∴点A、B的坐标分别为， 又抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴点A、B的坐标分别为， 代入，得：， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，当时， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点，则点， ∴ ∴ ∵ ∴当时，线段的长度最大， 此时，点的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵点， ∴ ∵， ∴ 当时，， 即， 整理得， 解得，，； 当时，， 即， 整理得， 解得，，； 综上所述，存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，此时的值为或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【题型一】顶点坐标与对称轴计算模型 【模型解读】 已知二次函数解析式，求对称轴和顶点坐标，有两种方法：配方法和公式法。配方成顶点式最直观，公式法最快。考试时根据题目特点选择。 【结论】 方法一：配方法 对称轴： 顶点： 方法二：公式法 对称轴 顶点横坐标 顶点纵坐标 快速验证： 开口向上，顶点是最低点（最小值） 开口向下，顶点是最高点（最大值） 【例1】（25-26九年级上·广东惠州·期中）关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象性质． 根据二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，逐项判定即可． 【详解】解：A．，二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意； B．∵，抛物线与轴没有交点，故此选项符合题意； C．，顶点坐标为，故此选项不符合题意； D．抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先对抛物线解析式配方得到顶点坐标，再根据第二象限内点的坐标特征列不等式组，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， ∴， 解不等式组得，即常数的取值范围是． 【变式1-2】对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】在二次函数中， ∵， ∴图像开口向下，故A错误； 令，则， ∴图像不经过原点，故B错误； 二次函数的对称轴为直线，故C错误； 二次函数的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为___________（写顶点式）． 【答案】 【分析】利用二次函数图象平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新解析式． 【详解】解：原二次函数解析式为， 将图象向左平移3个单位长度，根据平移规律对自变量左加，得到， 即再将图象向上平移2个单位长度，根据平移规律对常数项上加，得到， 整理得新二次函数解析式为． 【题型二】二次函数平移模型 【模型解读】 抛物线平移时，形状不变（ 不变），只是位置变了。平移规律是“左加右减，上加下减”。关键是看顶点怎么平移，整个抛物线就跟着平移。 【结论】 平移规律： 上下平移：上加下减（在常数项上加减） 左右平移：左加右减（在 上加减） 例： 向上平移 个单位 向右平移 个单位 先右移 再上移 顶点平移： 原顶点 右移 上移 【例2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线， ∵抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． 【变式2-1】（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数关于轴对称的函数解析式为__________．原函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为__________． 【答案】 【分析】设点是二次函数关于轴对称的函数图象上一点，则点是二次函数图象上一点，求出n关于m的关系式即可得到第一空的答案；根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得第二空的答案． 【详解】解：设点是二次函数关于轴对称的函数图象上一点，则点是二次函数图象上一点， ∴， ∴， ∴二次函数关于轴对称的函数解析式为； 二次函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为，即． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移8个单位，则，即． 【变式2-3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 【答案】 【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，然后根据平移规则：“左加右减，上加下减”，左右平移针对自变量x操作，上下平移针对函数整体值操作，即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】解：对变形： 向上平移3个单位长度，给函数整体加3，得：； 再向右平移2个单位长度，将自变量x替换为，即． 所以，平移后的二次函数解析式为． 【题型三】a、b、c符号判断模型 【模型解读】 根据抛物线的位置，判断 、、 的符号，以及代数式的正负。这是中考高频题型，要记住每个系数的几何意义。 【结论】 的符号：开口向上 ，开口向下 的符号：与 轴交点在正半轴 ，负半轴 ，过原点 的符号：左同右异 - 对称轴在 轴左侧 、 同号 - 对称轴在 轴右侧 、 异号 - 对称轴就是 轴 常见代数式判断： 时的函数值 时的函数值 时的函数值 【例3】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点判断，，符号；利用抛物线对称性，把的函数值转移到；再将代入的函数不等式，化简判断的正负． 【详解】A：抛物线开口向下；对称轴为直线， 因为，所以； 因为抛物线与轴交于正半轴，所以； 所以，A正确． B：利用对称性：对称轴为直线，与关于对称． 从图像：时，， 所以时函数值同样小于，所以时，，正确． C：由对称轴，得，移项：，C正确． D：时，， 又， 代入：，D错误． 【点睛】二次函数图像题的关键：①开口定；对称轴判断关系式；轴交点定；②抛物线上关于对称轴对称的两点，函数值相等；③把用替换，可化简代数式，判断式子正负． 【变式3-1】（25-26九年级上·上海浦东·期中）如图，是二次函数图像的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若，是抛物线上两点，则；④，其中正确的有（）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图象确定的符号及对称轴，结合二次函数性质逐项判断． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则．对称轴为直线，则，即．抛物线与轴交于负半轴，则． ，故①正确． ， ，故②正确． 对称轴为直线， 点与点关于直线对称， ，故③正确． 抛物线过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一交点坐标为． 当时，， 当时，，故④错误． 综上所述，正确的有①②③，共3个． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】先得出，，再得出，由此可得①错误；得出二次函数的最大值为，则对于任意实数，都有，由此可得②正确；根据函数图象可得当时，，由此可得③正确；根据二次函数的对称性即可得④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有，即，则结论②正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ∴， 又∵， ∴，则结论③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴点、关于这个二次函数的对称轴对称， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，正确的结论有②③． 【变式3-3】（25-26九年级上·甘肃·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，，据此可得选项A错误；根据二次函数的对称轴即可得选项B错误；得出和关于对称轴直线对称，据此可得选项C正确；根据二次函数的增减性可得选项D错误． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，则选项A错误； ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则选项B错误； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴直线对称， ∴， ∴，则选项C正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等；且当时，随的增大而减小， ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上， 又∵点在抛物线上，且， ∴，则选项D错误． 【题型四】最大面积问题模型 【模型解读】 周长固定的矩形，什么时候面积最大？这是二次函数最经典的应用。设一边长为 ，用 表示另一边，面积就是 的二次函数，求顶点处的最大值。 【结论】 解题步骤： ① 设未知数 ② 用 表示另一边 ③ 列面积函数式 ④ 求顶点，得最大面积 ⑤ 验根： 的取值范围是否合理 【例4】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过A、C两点的直线，已知点A坐标为，点B坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求直线的解析式，并直接写出时x的取值范围； (3)在抛物线对称轴上取一点M，使的值最小，求点M的坐标； (4)点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值． 【答案】(1) (2)；或 (3) (4)；面积的最大值 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式，然后根据函数图象直接得出时x的取值范围即可； （3）设抛物线的对称轴与直线交于点M，连接，根据轴对称的性质得出，从而得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出点M的坐标即可； （4）过作y轴的平行线交于H，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将和分别代入中，得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 根据函数图象可得：时x的取值范围是或； （3）解：设抛物线的对称轴与直线交于点M，连接，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ∵点A、B关于抛物线的对称轴，直线对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 把代入得：， ∴点M的坐标为． （4）解：过作y轴的平行线交于H，如图所示： 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为． 【变式4-1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点，另抛物线经过点. (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使的面积最大，若存在，请求出点M的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在M点的坐标为，的面积最大为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，分割法求三角形的面积，将三角形的面积的最大值转化为二次函数求最值问题，即可得出结果. 【详解】（1）解：将A点坐标，点，点，代入二次函数中， 可得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：存在； 令，即， 解得． ∴，又． 设直线的解析式为，把代入得，解得， 所以直线的解析式为． 过点M作轴于F，交于点E． 设，则． ∴． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时，M点的坐标为． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)的长为6米 (2)当的长为5米时，矩形花圃的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意得，为，利用长方形的面积公式列方程，求出的值，再结合题意求出符合的值； （2）根据题意得，再配方变为顶点式，根据的取值范围和二次函数的性质求得围成的花圃的最大面积． 【详解】（1）解：根据题意得，为， ∴ 解得，， 又∵墙的最大可用长度为， ∴，解得， 舍去， ； （2）解：根据题意得， ， ， 有最大值，且当时，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， ∴． 【变式4-3】如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 【题型五】最大利润问题模型 【模型解读】 降价销售问题：每降价 元，销量增加若干件。设降价 元，每件利润和销售量都用 表示，总利润 每件利润 销售量，是关于 的二次函数，求最大值。 【结论】 基本等量关系： 总利润 每件利润 销售量 设降价 元： 每件利润 原每件利润 销售量 原销量 增加量 总利润 展开后是二次函数，开口向下时，顶点处利润最大。 解题步骤： ① 设降价 元 ② 表示每件利润和销售量 ③ 列总利润函数 ④ 求顶点，得最大利润和对应售价 ⑤ 验根：售价不能低于成本 【例5】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. (1)请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； (2)当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，月销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据等量关系列出函数关系式； （2）先列出二次函数解析式，配成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ． （2）解：根据题意得： ， 对称轴， ∴在对称轴左侧，w随x的增大而增大 又 ∴当时，月销售利润最大，最大利润为元． 【变式5-1】（25-26九年级上·河南安阳·期中）某商家购进了一批吉祥物玩具，进价为每个元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，吉祥物玩具每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当吉祥物玩具的销售单价定为多少元时，商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，商家每天获得的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）通过待定系数法解得与的函数关系式，结合题意得到自变量的取值范围； （2）设商家每天获得的利润为元，列出关于的函数关系式，利用二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图象可知，函数过点和， 将两点代入解析式得方程组： ， 解得， ． 根据题意，销售单价满足不低于成本价且不高于成本价的倍， ． 综上，． （2）解：设商家每天获得的利润为元，由每件玩具的利润为元，每天销售量为个，得 展开整理得． 这是一个二次函数，其中，开口向下，顶点处取得最大值． ，在的范围内，符合条件， ． 当销售单价定为元时，商家每天获得的利润最大，最大利润为元． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）某商品每件进价20元，当每件售价为35元时，日销售量为100件．若每件售价高于35元，则每涨1元，日销售量减少10件．若每件售价低于35元，每降1元，日销售量增加10件．物价局规定，该商品每件售价不得低于进价且不得高于50元．若每件商品售价为元（为整数）． (1)设日销售利润为元，求关于的函数表达式． (2)当售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)当且为整数时，；当且为整数时，． (2)售价定为32元或33元时，日销售利润最大，最大利润为1560元． 【分析】（1）分售价不高于35元、高于35元两种情况计算日销售量，结合利润公式列函数表达式，注意销量非负的实际限制． （2）根据二次函数的开口方向与对称轴，结合自变量的整数限制和取值范围，求利润最大值． 【详解】（1）解：每件商品利润为元． ① 当且为整数时， 日销售量为件， ． ② 当且为整数时， 日销售量为 件． ∵ 日销售量不能为负， ∴ 当 ，即时， ； 当时，日销售量为0，． 综上所述， 当且为整数时， ； 当且为整数时，． （2）解：当时，． 当时， ， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵ 为整数，且， ∴ 当或时，取最大值． 代入计算得． ∴ 日销售利润最大值为1560元，对应售价为32元或33元． 答：当售价定为32元或33元时，日销售利润最大，最大利润为1560元． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南新乡·期中）某商场根据市民需要，销售一种防尘口罩，进货价为20元/个．经市场销售发现：售价为30元/个时，每周可售出200个，每涨价1元，就少售出5个．若供货厂家规定市场售价不得低于30元/个，且商场每周要完成不少于130个的销售任务 (1)确定周销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式； (2)确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式； (3)当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当售价x（元/个）定为44元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大，最大利润是3120元 【分析】（1）根据题意可以直接写出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/个，且商场每周完成不少于130个的销售任务可以确定x的取值范围； （3）根据第（2）问中的函数解析式和x的取值范围，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴周销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式是：； （2）解：∵商场每周要完成不少于130个的销售任务， ∴， 解得：， ∵市场售价不得低于30元/个， ∴， 由题意可得，； ∴商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式是：； （3）解：∵， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 答：当售价x（元/个）定为44元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大，最大利润是3120元． 【题型六】抛物线形实际问题模型 【模型解读】 拱桥、投篮、喷水、隧道等问题，本质是建立坐标系，把实际图形转化为抛物线，求解析式后再解决问题。关键是建立合适的坐标系，让计算最简单。 【结论】 解题四步： ① 建立坐标系：顶点在原点最方便 ② 设解析式：顶点在原点设 ③ 代入已知点求 ④ 用解析式解决问题 常见坐标系选择： - 拱桥问题：顶点在原点，水面在 轴上 - 投篮问题：出手点在 轴上，篮筐在抛物线上 - 喷水问题：出水口在原点，水柱最高点在顶点 注意： ① 坐标系建在哪里，解析式就不一样 ② 求完解析式要验证是否符合实际 ③ 注意自变量的取值范围 【例6】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分三种情况讨论上的最小值，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论上的最小值： 1.当对称轴在左侧，即，最小值在处取得， ，解得，结合前提， ∴； 2.当对称轴落在内，即，开口向下的抛物线在内的最小值出现在端点，比较和的函数值： 时，； 时，； 由于， ， ，范围内所有的函数值均大于9，该范围全部满足条件； 3.当对称轴在右侧，即，最小值在处取得：， 解得，结合前提，得； 综合三种情况，最终b的取值范围为： ， 的取值范围为． 【变式6-1】（25-26九年级上·河北邢台·期中）在学习了二次函数的相关知识后，老师设计并带领同学们开展了一项综合实践活动，下面是某小组尚未完成的活动报告． 主题 二次函数在生活中的应用 研究内容 如图1，某校校门的截面呈抛物线形，经测量可知，该校门长，高（最高点到地面的距离） 国庆前夕，该校拟在图1所示的校门上悬挂“欢度国庆”四个大字的矩形牌匾，要求居中悬挂，悬挂点在校门上，下沿与水平地面平行． 数据收集 从牌匾设计方获知，设计的牌匾长，高． 研究过程 以水平地面所在截线为x轴，校门的对称轴为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系． 示意图       探究问题 …… 安全要求 为了通车与行人安全，牌匾底部距离水平地面应不小于． 根据上述内容，将“探究问题”展开如下，请帮助该小组解决下列问题． (1)结合“研究过程”，求校门所在抛物线的解析式； (2)按设计参数悬挂该牌匾，能否达到“安全要求”？说明理由． 【答案】(1) (2)可以达到“安全要求”， 理由：由题意，当时， ， 设计牌匾的底部距离水平地面的高度为， ， 按设计参数悬挂该牌匾，能达到“安全要求”． 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线的解析式得出，然后求出设计牌匾的底部距离水平地面的高度，再进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为， 设校门所在抛物线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 校门所在抛物线的解析式为：； （2）略 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）根据以下素材，探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材1 某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，已知在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米． 素材2 现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高． 问题解决： (1)确定水柱形状：根据素材1，求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)探究喷水高度：改建前，身高为1.67米的小明站在距离喷水管3米处，他会被喷到吗？ (3)确定设计方案：根据素材2，喷水管要升高多少？ 【答案】(1) (2)小明会被水喷到 (3)喷水管要升高 【分析】（1）根据水柱最高点的坐标设抛物线顶点式，代入点坐标，即可求出第一象限部分水柱的函数表达式； （2）令，代入已求得的抛物线解析式，计算此处的水柱高度，再与小明的身高比较，进而判断小明是否会被水喷到； （3）设喷水管升高，由题意可知改建后抛物线的形状不变，因此新的抛物线解析式可写为，由于改建后落水点距离原点水平距离为米，故将代入新解析式，解得即可． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线顶点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为，将点代入得， 解得， 水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数解析式为； （2）解：由题意，令，则， ， 小明会被水喷到； （3）解：设喷水管升高． 则抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， 解得． 喷水管要升高． 【变式6-3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据题意得到抛物线顶点坐标，进而设抛物线顶点式为，求解即可； （2）根据已知条件设抛物线顶点式为，得到，根据对称性可知无论a取何负值，水流均能经过第一层水池，进而根据喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上得到当时，，将代入求出a的值，根据“的绝对值越大开口越小”可知a的范围； （3）根据题意求出（2）中抛物线解析式，根据二次函数的平移规律求出第二层喷头的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，水流最高点距立柱（y轴）水平距离为，高度为， 因此抛物线顶点坐标为． 设抛物线顶点式为， 又喷头A在y轴上、距地面，即抛物线过点， 将代入解析式：， 解得， 因此抛物线解析式为； （2）解：已知抛物线顶点横坐标恒为1，且过喷头， 设抛物线顶点式为，代入得， 即， 因此抛物线解析式可整理为：， ∵顶点横坐标恒为1，且过喷头， ∴水流过，在C点上方，即无论a取何负值，水流均能经过第一层水池； ∵喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上， ∴当时，， 当时，，解得， ∴； （3）解：底部围挡高度为，要求水流刚好落到围挡高度处时，水池半径最小，即求水流落点最远处距y轴的距离． 第二层边缘加装的喷头与A喷头水流形状完全相同，当（2）中取最大值时，抛物线开口最大，水流落点最远． 此时（2）中抛物线解析式为， ∵，， ∴将A向右移动3个单位，再向下移动个单位得到E， ∵第二层和喷头喷出的水流形状始终相同， ∴第二层喷头的抛物线解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：（舍去） 因此底部圆形水池的最小半径为． 技巧 一句话要点 判断二次函数——“三要素检查法” 整式函数、最高次数是2、二次项系数 ，三要素缺一不可。 求对称轴顶点——“配方公式法” 配方成顶点式最直观，或直接用公式：对称轴 ，顶点纵坐标 。 抛物线平移——“左加右减法” 上下平移加减常数项，左右平移对 加减；左加右减是对 ，不是对整个式子。 增减性判断——“对称轴分界法” 先找对称轴，左右两侧增减性相反；开口向上左减右增，开口向下左增右减。 求解析式选形式——“三点顶点交点法” 三点用一般式，顶点+一点用顶点式，与 轴两交点+一点用交点式。 与x轴交点个数——“判别式法” 两个交点， 一个交点， 无交点；含参数别忘了 。 判断a、b、c符号——“左同右异法” 看开口， 看与 轴交点， 用左同右异（对称轴左则 、 同号，右则异号）。 函数值大小比较——“距离对称轴法” 算各点到对称轴的距离，开口向上离得越远 越大，开口向下离得越远 越小。 最大面积问题——“设边列函数法” 设一边长为 ，用 表示另一边，列面积函数，求顶点处最大值。 最大利润问题——“单利乘销量法” 设降价 元，每件利润=原利润-，销售量=原销量+增加量 ，总利润=两者相乘。 抛物线实际问题——“建系设点求法式” 建立坐标系（顶点在原点最方便），设解析式，代入已知点求系数，再解决问题。 求最值——“顶点公式法” 最值在顶点处取得， 最小值， 最大值；注意自变量取值范围。 含参数二次函数——“先a≠0再Δ法” 讨论根的情况或交点个数时，先保证二次项系数 ，再列判别式不等式。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $