专题04 投影与视图（知识&考点&公式&5高频&2易错&2重难&4模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材北师大版

专题04 投影与视图 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(6类) 公式清单(4类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(2类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 投影的基本概念 定义：光线照射到物体上，在某个平面上得到的影子叫做投影。 投影的组成： - 投影线：照射的光线 - 投影面：影子所在的平面 分类： 类型 光线特点 生活实例 中心投影 从一点发出的光线 路灯、手电筒、台灯 平行投影 平行的光线 太阳光、月光 知识点02 中心投影 定义：由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影。 特点： 1. 光线从一点（光源）向外发散 2. 等高的物体垂直地面放置时，离光源近的物体影子短，离光源远的物体影子长 3. 等长的物体平行地面放置时，离光源越近影子越长，离光源越远影子越短 4. 物体上的点和影子的对应点连线交于一点（光源位置） 应用： - 确定光源位置：过物体顶端和影子顶端作直线，两条直线的交点就是光源 - 判断是中心投影还是平行投影：光线是否交于一点 知识点03 平行投影 定义：由平行光线形成的投影叫做平行投影。 特点： 1. 光线是平行的 2. 同一时刻，不同物体的物高与影长成正比 3. 等高的物体垂直地面放置时，影长相等 4. 物体上的点和影子的对应点连线互相平行 正投影：平行投影中，投影线垂直于投影面时，叫做正投影。 平行投影与中心投影的区别： 对比项 中心投影 平行投影 光线 从一点发出 互相平行 物高与影长 不成正比（随位置变化） 成正比（同一时刻） 对应点连线 交于一点（光源） 互相平行 实例 路灯、手电筒 太阳光 知识点04 三视图的概念 定义：从三个不同方向看一个物体，然后描绘出三张看到的图，就是三视图。 三个视图： 视图 观察方向 反映的形状 主视图 从正面看 物体的长和高 左视图 从左面看 物体的高和宽 俯视图 从上面看 物体的长和宽 知识点05 三视图的画法规则 画法三规则： 1. 长对正：主视图与俯视图的长对正（长度相等） 2. 高平齐：主视图与左视图的高平齐（高度相等） 3. 宽相等：左视图与俯视图的宽相等 实线与虚线： - 看得见的轮廓线画实线 - 看不见的轮廓线画虚线 知识点06 常见几何体的三视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 球 圆 圆 圆 圆柱（直立） 长方形 长方形 圆 圆锥（直立） 等腰三角形 等腰三角形 圆（带圆心点） 三棱柱 长方形 三角形 长方形 四棱锥 三角形 三角形 四边形 注意： - 圆锥的俯视图是圆加一个圆心点（顶点投影） - 圆柱的主视图和左视图都是长方形 - 球的三个视图都是圆 知识点07 由三视图还原几何体 方法： 1. 先看俯视图，确定几何体的底面形状 2. 再看主视图和左视图，确定是柱体、锥体还是其他 3. 综合三个视图，想象出立体形状 判断口诀： - 俯视图是圆 看主视图：长方形是圆柱，三角形是圆锥 - 俯视图是多边形 看主视图：长方形是棱柱，三角形是棱锥 考点01 判断投影类型 考查形式：给出几种投影现象，判断是中心投影还是平行投影。 解题关键： - 光线交于一点 中心投影 - 光线互相平行 平行投影 考点02 中心投影——确定光源位置 考查形式：给出两个物体及其影子，确定光源位置；或判断影子是否合理。 解题方法： 1. 过物体顶端和影子顶端作直线 2. 两条直线的交点就是光源位置 考点03 平行投影——测高测距 考查形式：同一时刻，利用物高与影长成正比，测旗杆、大树高度。 公式： 解题步骤： 1. 设被测物体高度为 2. 列比例式 3. 解方程求 考点04 画三视图 考查形式：给出一个几何体（或实物），画出它的主视图、左视图、俯视图。 解题关键： - 遵守“长对正、高平齐、宽相等” - 看得见的画实线，看不见的画虚线 - 注意实心点、虚线的位置 考点05 由三视图判断几何体 考查形式：给出三视图，判断是什么几何体；或选择对应的三视图。 解题思路： 1. 看俯视图定底面形状 2. 看主视图/左视图定类型（柱/锥） 3. 综合想象立体形状 考点06 由三视图求小正方体个数 考查形式：给出由小正方体搭成的几何体的三视图，求小正方体的个数。 解题方法： 1. 俯视图确定底层小正方体的分布 2. 主视图确定每列的层数 3. 左视图确定每行的层数 4. 综合计算最少/最多需要的小正方体个数 序号 公式/结论 说明 1 平行投影测高：物高₁/影长₁ = 物高₂/影长₂ 同一时刻，物高与影长成正比 2 三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等 主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等 3 中心投影对应点连线：交于光源一点 4 平行投影对应点连线：互相平行 辨析01 中心投影与平行投影概念辨析 对比项 中心投影 平行投影 光线来源 点光源（路灯、手电筒） 平行光线（太阳光） 光线特点 从一点向外发散 互相平行 物高与影长 不成正比（随位置变化） 成正比（同一时刻） 对应点连线 交于一点（光源） 互相平行 易错：看到影子就以为是平行投影！路灯下的影子是中心投影。 辨析02 主视图与左视图概念辨析 视图 观察方向 容易错的地方 主视图 从正面看 把左右方向搞反 左视图 从左面看 从左面看时，左右方向与正面相反 注意：从左面看，几何体的左边对应图的右边。 辨析03 看得见与看不见的轮廓线 易错：画三视图时，看不见的轮廓线画成实线了，或者该画虚线的没画。 规则： - 看得见 实线 - 看不见但存在 虚线 - 空心/孔洞的内壁 虚线 辨析04 圆柱与圆锥的三视图 几何体 主视图 俯视图 圆柱 长方形 圆（无圆心点） 圆锥 等腰三角形 圆（带圆心点） 易错：圆锥俯视图的圆心点不能漏！那是顶点的投影。 辨析05 “长对正、高平齐、宽相等”记混 正确对应： - 主视图 俯视图：长对正（左右方向长度相等） - 主视图 左视图：高平齐（上下方向高度相等） - 左视图 俯视图：宽相等（前后方向宽度相等） 辨析06 由三视图求小正方体个数——最少 vs 最多 易错：只算了一种情况，没考虑最多和最少。 方法： - 最少个数：每个位置至少有1个，按最高层补 - 最多个数：每个位置都取最大层数 【题型一】平行投影 【例1-1】（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 【例1-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【详解】解：∵太阳光线是平行光线，矩形的对边平行， ∴矩形对边在平行投影下得到的投影仍然平行， ∴平行四边形，矩形、正方形都是特殊的平行四边形，倾斜放置或合适角度都可以得到， 当矩形纸片与光线平行放置时还可投影得到线段， 等腰梯形只有一组对边平行，不符合平行投影的性质，因此不可能是等腰梯形． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【分析】如图，延长，交的延长线于点，同一时刻物高与影长成比例，可得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 【题型二】中心投影 【例2-1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 【答案】A 【分析】从路灯光源类型入手，结合投影的分类定义判断. 【详解】解：∵路灯属于点光源，点光源形成的投影为中心投影. ∴夜晚路灯下行人的影子属于中心投影. 【例2-2】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 【变式2-1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【答案】A 【分析】根据球体的几何特征及光线照射方向判断影子的形状． 【详解】解：∵小球是球体，手电筒垂直照射， ∴光线方向与竖直墙面垂直， ∴小球在墙面上的影子即为球体的正投影， ∵球体在垂直于光线的平面上的影子是圆， ∴影子的形状是圆． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东德州·期末）圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影如图所示．桌面的直径米，桌面距离地面1米．假设灯泡距离地面3米，那么地面上阴影部分的面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，熟练掌握中心投影及相似三角形的判定与性质是关键．根据中心投影的知识画出相应的图形，再根据相似三角形的判定与性质，列方程求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，，，米，米，米， 米， ， ， ， ， 解得米， 那么地面上阴影部分的面积为（平方米）． 故选：B． 【题型三】三视图的判断 【例3-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：由图可知，该几何体的俯视图是． 【例3-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，是一个几何体的主视图，则这个几何体可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图的定义，逐项分析判断即可． 【详解】 解：A.该几何体的主视图为，本选项不符合题意； B. 该几何体的主视图为，本选项符合题意； C. 该几何体的主视图为，本选项不符合题意； D. 该几何体的主视图为，本选项不符合题意． 【变式3-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：该几何体的左视图是： ． 【变式3-2】（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形，逐项进行判断即可． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 【题型四】由三视图求几何体的表面积 【例4-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，可知这个几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三视图判断几何体是截去圆柱的柱体，算出剩余曲面侧面积，再加上两个切面长方形的面积，合并得到该几何体侧面积． 【详解】由题图中的三视图知， 该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的方向切掉一个圆柱的柱体， 所以其侧面积为． 【例4-2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（     ） A．4π B．60π C．15π D．8π 【答案】A 【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是圆锥． 圆锥的高，底面直径为，因此底面半径． 根据勾股定理，圆锥的母线长​． 圆锥侧面积公式为，代入数据得：， 对应选项A． 【变式4-1】（25-26九年级上·云南楚雄·期中）如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为4，高为4， 故其表面积为 【变式4-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图是某户外用品公司设计的一款圆锥形单顶帐篷的三视图（无底面，单位：），为完成100顶这种帐篷的订单制作，公司采购部门需采购的布料最为合适的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由三视图可知该几何体是圆锥，其母线长为，底面圆的直径为， ∴该圆锥的侧面积为， ∴完成100顶这种帐篷所需布料为, ∵， ∴A选项最合适． 【题型五】由三视图求几何体的体积 【例5-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱． 【详解】解：依题意可求出该几何体的体积为． 【例5-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】B 【分析】先由三视图得该几何体为长方体，再利用表面积求得长方体的高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为长方体，它的长是6，宽是2，设高为h， ∵这个几何体的表面积是72， ∴，解得， ∴它的体积是． 【变式5-1】（25-26九年级上·河南周口·期中）长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面和从上面看到的图形，得出该长方体的长为4、宽为3、高为3，最后根据长方体的体积公式即可得出结果． 【详解】解：由从正面和从上面看到的图形可知，该长方体的长为4、宽为3、高为3， 则这个长方体的体积为． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解高，再由圆锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得， ∴ ∴， ∴这个几何体的体积为． 【题型一】利用平行投影或中心投影构造相似三角形解决问题 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意作图如下： (2) 【分析】（1）根据太阳光是平行光，连接，过作的平行线即可； （2）根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，得到，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，设直线交于点J． 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错警示 - 平行投影（太阳光）：光线互相平行，同一时刻物高与影长成正比 - 中心投影（路灯/灯光）：光线从一点发出，影子长度随物体位置变化 - 判断依据：看光线是否平行，平行 平行投影，交于一点 中心投影 - 测高模型： - 中心投影模型： - 关键：垂直边对应垂直边，水平边对应水平边，不能交叉对应 【变式1-1】（25-26九年级上·山西运城·期中）图①、图②分别是两棵树在太阳光或路灯下影子的情形． (1)哪个图反映了在太阳光下的情形，哪个图反映了在路灯下的情形? (2)你是用什么方法判断的? (3)请画出图中表示小丽影长的线段． 【答案】(1)题图①是在太阳光下的情形，题图②是在路灯下的情形 (2)太阳光是平行光线，路灯的光是从一个点发出的．（答案合理即可） (3)表示小丽影长的线段如图①、②所示． 【分析】（1）分别画出图①、图②中两棵树的顶端与对应阴影的连线，图①中，连线平行，说明是太阳光下的情形，图②中，连线交于一点，说明是在路灯下的情形，该交点即为路灯的位置； （2）根据太阳光是平行光线，路灯的光是从一个点发出的回答即可； （3）图①中，过小丽头部作前两条连线的平行线，得到该直线与地面交点，即可画出表示小丽影长的线段；图②中，连接路灯与小丽头部作画直线并延长，得到该直线与地面交点，即可画出表示小丽影长的线段． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1-2】（25-26九年级上·山东济南·期中）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【答案】(1)C (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； (3) 【分析】（1）（2）根据中心投影的特点可得，接着证明，利用相似三角形对应边成比例推出，然后由、、均为定值即可得出结论； （3）证明，，再根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例推出，，代入数据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （2）略 （3）解：∵，，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴此时投影的长度为． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． (1)请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； (2)若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意，作图如下： (2)路灯的高度为 【分析】（1）连接并延长，连接并延长，两线交于点，连接并延长交于点即可； （2）利用相似三角形的性质，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如（1）图，由题意，，， ∴，， ∴， ∴； 故路灯的高度为. 【题型二】由三视图求小正方体个数 【例2】（25-26九年级上·河北保定·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，该几何体的体积是_____，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加_____个小正方体． 【答案】(1)，， (2) (3)4 【分析】（1）先数出这个几何体中小正方体的个数，再计算体积，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形； （2）求出不含地面的表面积即可求解； （3）保持主视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体；第3列后面的几何体上放1个小正方体． 【详解】（1）解：由图可知，这个几何体是由10个小正方体组成， 体积为：； （2）解：这个几何体的表面有个正方形，去掉地面上的个，个面需要喷上红色的漆，∴表面积为，（克） ∴共需克漆； （3）解：如果保持主视图和左视图不变，最多可以再添加个． 易错警示 - 三个视图要结合看： 俯视图 底层有几列、几排（确定位置布局） 主视图 每列最高几层 左视图 每排最高几层 - 不能只凭一个视图下结论 - 最少个数：俯视图每个位置先放 1 个，再按主视图/左视图要求补最高层 - 最多个数：每个位置都放到视图允许的最大层数 - 技巧：在俯视图格子里标数字（该位置小正方体个数），行对应左视图层数，列对应主视图层数 【变式2-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是由几个大小完全相同的小正方体垒成的几何体． (1)这个几何体中共有______个小正方体； (2)请分别画出你所看到的几何体的三视图． 【答案】(1)8 (2)如图所示： 【详解】（1）解：这个几何体中共有8个小正方体； （2）略 【变式2-2】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有_________个小正方体； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (3)求这个几何体的体积及表面积（包含底面）； (4)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加_________个小正方体． 【答案】(1)10 (2) (3)表面积为；体积为 (4)5 【分析】（1）根据几何体的构成，即可得到小正方体的个数； （2）根据题意画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图即可； （3）数出这个几何体露在外面的面，根据小正方形每个面的面积为求出表面积；根据小正方体的个数和每个小正方体的体积求解即可， （4）在保持俯视图和左视图都不变的条件下，添加小正方体即可． 【详解】（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要10个小正方体； （2）解：画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图略； （3）解：这个几何体的表面积为； 这个几何体的体积为； （4）解：在俯视图的相应位置摆放相应数量的小正方体，使其俯视图和左视图都不变，如图所示， 所以最多可以添加5个． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【答案】(1)这个几何体是由8个小正方体组成； 从三个方向看的图形如下： (2) 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图、左视图、俯视图即可； （2）根据三视图的面数与被遮挡的面数进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加的小正方体的位置和数量在俯视图上标注如图所示， 所以最多可以添加个． 【题型一】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【例1-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）一个几何体由大小相同的立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的立方块个数． (1)分别画出该几何体从正面，从左面看到的形状图． (2)现量得小正方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积是__________ (3)若允许从该几何体中拿掉部分立方块，使剩下的几何体从正面看到的形状图和原几何体从上面看到的形状图相同，则最多可拿掉__________个立方块． 【答案】(1)该几何体从正面，从左面看到的图形如图所示： (2) (3)5 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可； （2）根据从三个方向看到的形状确定该几何体露在外面的面有多少个即可求解； （3）根据从正面看、从上面看得出拿去的小正方体的个数即可． 【详解】（1）略 （2）解：该几何体是由小正方体构成， 则暴露面共有个正方形， ∵小正方体的棱长为， 所以涂上颜色部分的总面积是：． （3）解：根据题意可得，拿掉后剩下的几何体从上面看到的图形可以如下图所示： ∴拿掉后，剩下的几何体从正面看到的形状图和原几何体从上面看到的形状图相同，则最多可拿掉5个． 【例1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1是由7个棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)在图2网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，使该几何体的左视图不变，请你写出两种添加的方式（小正方体可以标序号）． 【答案】(1)该几何体的主视图、左视图和俯视图如答图所示． (2)俯视图上的数字表示在这个位置上小立方块的个数，如图②，第二排最后小立方块上添加一个；如答图③，第一排小立方块右边添加一个．（答案不唯一） 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，根据下列条件填空： (1)当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，______视图不变；去掉③时，______视图不变；去掉④时，______视图不变； (2)若保持主视图和左视图不变，则原来几何体上最多还可以再搭______个小正方体． 【答案】(1)左，主，俯 (2)2 【分析】（1）根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，即可得出答案； （2）可在最左侧前端放一个，右侧最前端再放一个，即可得出答案． 【详解】（1）解：当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，左视图不变；去掉③时，主视图不变；去掉④时，俯视图不变． （2）解：若保持主视图和左视图不变，可在最左侧前端放一个，右侧最前端再放一个，则原来几何体最多还可以再搭2块小正方体． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1)6 (2) (3)3 【分析】（1）先分层统计底层和上层的小立方块数量，再求和得到总数． （2）主视图从正面观察，确定列数和每列的最高层数；左视图从左面观察，确定行数和每行的最高层数；俯视图从上面观察，确定行列分布和底层小立方块的位置，按对应规则绘制； （3）因为要保持俯视图和左视图不变，所以先根据俯视图确定可添加方块的位置范围，再根据左视图确定每个位置允许的最大层数，结合原有方块的层数，计算可添加的总数． 【详解】（1）解：底层能看到5个小立方块，上层仅在底层左数第2个方块上方搭有1个，总数为． 该几何体有6个小立方块搭成． （2） 略 （3） 解：要保持俯视图不变，说明底层小立方块的摆放位置不能新增，只能在已有底层方块的上方加方块； 要保持左视图不变，说明几何体前后两行的最大层数限制为：靠前行最大层数为1，靠后行最大层数为2． 原本仅靠后行左数第2个位置有2层方块，靠后行剩下的3个位置都可以各加1个方块，靠前行不能加方块， 因此最多添加3个． 【题型二】利用平行投影或中心投影构造相似三角形解决问题 【例2-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 【答案】鸿门寺塔的高为27米 【分析】证明，得，整理得①；再证明，得，整理得：②，联立①②得，求出，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 整理得①； 由平面镜反射原理得：， 又， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， 又，（米）， ∴， ∴， 整理得：② 联立①②得， 解得， ∴（米）， 答：鸿门寺塔的高为27米． 【例2-2】（25-26九年级上·广东茂名·期中）【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】(1) 如图，光源O、线段即为所求； (2)B (3)灯杆高度为5.4m 【分析】（1）连接，并延长交于点O，再连接，过点E作，交于点K； （2）小明从点A出发，影子越来越短，到路灯下方达到最短，之后越来越长，可知B符合题意； （3）先说明，即可得出 ，再代入数值可得然后根据求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：B； 根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； （3）解：如图所示，设， 由题意得，， ， ， ， ， ， 解得， ∴ ． ∵， 解得， ∴灯杆高度为． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． 【答案】任务1：小明的说法正确，理由如下： 由题意可得，，， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∵可以直接测量出的长度， ∴建筑物的高度可以通过计算得出； 任务2：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 任务1：证明出得到，即可求解； 任务2：证明，则＝，由任务1得，＝，故＝，再代入数据求解即可； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差． 【详解】解：任务1：略 任务2：∵∠， ∴， ∴＝， 由任务1得，＝， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴， ∵，即， ∴． 答：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 【变式2-2】（25-26九年级上·江西九江·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 【答案】(1)路灯的高度为9.6米 (2)的长是米 【分析】本题考查相似三角形的应用、列代数式，属于中档题． （1）由证△△，用相似比求高度； （2）由证△△，代入求长度． 【详解】（1）解：由题意，可知，米，米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为9.6米； （2）解：， 米， 米，米， 米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； 【题型一】三视图画法模型 【模型解读】 画三视图要遵守"长对正、高平齐、宽相等"的规则。主视图在上方，左视图在主视图正下方，俯视图在主视图正右方。看得见的轮廓画实线，看不见的画虚线。 【结论】 画法三规则： ① 长对正：主视图和俯视图的长相等 ② 高平齐：主视图和左视图的高相等 ③ 宽相等：左视图和俯视图的宽相等 线型规则： 看得见的轮廓 → 实线 看不见但存在的轮廓 → 虚线 孔洞内壁 → 虚线 口诀： 长对正，高平齐，宽相等； 看得见画实线，看不见画虚线。 【例1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）画出如图所示组合体的三视图 【答案】 如图， 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据三视图的定义即可求解，熟练掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键． 【详解】略 【变式1-1】（25-26九年级上·广东佛山·期中）请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图和俯视图．    【答案】 如图，   ． 【分析】分别从正面、左面、上面看得到的图形即可．看到的棱用实线表示，实际存在但是被挡住看不见的棱用虚线表示． 【详解】略 【点睛】本题考查了画三视图；用到的知识点为：主视图、俯视图、左视图；它们分别是从正面看，从上面看，从左面看得到的平面图形．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；注意看不见的轮廓线要画虚线． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 【答案】这个几何体的三视图如下： 【详解】略 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）（1）如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，请在网格中画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图． （2）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到该几何体的形状图如图所示． ①该几何体最少由_______个小立方体搭成； ②该几何体最多由________个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，请在网格中画出从正面看到的形状图． 【答案】 （1）如图所示： （2）①7；②10； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，主视图如下： 【分析】本题考查了作图—三视图，解题的关键是掌握：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的小立方体个数． （1）主视图从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1；俯视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；依此画出图形即可 （2）根据左视图和俯视图，可确定几何体最少、最多小立方体个数，由最多的小立方体个数画出主视图即可． 【详解】略 【题型二】由三视图还原几何体模型 【模型解读】 给出三视图，反推原来的几何体是什么。先看俯视图确定底面形状，再看主视图和左视图判断是柱体还是锥体，最后综合想象出立体形状。 【结论】 还原步骤： ① 看俯视图：确定底面是什么形状（圆？多边形？） ② 看主视图：确定整体形状（长方形→柱体，三角形→锥体） ③ 看左视图：验证并补充细节 ④ 综合想象出立体图形 快速判断： 俯视图是圆： 主视图是长方形 → 圆柱 主视图是三角形 → 圆锥 俯视图是多边形： 主视图是长方形 → 棱柱 主视图是三角形 → 棱锥 【例2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：还原立体图形为： 这个立体图形的体积为． （2）解：下面的长方体表面积为， 上面的长方体表面积为， 两个长方体重合部分面积为, 这个立体图形的表面积为． 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图是一个几何体的三种视图． (1)写出这个几何体的名称：_______； (2)画出它的一种表面展开图； (3)若主视图的高为，俯视图中三角形的边长都为，求该几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)该几何体的表面展开图如图．（答案不唯一） (3)该几何体的侧面积为 【分析】（1）根据三视图进行判断即可； （2）根据（1）判断的几何体画出展开图即可； （3）其侧面由3个长方形组成，根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由主视图和左视图可得该几何体为柱体，由俯视图是三角形可判断该几何体为三棱柱． （2）略 （3）解：． 答：该几何体的侧面积为． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）两个几何体的三种视图如图所示，你能想象出它们的形状吗？请画出这两个几何体的草图． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）赵飞制作的一个模型的三视图如图所示（单位∶）． (1)请描述这个模型的形状； (2)如果用油漆涂这个模型，每千克油漆可以涂，需要油漆多少千克？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成：上面是一个小长方体，下面是一个大长方体 (2)千克 【分析】（1）由三视图可判断该模型的形状； （2）先求出表面积，再求出需要的质量. 【详解】（1）解：此模型由两个长方体组成：上面是一个小长方体，下面是一个大长方体； （2）解：此模型的表面积为 ， 故需要油漆（千克） 【题型三】三视图求小正方体个数模型 【模型解读】 给出由小正方体搭成的几何体的三视图，求最少或最多需要多少个小正方体。方法是从俯视图入手，结合主视图和左视图确定每一层的个数。 【结论】 解题步骤： ① 俯视图打底：确定底层有几个位置，每个位置至少1个 ② 主视图定列：主视图每列的高度，就是几何体左右方向每列的最大层数 ③ 左视图定行：左视图每列的高度，就是几何体前后方向每行的最大层数 ④ 综合计算： 最少个数：取每行每列的较小值 最多个数：每个位置都取最大层数 【例3】（25-26九年级上·山西太原·期中）阅读与思考 阅读材料：如图，它是由6个小正方体摆成的一个几何体，每个小正方体的棱长为2厘米，从不同的方向看的视图各不相同，根据要求回答以下视图问题： (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)试求出其表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加　　　个小正方体． 【答案】(1) 如图， (2) (3) 【分析】此题主要考查了画三视图以及几何体的表面积，正确得出三视图是解题的关键． （）直接利用三视图的画法进而得出答案； （）利用几何体的形状进而得出其表面积； （）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置． 【详解】（1）略 （2）解：几何体表面积： （平方厘米）； （3）解：要使这个几何体的左视图和俯视图不变，可以在如图位置各放一个小正方体， 所以最多可以再添加个小正方体， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)10， 这个几何体的主视图、左视图、俯视图的形状图如下： (2)64 (3)4 【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量； （3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量． 【详解】（1）由图可知小正方形的个数为：， 故答案为：10； （2）解：（克）， 故答案为：64； （3）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示： 因此最多可添加4块． 故答案为：4． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：    (1) __________，__________，__________； (2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成； (3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图． 【答案】(1)3，1，1 (2)9 (3) 小立方块数量最多时的左视图如下：   ． 【分析】本题考查简单组合体的三视图 （1）根据主视图，俯视图可直接得出a、b、c的值； （2）在各个位置上摆放相应的小正方体，直至最少即可； （3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，即可画出数量最多时的左视图． 【详解】（1）解：由主视图和俯视图可知，， 故答案为：3，1，1； （2）解：最少时，即，而e所在的“列”最少有一处为2即可， 因此，最少需要（个）， 故答案为：9； （3）解：略． 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，这是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数． (1)请在方格图中，画出该几何体的主视图和左视图． (2)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加个________小正方体． 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】本题考查三视图的画法； （1）根据三视图的画法，画出图形即可求解； （2）从俯视图的角度出发，同时考虑左视图的情况，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示：保持主视图和左视图不变，则最多可以添加1个小正方体． 【题型四】三视图面积关系模型 【模型解读】 同一个几何体的三个视图面积之间有对应关系。主视图和俯视图长对正，主视图和左视图高平齐，左视图和俯视图宽相等。利用这些关系可以求视图的边长或面积。 【结论】 对应关系： 主视图的长 = 俯视图的长 主视图的高 = 左视图的高 左视图的宽 = 俯视图的宽 圆柱侧面积： 主视图长方形面积 = 底面直径 × 高 【例4】（25-26九年级上·河北保定·期中）某几何体的三视图如下图所示，求这个几何体的表面积． 【答案】2108 【分析】根据三视图还原出几何体的形状，再根据几何体的表面积公式进行计算即可得出答案. 【详解】解：由题图可知，这个几何体是从一个长方体中切去一个三棱柱所形成的，如下图所示： 由图可知，这个几何体的表面积为 ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键． 【变式4-1】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． (1)这个几何体的名称是________； (2)由图中数据计算此几何体的侧面积；（结果保留π） 【答案】(1)圆柱； (2)； 【分析】（1）根据从不同方向看到的图形判断即可； （2）根据圆柱的侧面积公式计算即可； 本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的展开图，理解圆柱的特征是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由从不同方向看到的形状可知该几何体是圆柱． 故答案为∶圆柱； （2）解：由图可知，圆柱体的底面直径为2，高为3， 所以侧面积． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是___________； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)正五棱柱 (2) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图． （1）根据三视图的知识即可判断出该几何体是五棱柱； （2）根据三视图可知底面是正五边形，用底面的边长乘以高再乘以5即可求出侧面积． 【详解】（1）解：根据三视图的知识即可判断出该几何体是正五棱柱； 故答案为：正五棱柱； （2）解：由三视图可知，这个几何体的侧面是五个长为，宽为的矩形， 这个几何体的侧面积为：， 答：这个几何体的侧面积是． 【变式4-3】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图是一个几何体的三种视图． (1)这个几何体的名称是________； (2)根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆柱的侧面积公式． （1）根据俯视图和左视图可以判断出该几何体是柱体，根据主视图判断为圆柱； （2）根据圆柱的底面直径和高，再利用圆柱的侧面积公式计算即可； 【详解】（1）解：根据三视图即可得出该几何体是圆柱， 故答案为：圆柱． （2）解：由图可知，圆柱的底面圆的直径是4，高为6， 则圆柱的侧面积为：． ∴这个几何体的侧面积为． 技巧 一句话要点 判断投影类型——"光线交点法" 画几条光线看是交于一点还是互相平行；交于一点是中心投影，互相平行是平行投影。 中心投影找光源——"连线交点法" 过物体顶端和影子顶端作直线，两条直线的交点就是光源位置。 中心投影影长变化——"近短远长法" 离光源越近影子越短，离光源越远影子越长，走到正下方影子缩成点。 平行投影测高——"物高影长比例法" 同一时刻物高与影长成正比，列比例式：物高₁/影长₁=物高₂/影长₂。 画三视图——"长对正高平齐法" 主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等；三个视图位置要摆对。 看得见看不见——"实线虚线法" 看得见的轮廓画实线，看不见但存在的轮廓画虚线，孔洞内壁也要画虚线。 常见几何体三视图——"形状记忆法" 球三个视图都是圆；圆柱主左是长方形；圆锥主左是三角形，俯视图带圆心点。 由三视图还原几何体——"俯视定底法" 先看俯视图定底面形状（圆还是多边形），再看主视图定类型（长方形是柱，三角形是锥）。 三视图求小正方体个数——"俯打底主左定层法" 俯视图打底数位置，主视图定左右层数，左视图定前后层数，综合算最多最少。 圆柱圆锥三视图区分——"圆心点区分法" 圆锥俯视图有圆心点（顶点投影），圆柱俯视图没有圆心点；别搞混。 左视图方向判断——"左右反转法" 从左面看物体时，物体的左边对应图的右边，左右方向是反的。 空心几何体视图——"内壁画虚线法" 空心圆柱/棱柱的内壁轮廓看不见，要用虚线画出来，不能只画外框。 判断投影类型——"光线交点法" 画几条光线看是交于一点还是互相平行；交于一点是中心投影，互相平行是平行投影。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 投影与视图 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(6类) 公式清单(4类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(2类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 投影的基本概念 定义：光线照射到物体上，在某个平面上得到的影子叫做___________。 投影的组成： - 投影线：照射的___________ - 投影面：影子所在的___________ 分类： 类型 光线特点 生活实例 中心投影 从___________发出的光线 路灯、手电筒、台灯 平行投影 ___________的光线 太阳光、月光 知识点02 中心投影 定义：由___________发出的光线形成的投影叫做中心投影。 特点： 1. 光线从___________（光源）向外发散 2. 等高的物体垂直地面放置时，离光源近的物体影子________，离光源远的物体影子________ 3. 等长的物体平行地面放置时，离光源越近影子越________，离光源越远影子越________ 4. 物体上的点和影子的对应点连线交于___________（光源位置） 应用： - 确定光源位置：过物体顶端和影子顶端作直线，两条直线的交点就是光源 - 判断是中心投影还是平行投影：光线是否交于一点 知识点03 平行投影 定义：由平行光线形成的投影叫做平行投影。 特点： 1. 光线是___________的 2. 同一时刻，不同物体的物高与影长成___________ 3. 等高的物体垂直地面放置时，影长___________ 4. 物体上的点和影子的对应点连线互相___________ 正投影：平行投影中，投影线垂直于投影面时，叫做正投影。 平行投影与中心投影的区别： 对比项 中心投影 平行投影 光线 从一点发出 互相平行 物高与影长 不成正比（随位置变化） 成正比（同一时刻） 对应点连线 交于一点（光源） 互相平行 实例 路灯、手电筒 太阳光 知识点04 三视图的概念 定义：从___________个不同方向看一个物体，然后描绘出三张看到的图，就是三视图。 三个视图： 视图 观察方向 反映的形状 主视图 从___________看 物体的长和高 左视图 从___________看 物体的高和宽 俯视图 从___________看 物体的长和宽 知识点05 三视图的画法规则 画法三规则： 1. 长对正：主视图与俯视图的长___________（长度相等） 2. 高平齐：主视图与左视图的高___________（高度相等） 3. 宽相等：左视图与俯视图的宽___________ 实线与虚线： - 看得见的轮廓线画___________ - 看不见的轮廓线画___________ 知识点06 常见几何体的三视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 球 圆 圆 圆 圆柱（直立） 长方形 长方形 圆 圆锥（直立） 等腰三角形 等腰三角形 圆（带圆心点） 三棱柱 长方形 三角形 长方形 四棱锥 三角形 三角形 四边形 注意： - 圆锥的俯视图是圆加一个圆心点（顶点投影） - 圆柱的主视图和左视图都是长方形 - 球的三个视图都是圆 知识点07 由三视图还原几何体 方法： 1. 先看俯视图，确定几何体的底面形状 2. 再看主视图和左视图，确定是柱体、锥体还是其他 3. 综合三个视图，想象出立体形状 判断口诀： - 俯视图是圆 看主视图：长方形是圆柱，三角形是圆锥 - 俯视图是多边形 看主视图：长方形是棱柱，三角形是棱锥 考点01 判断投影类型 考查形式：给出几种投影现象，判断是中心投影还是平行投影。 解题关键： - 光线交于一点 中心投影 - 光线互相平行 平行投影 考点02 中心投影——确定光源位置 考查形式：给出两个物体及其影子，确定光源位置；或判断影子是否合理。 解题方法： 1. 过物体顶端和影子顶端作直线 2. 两条直线的交点就是光源位置 考点03 平行投影——测高测距 考查形式：同一时刻，利用物高与影长成正比，测旗杆、大树高度。 公式： 解题步骤： 1. 设被测物体高度为 2. 列比例式 3. 解方程求 考点04 画三视图 考查形式：给出一个几何体（或实物），画出它的主视图、左视图、俯视图。 解题关键： - 遵守“长对正、高平齐、宽相等” - 看得见的画实线，看不见的画虚线 - 注意实心点、虚线的位置 考点05 由三视图判断几何体 考查形式：给出三视图，判断是什么几何体；或选择对应的三视图。 解题思路： 1. 看俯视图定底面形状 2. 看主视图/左视图定类型（柱/锥） 3. 综合想象立体形状 考点06 由三视图求小正方体个数 考查形式：给出由小正方体搭成的几何体的三视图，求小正方体的个数。 解题方法： 1. 俯视图确定底层小正方体的分布 2. 主视图确定每列的层数 3. 左视图确定每行的层数 4. 综合计算最少/最多需要的小正方体个数 序号 公式/结论 说明 1 平行投影测高：物高₁/影长₁ = 物高₂/影长₂ 同一时刻，物高与影长成正比 2 三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等 主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等 3 中心投影对应点连线：交于光源一点 4 平行投影对应点连线：互相平行 辨析01 中心投影与平行投影概念辨析 对比项 中心投影 平行投影 光线来源 点光源（路灯、手电筒） 平行光线（太阳光） 光线特点 从一点向外发散 互相平行 物高与影长 不成正比（随位置变化） 成正比（同一时刻） 对应点连线 交于一点（光源） 互相平行 易错：看到影子就以为是平行投影！路灯下的影子是中心投影。 辨析02 主视图与左视图概念辨析 视图 观察方向 容易错的地方 主视图 从正面看 把左右方向搞反 左视图 从左面看 从左面看时，左右方向与正面相反 注意：从左面看，几何体的左边对应图的右边。 辨析03 看得见与看不见的轮廓线 易错：画三视图时，看不见的轮廓线画成实线了，或者该画虚线的没画。 规则： - 看得见 实线 - 看不见但存在 虚线 - 空心/孔洞的内壁 虚线 辨析04 圆柱与圆锥的三视图 几何体 主视图 俯视图 圆柱 长方形 圆（无圆心点） 圆锥 等腰三角形 圆（带圆心点） 易错：圆锥俯视图的圆心点不能漏！那是顶点的投影。 辨析05 “长对正、高平齐、宽相等”记混 正确对应： - 主视图 俯视图：长对正（左右方向长度相等） - 主视图 左视图：高平齐（上下方向高度相等） - 左视图 俯视图：宽相等（前后方向宽度相等） 辨析06 由三视图求小正方体个数——最少 vs 最多 易错：只算了一种情况，没考虑最多和最少。 方法： - 最少个数：每个位置至少有1个，按最高层补 - 最多个数：每个位置都取最大层数 【题型一】平行投影 【例1-1】（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【变式1-2】（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【题型二】中心投影 【例2-1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 【例2-2】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【变式2-2】（25-26九年级上·山东德州·期末）圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影如图所示．桌面的直径米，桌面距离地面1米．假设灯泡距离地面3米，那么地面上阴影部分的面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【题型三】三视图的判断 【例3-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，是一个几何体的主视图，则这个几何体可以是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【题型四】由三视图求几何体的表面积 【例4-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，可知这个几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（     ） A．4π B．60π C．15π D．8π 【变式4-1】（25-26九年级上·云南楚雄·期中）如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图是某户外用品公司设计的一款圆锥形单顶帐篷的三视图（无底面，单位：），为完成100顶这种帐篷的订单制作，公司采购部门需采购的布料最为合适的是（   ） A． B． C． D． 【题型五】由三视图求几何体的体积 【例5-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 【变式5-1】（25-26九年级上·河南周口·期中）长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【题型一】利用平行投影或中心投影构造相似三角形解决问题 【例1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 易错警示 - 平行投影（太阳光）：光线互相平行，同一时刻物高与影长成正比 - 中心投影（路灯/灯光）：光线从一点发出，影子长度随物体位置变化 - 判断依据：看光线是否平行，平行 平行投影，交于一点 中心投影 - 测高模型： - 中心投影模型： - 关键：垂直边对应垂直边，水平边对应水平边，不能交叉对应 【变式1-1】（25-26九年级上·山西运城·期中）图①、图②分别是两棵树在太阳光或路灯下影子的情形． (1)哪个图反映了在太阳光下的情形，哪个图反映了在路灯下的情形? (2)你是用什么方法判断的? (3)请画出图中表示小丽影长的线段． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东济南·期中）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． (1)请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； (2)若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 【题型二】由三视图求小正方体个数 【例2】（25-26九年级上·河北保定·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，该几何体的体积是_____，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加_____个小正方体． 易错警示 - 三个视图要结合看： 俯视图 底层有几列、几排（确定位置布局） 主视图 每列最高几层 左视图 每排最高几层 - 不能只凭一个视图下结论 - 最少个数：俯视图每个位置先放 1 个，再按主视图/左视图要求补最高层 - 最多个数：每个位置都放到视图允许的最大层数 - 技巧：在俯视图格子里标数字（该位置小正方体个数），行对应左视图层数，列对应主视图层数 【变式2-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是由几个大小完全相同的小正方体垒成的几何体． (1)这个几何体中共有______个小正方体； (2)请分别画出你所看到的几何体的三视图． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有_________个小正方体； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (3)求这个几何体的体积及表面积（包含底面）； (4)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加_________个小正方体． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【题型一】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【例1-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）一个几何体由大小相同的立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的立方块个数． (1)分别画出该几何体从正面，从左面看到的形状图． (2)现量得小正方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积是__________ (3)若允许从该几何体中拿掉部分立方块，使剩下的几何体从正面看到的形状图和原几何体从上面看到的形状图相同，则最多可拿掉__________个立方块． 【例1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1是由7个棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)在图2网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，使该几何体的左视图不变，请你写出两种添加的方式（小正方体可以标序号）． 【变式1-1】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，根据下列条件填空： (1)当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，______视图不变；去掉③时，______视图不变；去掉④时，______视图不变； (2)若保持主视图和左视图不变，则原来几何体上最多还可以再搭______个小正方体． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【题型二】利用平行投影或中心投影构造相似三角形解决问题 【例2-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 【例2-2】（25-26九年级上·广东茂名·期中）【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． 【变式2-2】（25-26九年级上·江西九江·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 【题型一】三视图画法模型 【模型解读】 画三视图要遵守"长对正、高平齐、宽相等"的规则。主视图在上方，左视图在主视图正下方，俯视图在主视图正右方。看得见的轮廓画实线，看不见的画虚线。 【结论】 画法三规则： ① 长对正：主视图和俯视图的长相等 ② 高平齐：主视图和左视图的高相等 ③ 宽相等：左视图和俯视图的宽相等 线型规则： 看得见的轮廓 → 实线 看不见但存在的轮廓 → 虚线 孔洞内壁 → 虚线 口诀： 长对正，高平齐，宽相等； 看得见画实线，看不见画虚线。 【例1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）画出如图所示组合体的三视图 【变式1-1】（25-26九年级上·广东佛山·期中）请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图和俯视图．    【变式1-2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）（1）如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，请在网格中画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图． （2）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到该几何体的形状图如图所示． ①该几何体最少由_______个小立方体搭成； ②该几何体最多由________个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，请在网格中画出从正面看到的形状图． 【题型二】由三视图还原几何体模型 【模型解读】 给出三视图，反推原来的几何体是什么。先看俯视图确定底面形状，再看主视图和左视图判断是柱体还是锥体，最后综合想象出立体形状。 【结论】 还原步骤： ① 看俯视图：确定底面是什么形状（圆？多边形？） ② 看主视图：确定整体形状（长方形→柱体，三角形→锥体） ③ 看左视图：验证并补充细节 ④ 综合想象出立体图形 快速判断： 俯视图是圆： 主视图是长方形 → 圆柱 主视图是三角形 → 圆锥 俯视图是多边形： 主视图是长方形 → 棱柱 主视图是三角形 → 棱锥 【例2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图是一个几何体的三种视图． (1)写出这个几何体的名称：_______； (2)画出它的一种表面展开图； (3)若主视图的高为，俯视图中三角形的边长都为，求该几何体的侧面积． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）两个几何体的三种视图如图所示，你能想象出它们的形状吗？请画出这两个几何体的草图． (1) (2) 【变式2-3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）赵飞制作的一个模型的三视图如图所示（单位∶）． (1)请描述这个模型的形状； (2)如果用油漆涂这个模型，每千克油漆可以涂，需要油漆多少千克？ 【题型三】三视图求小正方体个数模型 【模型解读】 给出由小正方体搭成的几何体的三视图，求最少或最多需要多少个小正方体。方法是从俯视图入手，结合主视图和左视图确定每一层的个数。 【结论】 解题步骤： ① 俯视图打底：确定底层有几个位置，每个位置至少1个 ② 主视图定列：主视图每列的高度，就是几何体左右方向每列的最大层数 ③ 左视图定行：左视图每列的高度，就是几何体前后方向每行的最大层数 ④ 综合计算： 最少个数：取每行每列的较小值 最多个数：每个位置都取最大层数 【例3】（25-26九年级上·山西太原·期中）阅读与思考 阅读材料：如图，它是由6个小正方体摆成的一个几何体，每个小正方体的棱长为2厘米，从不同的方向看的视图各不相同，根据要求回答以下视图问题： (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)试求出其表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加　　　个小正方体． 【变式3-1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：    (1) __________，__________，__________； (2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成； (3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图． 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，这是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数． (1)请在方格图中，画出该几何体的主视图和左视图． (2)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加个________小正方体． 【题型四】三视图面积关系模型 【模型解读】 同一个几何体的三个视图面积之间有对应关系。主视图和俯视图长对正，主视图和左视图高平齐，左视图和俯视图宽相等。利用这些关系可以求视图的边长或面积。 【结论】 对应关系： 主视图的长 = 俯视图的长 主视图的高 = 左视图的高 左视图的宽 = 俯视图的宽 圆柱侧面积： 主视图长方形面积 = 底面直径 × 高 【例4】（25-26九年级上·河北保定·期中）某几何体的三视图如下图所示，求这个几何体的表面积． 【变式4-1】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． (1)这个几何体的名称是________； (2)由图中数据计算此几何体的侧面积；（结果保留π） 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是___________； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积． 【变式4-3】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图是一个几何体的三种视图． (1)这个几何体的名称是________； (2)根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留） 技巧 一句话要点 判断投影类型——"光线交点法" 画几条光线看是交于一点还是互相平行；交于一点是中心投影，互相平行是平行投影。 中心投影找光源——"连线交点法" 过物体顶端和影子顶端作直线，两条直线的交点就是光源位置。 中心投影影长变化——"近短远长法" 离光源越近影子越短，离光源越远影子越长，走到正下方影子缩成点。 平行投影测高——"物高影长比例法" 同一时刻物高与影长成正比，列比例式：物高₁/影长₁=物高₂/影长₂。 画三视图——"长对正高平齐法" 主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等；三个视图位置要摆对。 看得见看不见——"实线虚线法" 看得见的轮廓画实线，看不见但存在的轮廓画虚线，孔洞内壁也要画虚线。 常见几何体三视图——"形状记忆法" 球三个视图都是圆；圆柱主左是长方形；圆锥主左是三角形，俯视图带圆心点。 由三视图还原几何体——"俯视定底法" 先看俯视图定底面形状（圆还是多边形），再看主视图定类型（长方形是柱，三角形是锥）。 三视图求小正方体个数——"俯打底主左定层法" 俯视图打底数位置，主视图定左右层数，左视图定前后层数，综合算最多最少。 圆柱圆锥三视图区分——"圆心点区分法" 圆锥俯视图有圆心点（顶点投影），圆柱俯视图没有圆心点；别搞混。 左视图方向判断——"左右反转法" 从左面看物体时，物体的左边对应图的右边，左右方向是反的。 空心几何体视图——"内壁画虚线法" 空心圆柱/棱柱的内壁轮廓看不见，要用虚线画出来，不能只画外框。 判断投影类型——"光线交点法" 画几条光线看是交于一点还是互相平行；交于一点是中心投影，互相平行是平行投影。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $