广东东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考高二数学试题

东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考 高二数学 命题人：纪洋审题人：隋传胜 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的。 1.直线V3x+y+2=0的倾斜角为() A:8 B.背 c.号 D. 2.在空间四边形ABCD中，AB=(1,3,2),BC=(-2,-3,1),AD=(3,1,2),则CD=() A.(4,1,-1) B.(-4-1,1) C.(0,-5,1) D.(0,5,-1) 3.在空间直角坐标系0-xyz中，已知点A(2,-1,1),B(1,1,2),若点C与点B关于平面x0z对称，则AC= () A.v2 B.V6 C.V14 D.√22 4.已知三条直线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一点，则实数k=() A.-1 B.月 c.- D.1 5.己知四面体ABCD的所有棱长都等于a,棱AB,CD的中点分别是M,N,则AN·MC=() A.a2 B.a2 C.ja2 D.ia2 6.直线xcos6+y-1=0(0∈R)倾斜角的范围是() A.[0,m B. c.【 D.0 7.已知光线从点A(-2,1)射出，经直线2x-y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B(-8,-3),则 反射光线所在直线的方程是() A.X-3y-1=0 B.3x-y+21=0 C.x+3y+17=0 D.3x+y+15=0 8.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4,点E、M分别为棱CC1、BB1的中点， 若平面ACM∩平面A1B1C1D1=L,则直线l与平面B1D1E所成角的正切值为() A.号 B.9 C.2√2 D.V2 试卷第1页（共4页） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(1,1,1),b=(-1,0,2),则() A.=3: B.与洞向的单位向量为（停，，）： C.a.b=-1; D.cos食)- 15 10.己知△ABC中，点A(3,2)、B(2,1)和C(-2,3),则下列说法正确的是() A.BCI =2v5; B.BC边所在直线的方程为X+2y+4=0: C.△ABC是钝角三角形： D.△ABC的面积为3. 11.下列命题正确的有() A.若向量石，b与空间任意向量都不能构成基底，则a/乃： B.若非零向量a,b,c满足a1b,b1c,则有a/心： C.若A、B、C是不共线的三个点，存在点O,使80P-6OA=OB+OC,则P在平面ABC内： D.若{a-五，c-乙，+是空间的一个基底，则{a,2五，3也是空间的一个基底. 第I卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线过点P(3,2),且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，当△A0B面积为12，则直线l 的方程为 13.已知元=(3，a-2,a+2)(a∈R)是直线1的方向向量，元=(1,2,3)是平面的法向量，若直线l与平 面a相交，则实数a的取值范围 14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线BD1作正方体的截面BFD1E,点E在A1B1上，点F在CD上， 四边形BFD,E面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分)已知a=(2,4,5),万=(3，x,y). (1)若a/历，求实数x,y的值： (2)若a1万，且=√29，求实数x,y的值. 试卷第2页（共4页） 16.(本题满分15分)己知点A(-4,-3),B(3,-2),直线1经过点P(0,1) (1)若1与直线AB平行，求1的斜截式方程； (2)若1与直线AB垂直，求1的一般式方程： (3)若1与线段AB的延长线有交点，求1斜率的取值范围. 17.(本题满分15分)如图，平行六面体ABCD-AB,C1D的底面ABCD是菱形，且 B ∠CCB=∠CCD=∠BCD=60°，CD=CC,设CB=a,CD=b,CC=c C 7D1 (1)用向量a,b,c表示AC1与CB: (2)求证：CA⊥平面CBD: (3)求异面直线AC,与CB,夹角的余弦. 试卷第3页（共4页） 18.(本题满分17分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1BC,AB=BC=CC1=2,点D为线段AC 的中点，线段BC1与B1C的交点为M,若点P在线段CC1上运动，CP的长度为m. B (I)求点M到平面A1BD的距离； C (②)是否存在点P,使得二面角P-BD-A1的余弦值为-寻 若存在，求出m的值，若不存在，说明理由. D 19.(本题满分17分)如图，已知直线过点(3,4)，且与直线3x-4y+2=0垂直，与x轴、y轴的正半轴 分别交于A,B两点，点P为线段AB上一动点，且PQ/OB,PQ交OA于点Q. (I)求线段AB的垂直平分线方程： (2)判断在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形，若存在， 求出点M的坐标：若不存在，请说明理由， 试卷第4页（共4页） 《东莞实验中学2026-2027学年度第一学期第一次段考高二数学》参考答案 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A C B B D ABD ACD ACD 12.2x+3y-12=0 13.a≠-114.√2 15.解：(1)由a∥b可得，存在实数使a=λb, (2=3λ 即4=1·X,…3分 (5=λ·y 解得1=台x=6y=只 …6分 (2)若a1万，则6+4x+5y=0①，…8分 由=√29，则9+x2+y2=29②，…11分 两式联立解得 x=-4 y=2或 41 142…13分 y=- 41 16.解：(1)由题B=号 …2分 因为1与直线AB平行，所以飞= ，…3分 所以1的方程为y=x+1.…5分 (2)因为1与直线AB垂直，所以k1=一7，…7分 所以1的方程为y=-7x+1,即7x+y-1=0.…10分 （3)依腰意k4g=装号-方kg=品=-1.…1分 若1与线段AB延长线有公共点，如图，则1的斜率k的取值范围是(-1，》： …15分 17.解：1)4C=cG-CA=CG-(B+CD)-a-方+6…2分 CB=CB+CC=+C.…4分 (2)由于四边形ABCD为菱形，则CB=CD=CG,即a==, 所以.6-a=l间cos60-,同理可得a万=6c-式， …5分 由题意可得CA=+b+c,BD=b-a,…6分 所以，CABD=(a+b+c)(5-a=b2-2+c.b-c.a=0,…7分 所以CA⊥BD,同理可证CA⊥BC1, 因为BD∩BC1=B,因此，CA⊥平面CBD…9分 答案第1页（共4页） (3)由(1)得 ada-+d=Va-i+j=后+i+c+2ai-2ac-坊- =v8+a+a+a-a-a=2 -atd-VG+d-Va+d+2a-b-va+a+a-3d …11分 0c网-a-i+6+-云-a6+-8号88+a-a2分 AC.CB 3 -a 6 A. 6 …14分 所以，异面直线4C,与CA夹角的余弦为 …15分 18.【详解】（1)三棱柱为直三棱柱，四边形BCC1B1为矩形，M为B1C中点，…1分 以B为坐标原点，BC,BA,BB1正方向为x,y,z轴，可建立如图所示空 间直角坐标系，则M(1,0,1),B(0,0,0),A1(0,2,2),D(1,1,0),…2分 BM=(1,0,1),BA1=(0,2,2),BD=(1,1,0),…3分 设平面A1BD的法向量元=(x,y,Z), B .BA元=2y+2z=0,…4分 C (BD·元=x+y=0 M 令x=1,解得：y=-1,z=1,元=(1，-1,1)，…5分 B-. 点M到平面A,5D的距离d=圆-是-. …7分 D C (2)设存在点P(20,m),使得二面角P-BD-A1的余弦值为-青 …8分 设平面PBD的法向量=(a,b,c), 丽-a0网.D-0叭a+。 。…9分 令c=2,解得：a=-m,b=m,3=(-m,m,2),…12分 s<元-调晶-京解得：m=2孩m-号 …15分 当m=2时，P与C1重合，此时二面角P-BD-A1为锐二面角，不合题意： 当m=时，二面角P-BD-A1为钝二面角，符合题意； 综上所述：存在点P(20,),使得二面角P-BD-A1的余弦值为-手此时m=号…17分 19.【详解】(1)因为直线与直线3x-4y+2=0垂直，所以直线的斜率k=-专 又直线过点(3,4)，所以直线的方程为y-4=-(x-3),即4x+3y-24=0.…2分 答案第2页（共4页） 令y=0,得x=6,即A(6,0);令x=0,得y=8,即B(0,8) 则线段AB的中点坐标为(3,4)，…3分 又直线的斜率k=-手所以线段AB的垂直平分线方程为y-4=x-3),…6分 即3x-4y+7=0;…7分 (2)假定在y轴上存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形， 由(1)知直线的方程为4x+3y-24=0, O(M)A 图1 图2 图3 如图1，当∠PQM=90时，而点M在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，则点M必与原点O重合， 设Q(t,0),因为MQ=PQ,所以P(t,t), 于是有4t+3t-24=0,解得t=头<6，此时M(0,0)满足题意：…10分 如图2，当∠MPQ=90时，由PQ/0B,MP=PQ,知四边形0MPQ为正方形， 设Q(t,0),则P(t1,t1),M(0,t1), 于是有4t1+3t1-24=0,解得t1=<6,此时M(0,)满足题意： …13份 如图3，当∠PMQ=90时，由PQ/0B,MQ=MP,得∠0QM=∠PQM=45°，即0M=0Q, 设Q(t20),则M(0,t),P(t2,8-t) 显然直线QM斜率为-1，则直线PM斜率必为1， 即。=1，解得2=号<6，此时M(0,号)）满足题意.…16分 t2-0 综上，y轴上存在点M(0,0)或M(0,或M(0, ,使△MPQ为等腰直角三角形.…17分 7.【详解】设A(-2,1)关于直线2x-y+10=0的对称点为Cx,y), (x-2)-41+10=0 ，解得-5，即C(-6, 2 D 所以反射光线所在直线方程为y-3=c+.即3x-y+21=0. 8.【详解】因为平面ABCD/平面A1B1C1D1,平面ACM∩平面A1B1C1D1=l, 平面ACM∩平面ABCD=AC,所以l//AC, 因此，直线与平面B1D1E所成角即为直线AC与平面B1D1E所成角， 答案第3页（共4页） 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0)C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4,E(0,2,2),AC=(-2,2,0),D1B1=(2,2,0),D1E=(0,2,-2), 设平面B1D1E的法向量为n=(x,y,z),则} 元：D1B1=2x+2y=0 n·D1E=2y-2z=0 取x=1,解得y=-1,z=-1,所以法向量n=(1,-1,-1), 设直线AC与平面B1D1E所成角为0，日∈[0，引， 则sin6=l4ca 1-2×1+2×(-1)+0×(-1)1 4 14q -2)2+22+02.12+(-1)2+(-1)2V8x3、6 3 11.【详解】A:若a,不共线，则在空间中取与a,6都垂直的非零向量c, 则，b,c可作为空间向量的一组基底，与已知矛盾，故aⅡ，因此本选项说法正确： B:当a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1)时，显然a.乙=0，·元=0，a.元=0， 因此a1b,b1c,但a1c,所以本选项说法不正确： C:因为+台+甘1，所以P,A,B,C四点共面，因此本选项说法正确： D:假设a,2b,3c共面，则由平面向量基本定理可知a-b,c-b,c+a共面， 与{a-b,-五，元+是空间的一个基底矛盾，假设不成立， 所以{石，2乃，3}也是空间的一个基底，所以本选项说法正确 13.【详解】由已知得直线不在平面内也不与平面平行， 故直线的方向向量不垂直于平面的法向量，即元·元≠0，即(3，a-2,Q+2)·(1,2,3)≠0， ∴3+2(a-2)+3(a+2)≠0，解得a≠-1 14.【详解】作EG1BD1于点G,当EG最大时，四边形BFD1E的面积 有最大值 建立如图所示的空间直角坐标系，B(1,0,0),D1(0,1,1), 设E(m,0,1)(0≤m≤1)， D 故BE=(m-1,0,1),BD1=（-1,1,1), 故直线BD,的单位方向向量立=（一方方） 故G到=B-(酝.动2=青√6(0m2-m+), 当m=0或m=1时，GE取得最大值，此时S取得最大值，最大值为：Smx=SBDD,81=V2 答案第4页（共4页）