专题09 立体几何中的位置关系与体积计算问题（专项训练）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题09 立体几何中的位置关系与体积计算问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 空间点线面位置关系的判断 2 题型02 异面直线所成的角 2 题型03 线面角与二面角 3 题型04 平行与垂直的证明 4 题型05 表面积、体积与球 5 03 分层训练・达标过关 6 巩固过关 6 能力提升 7 1、判断空间位置关系的两条路： （1）定理法：从已知条件出发，看能否凑齐某个判定定理的条件； （2）反例法：要否定一个结论，在正方体或长方体中举出反例最快； （3）命题里出现“一定”“必然”等词时，优先考虑用反例否定。 2、求异面直线所成角的三步： （1）平移：把其中一条直线平移到与另一条相交，常借助中点、平行四边形； （2）构形：把角放进一个三角形，算出三边长； （3）用余弦定理求角，注意异面直线所成角的范围是 ，算出来是钝角要取补角。 3、证明平行与垂直的常用工具： （1）线面平行：线线平行 ⇒ 线面平行（判定定理），或由面面平行推出； （2）线面垂直：两条相交直线都垂直于该直线 ⇒ 线面垂直； （3）面面垂直：一个平面过另一个平面的一条垂线即可。 4、表面积与体积计算的三个要点： （1）旋转体先看清是哪条边作轴，再套侧面积与体积公式； （2）不规则几何体用“切割”或“补形”，把体积转成几个规则几何体的和差； （3）等体积转化常用来求点到平面的距离。 题型01 空间点线面位置关系的判断 位置关系判断题的处理技巧 （1）先分清命题的条件与结论，逐条对照判定定理； （2）拿不准时用正方体作模型，把直线与平面放进去验证； （3）注意“内”“外”“相交”“平行”这些词，条件缺一个结论就可能不成立。 1．已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 题型02 异面直线所成的角 异面直线所成角的求法 （1）在正方体、正棱柱中，优先用“平移 + 中位线”找角； （2）把三条边算出来，用余弦定理求角； （3）结果为负时取绝对值再判断，异面直线所成角不会超过 。 1．在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 2．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型03 线面角与二面角 线面角与二面角的处理 （1）线面角：找出斜线在平面内的射影，角就是斜线与射影的夹角； （2）二面角：在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线； （3）折叠问题先画出折前的平面图，标清哪些量在折叠中保持不变。 1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，为的中点．线段的长是（    ） A． B． C． D． 2．将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 3．如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与相交. B． 平面 C．平面 D．平面平面 题型04 平行与垂直的证明 线面关系的证明方法 （1）线面平行优先找“平面内的一条平行线”，常用中位线或平行四边形； （2）线面垂直要凑够“两条相交直线”，只说一条是不够的； （3）书写时按“条件 → 定理 → 结论”的格式分行写出，每一步都要有依据。 1．已知正方体的棱长为2. (1)证明：； (2)求二面角的正切值. 2．如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 3．（2024高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1) 平面； (2) 平面. 题型05 表面积、体积与球 表面积与体积的计算方法 （1）旋转体先定旋转轴，再套侧面积、全面积公式； （2）锥体体积用 ，注意 是顶点到底面的距离； （3）遇到不规则几何体，用切割补形或等体积转化处理。 1．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 巩固过关 1．若表示不重合的直线，表示平面，则下列说法中正确的个数为（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知正方体，下列直线与所成角为的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（ ）条. A． B． C． D． 4．一个正三棱柱高为，底面边长为2，则该正三棱柱的体积为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 5．若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱的高为3，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆柱的底面半径为3cm，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 能力提升 1．已知四棱锥底面为正方形，平面，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 2．如图，在正方体中，直线与直线（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 3．如图，在三棱锥中，，平面. (1)求证：平面； (2)是的中点，在上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，并证明；若不存在，说明理由. 4．如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 5．如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 立体几何中的位置关系与体积计算问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 空间点线面位置关系的判断 2 题型02 异面直线所成的角 2 题型03 线面角与二面角 3 题型04 平行与垂直的证明 4 题型05 表面积、体积与球 5 03 分层训练・达标过关 6 巩固过关 6 能力提升 7 1、判断空间位置关系的两条路： （1）定理法：从已知条件出发，看能否凑齐某个判定定理的条件； （2）反例法：要否定一个结论，在正方体或长方体中举出反例最快； （3）命题里出现“一定”“必然”等词时，优先考虑用反例否定。 2、求异面直线所成角的三步： （1）平移：把其中一条直线平移到与另一条相交，常借助中点、平行四边形； （2）构形：把角放进一个三角形，算出三边长； （3）用余弦定理求角，注意异面直线所成角的范围是 ，算出来是钝角要取补角。 3、证明平行与垂直的常用工具： （1）线面平行：线线平行 ⇒ 线面平行（判定定理），或由面面平行推出； （2）线面垂直：两条相交直线都垂直于该直线 ⇒ 线面垂直； （3）面面垂直：一个平面过另一个平面的一条垂线即可。 4、表面积与体积计算的三个要点： （1）旋转体先看清是哪条边作轴，再套侧面积与体积公式； （2）不规则几何体用“切割”或“补形”，把体积转成几个规则几何体的和差； （3）等体积转化常用来求点到平面的距离。 题型01 空间点线面位置关系的判断 位置关系判断题的处理技巧 （1）先分清命题的条件与结论，逐条对照判定定理； （2）拿不准时用正方体作模型，把直线与平面放进去验证； （3）注意“内”“外”“相交”“平行”这些词，条件缺一个结论就可能不成立。 1．已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 2．已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或异面，故A错误； 对于B；因为，则存在直线，使得，又，所以，则，故B正确； 对于C：因为，，则或或与平面相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：因为，，则或，故D错误. 故选：B 3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】对于ABC，由答案不完备即可判断错误；对于D，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理即可判断正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，则或相交或，故C错误； 对于D， 如图，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，，且， 所以，，又， 所以，又， 所以，故正确. 故选：D. 题型02 异面直线所成的角 异面直线所成角的求法 （1）在正方体、正棱柱中，优先用“平移 + 中位线”找角； （2）把三条边算出来，用余弦定理求角； （3）结果为负时取绝对值再判断，异面直线所成角不会超过 。 1．在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【答案】A 【分析】易知与互为异面直线，根据线面垂直的判定定理与性质即可证明. 【详解】如图，易知与互为异面直线. 连接，则， 又面，面， 所以，又面， 所以面，又面， 所以. 故选：A 2．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 【详解】如图，连接    在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 3．已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得. 【详解】连接，，如图： 因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在中， ， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 题型03 线面角与二面角 线面角与二面角的处理 （1）线面角：找出斜线在平面内的射影，角就是斜线与射影的夹角； （2）二面角：在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线； （3）折叠问题先画出折前的平面图，标清哪些量在折叠中保持不变。 1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，为的中点．线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，作出四棱锥的高，并用求出高，再用体积解出即可. 【详解】 由已知，设，则矩形的面积， 取中点，连接， ∵是等边三角形，，∴，且, ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，即是四棱锥的高， ∴四棱锥的体积 ∴解得，，∴. 故选：D. 2．将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的几何定义可得为二面角的平面角，进而根据三角形的边角关系求解. 【详解】取中点，连接, 则有， 则为二面角的平面角， 即，则为等边三角形， 故, 过作， 由于，故, 因此， 故, 故选：B 3．如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与相交. B． 平面 C．平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】由异面直线定义可得A错误，根据线面平行判定定理可证明B正确，由线面垂直性质可得C错误，由面面垂直判定可得D错误. 【详解】对于A，易知与互为异面直线，即A错误； 对于B，由正方体性质可得，且平面，平面， 所以 平面，即B正确； 对于C，与平面相交，不垂直，即C错误； 对于D，平面与平面相交，不垂直，即D错误. 故选：B 题型04 平行与垂直的证明 线面关系的证明方法 （1）线面平行优先找“平面内的一条平行线”，常用中位线或平行四边形； （2）线面垂直要凑够“两条相交直线”，只说一条是不够的； （3）书写时按“条件 → 定理 → 结论”的格式分行写出，每一步都要有依据。 1．已知正方体的棱长为2. (1)证明：； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1) 在正方体中，， 平面，平面，. 又，､平面，平面. 又平面，. (2) 【分析】（1）先证明线面垂直，进而根据线面垂直的性质求解， （2）根据二面角的定义可得为所求，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）略 （2）连接AC，与交于点，连结， ， 是二面角的平面角， ∴二面角的正切值为. 2．如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)点 为 的中点； (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 3．（2024高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1) 平面； (2) 平面. 【答案】(1) 由题，四边形为正方形，则 AB. 又平面，面，则 平面； (2) 由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则 上平面 【分析】（1）通过证明 AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【详解】（1）略 （2）略 题型05 表面积、体积与球 表面积与体积的计算方法 （1）旋转体先定旋转轴，再套侧面积、全面积公式； （2）锥体体积用 ，注意 是顶点到底面的距离； （3）遇到不规则几何体，用切割补形或等体积转化处理。 1．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正四棱锥的性质及勾股定理即可求出侧面积. 【详解】 由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可知， 在直角三角形中，有， 所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是， 故选：C. 2．已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设该圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个半圆， 所以，则， 所以该半圆的弧长为． 则这个圆锥的底面半径为. 3．如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可. 【详解】对A：如图： 连接，交于点，连接，则，平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误； 对B：如图： 因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对C：如图： 取中点，易证四点共面，且，平面， 平面，所以平面，故C正确； 对D：如图： 连接，则，平面，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD 巩固过关 1．若表示不重合的直线，表示平面，则下列说法中正确的个数为（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①正确，，．又，； ②正确，，．又，； ③正确，由线面垂直的定义可知其正确，故选D． 2．已知正方体，下列直线与所成角为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以与所成的角为， 又，所以与所成的角为． 3．如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（ ）条. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用长方体的结构特征直接判断得解. 【分析】在长方体中，与平面垂直的棱有、、、，共条. 4．一个正三棱柱高为，底面边长为2，则该正三棱柱的体积为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据棱柱的体积公式求解即可. 【详解】正三棱柱高为，底面边长为2， 则正三棱柱的体积为． 5．若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱的高为3，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱和圆锥的结构和体积公式进行求解即可. 【详解】设该圆锥的高为，圆柱底面半径为，圆锥底面半径为， 则，解得，圆锥的体积为， 故选：B． 6．已知圆柱的底面半径为3cm，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆柱体积求得圆柱的高，再利用表面积公式计算即得. 【详解】设圆柱的高为，由题意，，解得， 则圆柱的表面积为cm2. 故选：D. 能力提升 1．已知四棱锥底面为正方形，平面，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】推导出，可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用反证法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，则， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则，故为锐角，A错； 对于B选项，因为平面，平面，则，B对； 对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合， 矛盾，假设不成立，C错； 对于D选项，若平面，则与平面无公共点， 这与平面矛盾，假设不成立，D错. 故选：B. 2．如图，在正方体中，直线与直线（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由图正方体结构特点及异面直线的定义可得答案. 【详解】由图知平面，平面，， 根据异面直线的定义，直线与直线异面. 故选：A 3．如图，在三棱锥中，，平面. (1)求证：平面； (2)是的中点，在上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为平面，平面，所以， ，即， 又平面，平面，， 所以平面. (2)存在，点是的中点. 取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）由平面得出，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，利用是的中位线得，再用线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明: 因为，，平面， 所以平面. (2)20 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. 【详解】（1）略； （2）因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为. 5．如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 【答案】(1) 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又D是线段BC的中点，且，所以， 因为，平面, 所以平面. (2) 【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面， 因为是边长为2的正三角形， 所以，则， 则， 所以三棱锥的体积为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $