立体几何：外接球形构造问题 专项训练-2026届高考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦立体几何外接球构造，以补形法为核心，系统整合多几何体类型，构建“结构分析-补形转化-半径求解”逻辑链条，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角几何体|5题|补形法（长方体/正方体）|垂直关系→补形求半径| |翻折与动态|4题|构造法+空间坐标|翻折不变量→几何关系构建| |特殊几何体|3题|等体积法+模型转化|正四面体/四棱台→外接球模型|

2026届高考数学三轮冲刺典型考点归纳： 立体几何--外接球形构造问题 一、单选题 1．已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（   ）    A． B． C． D． 4．在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面四边形中，与交于点，且，，，剪去，将沿翻折，沿翻折，使点与点重合于点，则翻折后的三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（    ） A．2 B． C． D．4 8．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图甲，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 11．已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．如图，在正四棱台中，，，与平面夹角的正弦值为，为上一点，则下列说法正确的是（该四棱台内切球不一定与所有的面都相切，以半径最大时且相切面数最多的球体为内切球）（    ） A．该几何体的体积为 B．存在点，使得 C．该四棱台外接球与内切球的体积之比为 D．存在点，使得平面平面 13．如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（   ） A．该水杯侧面积为 B．该水杯里牛奶的体积为 C．放入的椰果半径为 D．该水杯外接球的表面积为 三、填空题 14．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为 ． 15．四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 . 16．在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 四、解答题 17．如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点． (1)若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积； (2)若，，，求四面体外接球的表面积． 18．如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. (1)求证：； (2)当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； (3)，若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 19．如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求四面体外接球的体积； (3)求的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A A C C D A D 题号 11 12 13 答案 A AB BCD 1．D 设，求出三棱锥的体积，又三棱锥的外接球等价于棱长为的正方体的外接球，求出球的表面积，等于三棱锥的体积求出，根据点到平面的距离即为可得答案. 由三棱锥为正三棱锥，且其侧面均为直角三角形， 则其各侧面均为等腰直角三角形，设， 则，故该三棱锥的体积， 又该三棱锥的外接球等价于棱长为的正方体的外接球， 故外接球的半径， 则球的表面积，则有， 解得， 则点到平面的距离即为. 故选：D. 2．B 根据给定条件，将三棱锥补形成长方体，利用长方体与该三棱锥的相同的外接球求解. 设棱的中点分别为，连接， 构造长方体，则长方体外接球的表面积 即为三棱锥外接球的表面积．依题意，， 设长方体外接球的半径为R，则， 所以其外接球的表面积． 故选：B 3．C 将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可. 由，，平面，， 所以平面． 将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同， 由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，    记的外心为，由为边长为的等边三角形，可得． 又，故在中，， 即三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：C 4．A 根据余弦定理和正弦定理可得外接圆半径，结合三棱锥的性质得外接球的半径，可解. 设外接圆半径为， 在中，由余弦定理，， 即，整理得， 所以，故 由正弦定理得，所以， 三棱锥的外接球的半径 三棱锥的外接球的表面积的最小值为. 故选：A． 5．A 将正四面体放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体的外接球，求出半径，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解. 将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故选： 6．C 根据给定条件，可得两两垂直，再补形成长方体，借助长方体求出球的表面积. 依题意，在三棱锥中，， 因此三棱锥可以补形成以为共点三条棱的长方体， 该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设球半径为， 则， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 7．C 把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此求得，即得，作，垂足为，连接，是二面角的平面角，，从而可得，即得，再由体积公式可得结论． ∵PA，PB，PC两两垂直，所以可以把三棱锥补成一个长方体，如图，是该长方体同一顶点处的三条棱， 长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径， 由得， 所以， 作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，同理， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由得，而， 又， 所以，所以， ， 故选：C． 8．D 构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可. 根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 9．A 将四棱锥补成正方体，计算正方体的外接球半径即可得到结果. 如图，将四棱锥补成正方体，正方体体对角线长为， 则四棱锥的外接球为正方体的外接球，外接球半径为， 所以四棱锥的外接球表面积为. 故选：A. 10．D 将三棱锥补成一个长方体，由三棱锥的外接球即为长方体的外接球求解. 解：由题意可得，，，且，，， 所以三棱锥可补成一个长方体， 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 如图所示： 设长方体的外接球的半径为R，可得， 所以外接球的体积为. 故选：D. 11．A 设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. 12．AB 对于A，根据正四棱台的性质可求高，从而可求体积；对于BD，利用向量法可求判断的存在性，对于C，就球与不同的面相切的情形讨论球的半径的范围或取值，从而可判断其正误. 对于A，连接、，分别过点、作平面的投影， 垂足分别为、，则. 而，， 由正四棱台的性质可得，且为正四棱台的高， 而，， 故，故A正确. 对于BD， 以底面中心为原点，以平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴， 以过且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，则，， 故， 若存在点，使得，则， 故，故B正确. 又，而 设平面的法向量为，则， 取， 设平面的法向量为，则， 取，， 故不垂直，故平面、平面不垂直，故D错误. 对于C，连接，则外接球的半径即为外接圆的半径， 因为与平面夹角的正弦值为且该夹角为锐角，故其余弦值为， 由余弦定理得， 由正弦定理得. 若内切球与平面、平面、平面相切， 则该内切球的直径不超过正四棱台的高， 同理若内切球与平面、平面、平面相切， 则该内切球的直径也不超过正四棱台的高， 同理若内切球与平面、平面、平面相切， 则该内切球的直径也不超过正四棱台的高， 若球与平面、平面相切， 取球心为上下底面中心连线的中点， 而，取的中点为，的中点为，连接，，， 由正四棱台可得，，，， 而平面，故平面， 而平面，故平面平面， 过作，因为平面平面，平面， 故平面. 又，而， 故，故， 故当球与平面、平面相切，球不与侧面相切， 故此时与上下底面相切的球即为内切球， 故体积之比，故C错误. 故选：AB. 13．BCD 根据圆台的侧面积公式即可求解A，根据圆台的体积公式即可求解B，结合球的体积即可求解C,利用勾股定理求解半径，即可根据表面积公式求解D. 由题意可知圆台的上底面圆半径为，下底面圆半径，圆台的高， 设圆台的母线为，则， 故圆台的侧面积为，故A错误， 牛奶面所在的圆的半径为， 故水杯中牛奶的体积为，故B正确， 水杯的体积为, 故37个小球的体积为， 设小球的半径为，进而,解得，故C正确， 设水杯的外接球的球心到上底面的距离为,则，解得， 故外接球的半径为，故其表面积为，故D正确， 故选：BCD 14． 利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再应用体积公式计算求解. 如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中， 则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， . 故答案为：. 15． 由题意可作图，将符合题意的四面体放在正四棱柱中，利用分割法，根据四棱柱与三棱锥的体积公式，可得空一的答案；根据正四棱柱的外接球，结合球的表面公式，可得空二的答案. 不妨设四面体为，，，， 可将四面体放置在长方体中，如图所示:    设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，，， 则四面体的体积， 该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则， 所以球的表面积为. 故答案为：；. 16． 由条件，三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，所以将三棱锥补成正方体，正方体的外接球即为三棱锥的外接球，进而求得半径即可求解. 由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点， 将三棱锥补成正方体，棱长为1， 则该正方体的外接球的直径为， 即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为， 则球O的表面积为. 故答案为：. 17．(1)， (2) （1）依题意可得为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，即可求出其表面积，利用割补法求出其体积； （2）依题意长方体的外接球即为此四面体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得到外接球的表面积． （1）若四面体各棱长均为， 则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体， 所以， ； （2）由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点， 所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球， 设此四面体所在长方体的棱长分别为，，， 则，解得， 设长方体外接球的半径为，则，则， 所以外接球的表面积为． 18．(1)证明见详解 (2) (3) （1）由题可知，根据线面垂直的判定即可证明平面，继而得到； （2）根据题意可得两两垂直，三棱锥可放入以为边的长方体中，长方体体对角线就是其外接球直径，求出体对角线长即可得到外接圆面积； （3）利用等体积法可得点到平面的距离为，根据线面角的定义可得，再利用函数的单调性求最值即可. （1）在正方形ABCD中,, 所以翻折后，又平面， 所以平面，又平面，所以. （2）在正方形ABCD中，，翻折后， 又，所以两两垂直， 三棱锥可放入以为边的长方体中， 所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为 ， 即外接球半径，表面积 三棱锥SDEF的外接球的表面积. （3）设，设点到平面的距离为， 则， ，， 则， ， 又由（1）知平面，所以， ，解得， 又直线与平面所成角为， 所以， 又因为，当，即时取等， 所以在单调递减，即， 则， 所以的最大值为. 19．(1)证明见解析； (2)； (3). (1)利用勾股定理证明一个线线垂直，再利用一个已知的垂直关系，即可证明线面垂直； (2)利用线面垂直可得线线垂直，再证明平面，从而可得直角四面体，利用补形法求外接球半径，即可求出体积； (3)利用换底面建立空间直角坐标系，把所求的线段长设为参数，结合已知数据表示各点坐标，通过法向量夹角余弦值的绝对值为，建立相等关系求解即可. （1）由，，，可得：， 则由勾股定理得：，又，，平面， 所以平面； （2）由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 则四面体满足平面，， 因此这个四面体可以放在一个长方体里， 所以外接球的直径就是该长方体的体对角线， 因为，所以外接球的半径， 即该外接球的体积， （3）把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 由于平面，，，, 设，则， 即， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 因为二面角的大小为， 所以，解得 故 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $