专题08 复数中的四则运算与几何意义问题（专项训练）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题08 复数中的四则运算与几何意义问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 复数的四则运算 2 题型02 i 的幂与周期性 2 题型03 复数相等与实部虚部 2 题型04 模、共轭与复数方程 3 题型05 复平面的几何意义 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 4 1、复数四则运算的注意事项： （1）加减法就是实部与实部、虚部与虚部分别相加减； （2）乘法按多项式展开，把 换成 ； （3）除法分子分母同乘分母的共轭复数，把分母变成实数 ； （4）最后结果一律写成 的标准形式，再判断实部与虚部。 2、i 的幂要先把指数化成除以 4 的余数： （1）周期是 4：，，，； （2）指数是负数或很大时，先化成 的形式再代； （3）含 i 的幂的方程，先化简左边再比较实部虚部。 3、复数相等与实部虚部： （1） 等价于 且 ，这是求参数的基本依据； （2）虚部是 b，不是 bi，写答案时不要带 i； （3）纯虚数要求实部为零且虚部不为零，两个条件都要写。 4、复平面的几何意义： （1） 对应点 ，实轴看 、虚轴看 ； （2）模 是点到原点的距离； （3）共轭复数对应点关于实轴对称，实部相同、虚部相反。 题型01 复数的四则运算 复数四则运算的处理技巧 （1）乘除之前先看能否约简，能约的先约再算，可以省掉大量展开； （2）分母是 这类时，直接乘它的共轭最省事； （3）结果写成 后再作答，避免把虚部误写成 。 1．（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】由题意知，． 故选：B 2．（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 3．已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 题型02 i 的幂与周期性 i 的幂的处理方法 （1）先把指数除以 4 取余，换成 、、、 中的一个； （2）负指数化成倒数：，再用周期性； （3）含 i 的幂的分式，先化简分子再除，不要直接展开大指数。 1．已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 【答案】A 【分析】根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可. 【详解】由题意得， 所以. 所以复数的实部为2. 故选：. 2．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】根据的周期性可知，，， 所以， 所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，虚部为. 题型03 复数相等与实部虚部 由复数相等求参数 （1）先化成 的标准形式，再把实部、虚部分别对齐； （2）出现两个未知数时列方程组，解完代回检验； （3）问到“虚部”时只写 b，“实部”只写 a。 1．的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2．适合的实数，的值是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据复数相等，得到方程组，求出，，得到答案. 【详解】， 若，则，故，，满足要求， 若，则，则，无解， 综上，且，C正确 故选：C 3．设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围. 【详解】由题意 . 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以 . 故选：D 题型04 模、共轭与复数方程 模与共轭的运算技巧 （1）解形如 的方程，两边同除 ，再乘共轭化简； （2）求模可以用 、 直接拆分； （3）求 这类式子，先算出 的虚部，结果就是 。 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 2．复数满足，则（    ） A． B． C． D．i 【答案】D 【分析】根据复数除法运算求得正确答案. 【详解】由于，所以. 故选：D 3．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的模的运算得到的值，再由复数的除法运算求出. 【详解】，即， ， 故选：A 题型05 复平面的几何意义 复平面问题的处理 （1）先把复数化成 ，点 落在哪个象限就清楚了； （2）乘 相当于把对应点绕原点逆时针转 ，可以帮助快速定象限； （3）关于实轴对称是取共轭，关于虚轴对称是实部取相反数。 1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）设（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的乘法求出及对应点的坐标即可. 【详解】依题意，，所以在复平面内复数对应的点位于第一象限. 故选：A 2．（2024·江苏南京·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】设出复数的代数形式，利用复数的除法运算求出即可判断得解. 【详解】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设， 则，显然， 所以点在第一象限，A正确. 故选：A 3．在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 巩固过关 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 2．已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简方程可得，由此可求. 【详解】因为，即， 可得，所以. 故选：C. 3．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算复数，得到复数对应的点，由对称性即可得复数对应的点，进而得复数. 【详解】，所以复数对应的点为， 因为复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数对应的点为， 所以， 故选：D. 4．已知为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用复数的运算法则求得，再由模长公式求解，或利用复数模的性质求解. 【详解】因为，所以． （方法二）：. 故选：D． 5．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 6．已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于虚轴对称，则（   ） A． B．9 C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意求出，再利用复数的加法运算和复数的模的定义即得. 【详解】依题意，点与点关于虚轴对称，可得，则， 于是，则. 故选：C. 能力提升 1．设复数，则“”是“为实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】为实数. 【详解】若，则， 为实数， 为实数； 若为实数，， 则有，或， 为实数， “”是“为实数”的充分不必要条件． 2．若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据虚数单位的周期性和复数的除法可得. 【详解】因为，所以， 所以. 3．若复数，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】结合的性质利用复数的运算法则求解，再根据共轭复数的概念求解，从而求解． 【详解】 ，所以， 所以. 故选：A． 4．（2024高二上·江苏·学业考试）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棣莫弗公式化简求解. 【详解】由棣莫弗公式，. 故选：D. 5．欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数，进而得出所求复数. 【详解】由题意，复数. 故选：A 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 复数中的四则运算与几何意义问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 复数的四则运算 2 题型02 i 的幂与周期性 2 题型03 复数相等与实部虚部 2 题型04 模、共轭与复数方程 3 题型05 复平面的几何意义 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 4 1、复数四则运算的注意事项： （1）加减法就是实部与实部、虚部与虚部分别相加减； （2）乘法按多项式展开，把 换成 ； （3）除法分子分母同乘分母的共轭复数，把分母变成实数 ； （4）最后结果一律写成 的标准形式，再判断实部与虚部。 2、i 的幂要先把指数化成除以 4 的余数： （1）周期是 4：，，，； （2）指数是负数或很大时，先化成 的形式再代； （3）含 i 的幂的方程，先化简左边再比较实部虚部。 3、复数相等与实部虚部： （1） 等价于 且 ，这是求参数的基本依据； （2）虚部是 b，不是 bi，写答案时不要带 i； （3）纯虚数要求实部为零且虚部不为零，两个条件都要写。 4、复平面的几何意义： （1） 对应点 ，实轴看 、虚轴看 ； （2）模 是点到原点的距离； （3）共轭复数对应点关于实轴对称，实部相同、虚部相反。 题型01 复数的四则运算 复数四则运算的处理技巧 （1）乘除之前先看能否约简，能约的先约再算，可以省掉大量展开； （2）分母是 这类时，直接乘它的共轭最省事； （3）结果写成 后再作答，避免把虚部误写成 。 1．（   ） A． B．0 C．2 D． 2．（     ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D．1 题型02 i 的幂与周期性 i 的幂的处理方法 （1）先把指数除以 4 取余，换成 、、、 中的一个； （2）负指数化成倒数：，再用周期性； （3）含 i 的幂的分式，先化简分子再除，不要直接展开大指数。 1．已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 2．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 题型03 复数相等与实部虚部 由复数相等求参数 （1）先化成 的标准形式，再把实部、虚部分别对齐； （2）出现两个未知数时列方程组，解完代回检验； （3）问到“虚部”时只写 b，“实部”只写 a。 1．的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．适合的实数，的值是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型04 模、共轭与复数方程 模与共轭的运算技巧 （1）解形如 的方程，两边同除 ，再乘共轭化简； （2）求模可以用 、 直接拆分； （3）求 这类式子，先算出 的虚部，结果就是 。 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 2．复数满足，则（    ） A． B． C． D．i 3．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 题型05 复平面的几何意义 复平面问题的处理 （1）先把复数化成 ，点 落在哪个象限就清楚了； （2）乘 相当于把对应点绕原点逆时针转 ，可以帮助快速定象限； （3）关于实轴对称是取共轭，关于虚轴对称是实部取相反数。 1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）设（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·江苏南京·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 巩固过关 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 3．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 6．已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于虚轴对称，则（   ） A． B．9 C．2 D． 能力提升 1．设复数，则“”是“为实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．若复数，则（ ） A． B． C． D．2 4．（2024高二上·江苏·学业考试）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（    ） A． B． C． D． 5．欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $