专题07 平面向量中的线性表示与数量积问题（专项训练）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题07 平面向量中的线性表示与数量积问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 向量的线性运算与几何表示 2 题型02 数量积的计算 2 题型03 投影向量与模长 3 题型04 坐标运算与共线、垂直 4 题型05 综合应用与含参问题 4 03 分层训练・达标过关 5 巩固过关 5 能力提升 5 1、向量线性运算的三条基本法则： （1）三角形法则：首尾相接，起点指向终点； （2）平行四边形法则：共起点时，以两边为邻边作平行四边形，对角线就是和； （3）减法法则：共起点，箭头由减向量指向被减向量。 2、用基底表示向量的三个步骤： （1）选基底：一般选已知长度与夹角的两条边； （2）找路径：从所求向量的起点出发，沿着图形的边一路走到终点； （3）拆分：每一步都用三角形法则或中点、三等分点关系化成基底。 3、数量积的三种算法： （1）定义式：，适合已知模与夹角； （2）坐标式：，适合给出坐标； （3）平方变形：，求模长时先平方再开方。 4、共线与垂直的判定要分清： （1） 等价于存在实数 使 （），坐标式是 ； （2） 等价于 ，坐标式是 ； （3）求夹角用 ，先用坐标或定义把分子分母算出来。 题型01 向量的线性运算与几何表示 用基底表示向量的方法 （1）先在图上把所求向量放进某个三角形，用三角形法则拆成两段； （2）中点、三等分点、比例点都用“起点 系数 整条边”的形式化开； （3）整理时把同一基底的系数合并，对照选项形式作答。 1．在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 题型02 数量积的计算 数量积的计算技巧 （1）已知模与夹角直接用定义式，注意夹角的取值范围是 ； （2）求形如 的式子，先展开成 再代入； （3）已知 求 ，两边平方即可，这是最常用的一步。 1．已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 3．已知向量满足，则（    ） A． B． C．2 D． 题型03 投影向量与模长 投影向量与模长的处理 （1） 在 上的投影向量是 ，注意是向量不是数量； （2）投影数量是 ，可以为负，符号由夹角决定； （3）求模长先平方：，再开方。 1．已知向量与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 题型04 坐标运算与共线、垂直 坐标运算与位置关系的判定 （1）共线条件用 ，垂直条件用 ，两者不要混； （2）含参时先列方程再解，解完代回检验是否为零向量； （3）求夹角先算数量积与两个模长，再代 的公式。 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，若，则（   ） A．1 B．-2 C．2 D． 题型05 综合应用与含参问题 向量综合题的解题策略 （1）条件里出现 与 垂直，先展开成关于 的方程再解； （2）充要条件问题把向量语言翻译成数量积的符号，再按定义判断； （3）图形中的向量关系，先用基底或对角线把所求向量拆开，再用共线、模长与单位向量的定义逐项判断； 1．（2023高三·江苏·学业考试）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 2．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在平行四边形中，对角线，相交于点，则（    ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 巩固过关 1．已知与的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D． 2．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则与（    ） A．垂直 B．平行且同向 C．平行且反向 D．不垂直也不平行 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 6．已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B． C． D． 能力提升 1．已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是______. 2．（23-24高三上·江苏南通·阶段检测）已知向量满足，的夹角为，则______. 3．已知向量与的夹角为60°，． (1)求的值； (2)求为何值时，向量与相互垂直． 4．向量． (1)若，求k的值． (2)若，求． 5．已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量中的线性表示与数量积问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 向量的线性运算与几何表示 2 题型02 数量积的计算 2 题型03 投影向量与模长 3 题型04 坐标运算与共线、垂直 4 题型05 综合应用与含参问题 4 03 分层训练・达标过关 5 巩固过关 5 能力提升 5 1、向量线性运算的三条基本法则： （1）三角形法则：首尾相接，起点指向终点； （2）平行四边形法则：共起点时，以两边为邻边作平行四边形，对角线就是和； （3）减法法则：共起点，箭头由减向量指向被减向量。 2、用基底表示向量的三个步骤： （1）选基底：一般选已知长度与夹角的两条边； （2）找路径：从所求向量的起点出发，沿着图形的边一路走到终点； （3）拆分：每一步都用三角形法则或中点、三等分点关系化成基底。 3、数量积的三种算法： （1）定义式：，适合已知模与夹角； （2）坐标式：，适合给出坐标； （3）平方变形：，求模长时先平方再开方。 4、共线与垂直的判定要分清： （1） 等价于存在实数 使 （），坐标式是 ； （2） 等价于 ，坐标式是 ； （3）求夹角用 ，先用坐标或定义把分子分母算出来。 题型01 向量的线性运算与几何表示 用基底表示向量的方法 （1）先在图上把所求向量放进某个三角形，用三角形法则拆成两段； （2）中点、三等分点、比例点都用“起点 系数 整条边”的形式化开； （3）整理时把同一基底的系数合并，对照选项形式作答。 1．在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 2．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 3．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 题型02 数量积的计算 数量积的计算技巧 （1）已知模与夹角直接用定义式，注意夹角的取值范围是 ； （2）求形如 的式子，先展开成 再代入； （3）已知 求 ，两边平方即可，这是最常用的一步。 1．已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义求解. 【详解】. 故选：B 2．如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义进行运算即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以， 所以. 故选：C 3．已知向量满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】首先根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 即，则， 所以. 故选：D 题型03 投影向量与模长 投影向量与模长的处理 （1） 在 上的投影向量是 ，注意是向量不是数量； （2）投影数量是 ，可以为负，符号由夹角决定； （3）求模长先平方：，再开方。 1．已知向量与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用投影向量公式结合数量积公式计算即可. 【详解】向量与上的投影向量为 . 故选：B. 2．已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为向量与的夹角是，且，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解. 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 题型04 坐标运算与共线、垂直 坐标运算与位置关系的判定 （1）共线条件用 ，垂直条件用 ，两者不要混； （2）含参时先列方程再解，解完代回检验是否为零向量； （3）求夹角先算数量积与两个模长，再代 的公式。 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量，，得. 2．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量平行的充要条件即可列方程求解. 【详解】已知平面向量，，若，则，解得. 故选：C. 3．已知平面向量，若，则（   ） A．1 B．-2 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示与向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，所以， 解得. 故选：D. 题型05 综合应用与含参问题 向量综合题的解题策略 （1）条件里出现 与 垂直，先展开成关于 的方程再解； （2）充要条件问题把向量语言翻译成数量积的符号，再按定义判断； （3）图形中的向量关系，先用基底或对角线把所求向量拆开，再用共线、模长与单位向量的定义逐项判断； 1．（2023高三·江苏·学业考试）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案. 【详解】由已知向量， 可得， 由可得， 即，解得， 故选：D 2．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由推出成立，证明充分性；再举反例，两向量夹角为钝角时但不共线，推不出存在负数，证明必要性. 【详解】充分性证明：若，使，则两向量，反向，夹角是，那么，充分性成立； 必要性证明：若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，必要性不成立. 综上“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件. 【点睛】判断充分必要条件的方法： （1）根据定义，若可以推出，不可以推出，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件； 若，那么，互为充要条件；若不可以推出，也不可以推出，那么就是既不充分也不必要条件； （2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知 ,若真包含于， 那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件； 若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件. （3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断. 3．在平行四边形中，对角线，相交于点，则（    ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 【答案】ACD 【分析】对于A，由向量加法的平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分即可判断；对于B，与共线的单位向量可能同向，可能反向，从而可判断；对于C，两边平方之后化简，再结合矩形的特征即可判断；对于D，根据数量积的运算展开，再结合菱形的特征即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量为和，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为矩形，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为菱形，故D正确. 故选：ACD. 巩固过关 1．已知与的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义计算. 【详解】. 故选：B. 2．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的定义求解． 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 3．已知向量，，则与（    ） A．垂直 B．平行且同向 C．平行且反向 D．不垂直也不平行 【答案】C 【分析】根据平面向量的坐标关系得出，由此可得出结论. 【详解】向量，，，因此，与平行且反向. 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量共线的判断，属于基础题. 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算，得，再由夹角公式，取可求解. 【详解】因为，，则， 又，所以，解得，即， 所以. 故选：D. 5．已知向量，．若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 6．已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把平方，结合数量积的运算律化简即得解. 【详解】由，可得，则， 可得，解得. 故选：C. 能力提升 1．已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】令，，由，得到求解. 【详解】解：由题意，令，， 则，所以， 由，得， 所以.， 故答案为： 2．（23-24高三上·江苏南通·阶段检测）已知向量满足，的夹角为，则______. 【答案】 【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 3．已知向量与的夹角为60°，． (1)求的值； (2)求为何值时，向量与相互垂直． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合已知条件求解； （2）由题意可得化简后可求得的值. 【详解】（1）因为向量与的夹角为60°， 所以 （2）因为向量与相互垂直， 所以，则， 所以， 则 4．向量． (1)若，求k的值． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行向量的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得出参数，再根据模的坐标运算即得. 【详解】（1）因为所以，则． （2）因为，，所以，． ，． 5．已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，即可求出，再计算其模. 【详解】（1）因为，， 由，可得，解得． （2）依题意， 若，则有，解得， 所以，． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $