专题06 三角恒等变换与解三角形中的求值与测量问题（专项训练）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题06 三角恒等变换与解三角形中的求值与测量问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 两角和与差公式的求值 2 题型02 二倍角公式与降幂求值 2 题型03 三角函数的最值与性质 3 题型04 正、余弦定理求边角 3 题型05 三角形形状判断与面积 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 4 1、三角恒等变换的三条主线是： （1）化名：把切化成弦，或者把弦化成切，先统一函数名； （2）化角：把不同的角化成同一个角，或化成两角之和差的形式； （3）化次：用二倍角公式与降幂公式把次数降下来，化成一次式。 2、给值求值题的通用步骤是： （1）先看已知角与所求角的关系：是相等、互补、互余，还是差一个特殊角； （2）再选公式：直接代、整体代换还是拆角； （3）最后由角的范围定符号，这一步最容易丢分。 3、解三角形时两条定理这样选： （1）已知两角与一边，或已知两边与其中一边的对角，用正弦定理； （2）已知两边及其夹角，或已知三边，用余弦定理； （3）判断三角形形状时，把边化成角或把角化成边，两边同时考察更稳妥。 4、解三角形实际应用题的四个步骤： （1）画出示意图，把题目中的方位角、俯角、仰角标在图上； （2）把已知量与所求量归到同一个三角形里； （3）选择合适的定理求解，必要时设未知数； （4）回到实际情境作答，注意单位与有效数字。 题型01 两角和与差公式的求值 两角和与差公式的求值技巧 （1）观察角的结构，把非特殊角拆成两个特殊角的和或差； （2）结构形如 时，直接逆用和差公式合角； （3）含 的式子优先考虑正切的和差公式，注意分母不为零的条件。 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式可得，结合两角和公式运算求解. 【详解】因为， 所以原式. 故选：A. 3．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的和角公式，计算即可. 【详解】． 故选：D 题型02 二倍角公式与降幂求值 二倍角与降幂公式的使用方法 （1）见到 就想 ，见到 或 就用降幂公式； （2）已知 时，两边平方得 ，这是常用的桥梁； （3）给值求值时，先由角的范围确定三角函数的符号，再代公式。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用余弦二倍角公式，代入已知的的值计算即可求解. 【详解】因为，所以 ， 因此. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边同时平方，结合同角三角函数平方关系及正弦二倍角公式求解即可. 【详解】由题意，两边同时平方得 ， 由同角三角函数平方关系得， 则. 故选：B. 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式即得. 【详解】由二倍角公式可得， . 故选：A. 题型03 三角函数的最值与性质 三角函数最值问题的处理技巧 （1）化成 的形式，最值由 与 直接读出； （2）不能合成一个三角函数时，用换元法化成二次函数，注意新元的范围； （3）求最值前先确定自变量的取值范围，端点处的取值常常是关键。 1．已知函数，则函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】用二倍角公式化为关于的二次函数，由此可求得最大值. 【详解】由， 显然时，. 故选：A 2．函数的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角恒等变换化简函数表达式即可得解. 【详解】，且存在时，有， 也就是说函数的最大值是. 故选：C. 3．已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为______； （2）取最大值时，的一个取值为______. 【答案】 1 （答案不唯一） 【分析】根据倍角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 则，即. 当取最大值时，， 即，， 即，， 所以的一个取值为. 故答案为：1；（答案不唯一）. 题型04 正、余弦定理求边角 正、余弦定理的选择与使用 （1）已知两角一边或两边一对角，走正弦定理；已知两边夹角或三边，走余弦定理； （2）用正弦定理求角时要检验解的个数，可能出现两解、一解或无解； （3）边角混合的等式，用正弦定理统一成角或用余弦定理统一成边，再化简。 1．在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 【答案】C 【详解】在中，根据余弦定理： ， 代入已知条件，且， 得： ， 故. 2．在中，内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理，则. 3．记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】在中，，， 由余弦定理 ，得， 故. 题型05 三角形形状判断与面积 形状判断与面积计算的技巧 （1）判断形状：把条件统一成边或统一成角，再看是否出现 、 或直角三角形关系； （2）求面积用 ，缺角时先用余弦定理求角； （3）已知面积反求边角时，把面积公式与余弦定理联立，消去未知量。 1．在中，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【详解】由，得， 所以，， ，，，，即， 所以的形状是等腰三角形． 2．在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】由平方关系求出，利用三角形面积公式求解. 【详解】，， ， . 故选：A. 3．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到. 【详解】由，解得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 巩固过关 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 2．已知是方程的两个实根，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理，列出方程，再根据两角和的正切公式，求出参数值. 【详解】由韦达定理，可得，(*)， 因， 将(*)代入上式，得，解得. 故选：A． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式，可以得到和的关系，再将所求表达式展开并代入该关系进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由，可得，即， 化简整理得， 又 ， 将代入， 得 . 故选：A 4．已知，则__________． 【答案】 【详解】． 5．_____． 【答案】/0.5 【分析】根据两角和的余弦公式即可求得． 【详解】根据两角和的余弦公式可知． 故答案为：． 6．已知锐角满足，则_________. 【答案】 【分析】先由同角三角函数的基本关系得出；再根据二倍角的正切公式得出；最后根据两角和的正切公式可求解. 【详解】由锐角满足可得：，， 则， 所以. 故答案为： 能力提升 1．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 2．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得，结合范围可求或解得或即可得 【详解】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 3．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 4．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得的长度为， ，则其跨度的长为（    ） A．12m B．8m C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理求三角形的边长. 【详解】由题意知，，所以 ． 由正弦定理，得，即 ． 故选：D. 5．（2024高二上·江苏·学业考试）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】由图可得，， 则由余弦定理可得： . 故选：C 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角恒等变换与解三角形中的求值与测量问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 两角和与差公式的求值 2 题型02 二倍角公式与降幂求值 2 题型03 三角函数的最值与性质 3 题型04 正、余弦定理求边角 3 题型05 三角形形状判断与面积 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 4 1、三角恒等变换的三条主线是： （1）化名：把切化成弦，或者把弦化成切，先统一函数名； （2）化角：把不同的角化成同一个角，或化成两角之和差的形式； （3）化次：用二倍角公式与降幂公式把次数降下来，化成一次式。 2、给值求值题的通用步骤是： （1）先看已知角与所求角的关系：是相等、互补、互余，还是差一个特殊角； （2）再选公式：直接代、整体代换还是拆角； （3）最后由角的范围定符号，这一步最容易丢分。 3、解三角形时两条定理这样选： （1）已知两角与一边，或已知两边与其中一边的对角，用正弦定理； （2）已知两边及其夹角，或已知三边，用余弦定理； （3）判断三角形形状时，把边化成角或把角化成边，两边同时考察更稳妥。 4、解三角形实际应用题的四个步骤： （1）画出示意图，把题目中的方位角、俯角、仰角标在图上； （2）把已知量与所求量归到同一个三角形里； （3）选择合适的定理求解，必要时设未知数； （4）回到实际情境作答，注意单位与有效数字。 题型01 两角和与差公式的求值 两角和与差公式的求值技巧 （1）观察角的结构，把非特殊角拆成两个特殊角的和或差； （2）结构形如 时，直接逆用和差公式合角； （3）含 的式子优先考虑正切的和差公式，注意分母不为零的条件。 1．（    ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．的值是（    ） A． B． C． D． 题型02 二倍角公式与降幂求值 二倍角与降幂公式的使用方法 （1）见到 就想 ，见到 或 就用降幂公式； （2）已知 时，两边平方得 ，这是常用的桥梁； （3）给值求值时，先由角的范围确定三角函数的符号，再代公式。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 题型03 三角函数的最值与性质 三角函数最值问题的处理技巧 （1）化成 的形式，最值由 与 直接读出； （2）不能合成一个三角函数时，用换元法化成二次函数，注意新元的范围； （3）求最值前先确定自变量的取值范围，端点处的取值常常是关键。 1．已知函数，则函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 2．函数的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 3．已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为______； （2）取最大值时，的一个取值为______. 题型04 正、余弦定理求边角 正、余弦定理的选择与使用 （1）已知两角一边或两边一对角，走正弦定理；已知两边夹角或三边，走余弦定理； （2）用正弦定理求角时要检验解的个数，可能出现两解、一解或无解； （3）边角混合的等式，用正弦定理统一成角或用余弦定理统一成边，再化简。 1．在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 2．在中，内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 题型05 三角形形状判断与面积 形状判断与面积计算的技巧 （1）判断形状：把条件统一成边或统一成角，再看是否出现 、 或直角三角形关系； （2）求面积用 ，缺角时先用余弦定理求角； （3）已知面积反求边角时，把面积公式与余弦定理联立，消去未知量。 1．在中，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 巩固过关 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是方程的两个实根，则（　　） A． B． C．4 D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则__________． 5．_____． 6．已知锐角满足，则_________. 能力提升 1．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 2．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 4．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得的长度为， ，则其跨度的长为（    ） A．12m B．8m C． D． 5．（2024高二上·江苏·学业考试）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $