专题05 三角函数的图象变换与性质问题（专项训练）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题05 三角函数的图象变换与性质问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 三角函数的定义与诱导公式 2 题型02 同角关系与切化弦 2 题型03 三角函数的图象变换 3 题型04 三角函数的性质 3 题型05 由图象求解析式 4 03 分层训练・达标过关 5 巩固过关 5 能力提升 5 1、诱导公式一句话：奇变偶不变，符号看象限。 （1）“奇偶”指 的奇数倍还是偶数倍，奇数倍函数名要变，偶数倍不变； （2）符号看“把 看成锐角时原函数值的正负”，与 实际大小无关； （3）大角先用周期性化到 内，再套公式。 2、同角三角函数的两组关系： （1）平方关系 ，常用来“知一求二”； （2）商数关系 ，见到齐次分式就分子分母同除 ； （3）开方时符号由角所在象限决定，这一步最容易错。 3、图象变换的顺序要写清： （1）先平移后伸缩：左右平移 个单位，再按 伸缩横坐标； （2）先伸缩后平移：横向伸缩后平移量要除以 ，即平移 ； （3）两种顺序都可以，但平移量必须跟着当前 的系数走。 4、由图象求解析式看三个量： （1） 由最高点与最低点确定：； （2） 由周期确定：， 从图象上相邻的对称轴或零点读出； （3） 代一个特殊点（最高点、零点）求出，再按题目给的取值范围取舍。 题型01 三角函数的定义与诱导公式 定义与诱导公式的用法 （1）已知终边上一点，先算 ，再写三个三角函数值； （2）诱导公式按“奇变偶不变、符号看象限”处理，先把大角化小； （3）符号由原角所在象限决定，不要用化简后的角判断。 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）若为角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合三角函数的定义列方程求,再结合三角函数定义求. 【详解】因为为角终边上一点， 所以，由已知， 所以，故点的坐标为， 所以点到原点的距离为， 所以. 故选：A. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单. 3．若且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式求得，再利用同角关系式即得. 【详解】由，得， 又由为第二象限角， 所以． 故选：B. 题型02 同角关系与切化弦 同角关系的变形技巧 （1）已知 求含 的齐次分式，分子分母同除 ； （2）出现 时两边平方，用平方关系过渡； （3）开方定符号前先判断角的象限。 1．已知，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得. 【详解】， 故选：D. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以转化为的表达式，代入求解即可. 【详解】因为，分子分母同除， ， 故选：D. 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，结合以及即可求解. 【详解】将两边平方可得 因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 可得， 故选：A. 题型03 三角函数的图象变换 图象变换的处理 （1）先把函数化成 的标准形式再比较； （2）横向伸缩只改 的系数，平移量要跟着除以 ； （3）判断“由谁得到谁”时，用“看 变成了什么”最稳。 1．函数的图像可由函数的图像（    ） A．向左平移个单位得到 B．向右平移个单位得到 C．向左平移个单位得到 D．向左平移个单位得到 【答案】A 【解析】先将转化为，然后再利用三角函数图象的平移变换求解. 【详解】因为 , 所以将向左平移可得到． 故选：A． 2．要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【分析】先把目标函数变形为与原函数结构相似的形式，再利用三角函数图象平移规律确定平移方向和单位． 【详解】， 由到，需要向右平移个单位， 故选：A． 3．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据周期变换和平移变换的特征得出变换后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可得解. 【详解】函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 得， 再将它的图象向右平移个单位长度， 得， 因为函数为奇函数， 所以，即， 又因， 所以当时，. 故选：B. 题型04 三角函数的性质 周期、对称、单调与值域 （1）周期 （正切为 ）； （2）以 为例：对称轴令 ，对称中心令 ；余弦函数恰好相反，两者互换； （3）求单调区间时把 整体放进正弦或余弦的单调区间解不等式。 1．函数图象的对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用整体对应法即可构造方程求得对称轴方程. 【详解】令，解得：， 的对称轴方程为. 故选：C. 2．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【详解】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D 3．已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的单调区间，即可求出函数在各段的函数值，即可判断； 【详解】解：令，因为，所以， 令，解得，即在上单调递增，且； 令，解得，即在上单调递减，且； 因为函数在上有两个零点，即函数与在上有两个交点， 所以，解得，即； 故选：B 题型05 由图象求解析式 求正弦型函数解析式的方法 （1）由最值定 ，由周期定 ； （2）把最高点或零点坐标代入求 ，注意题目给的 范围； （3）求出后回代一个点验证，防止相位差 。 1．下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象易得值和周期，从而可求，代入最值点坐标确定，即得. 【详解】由图可得： ，即，即， 观察各选项可知，本题考虑即可，则， 把点代入中，可得：， 故，即， 所以. 故选：C. 2．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】D 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】由图象可得，函数的最小正周期为， 因为，所以，，故， 因为，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，， 对于A选项，， 所以，函数的图象不关于点对称，A错； 对于B选项，， 所以，函数的图象不关于直线对称，B错； 对于C选项，当时，， 所以，函数在上不单调，C错； 对于D选项，因为， 将函数的图象向右平移个单位可得的图象，D对. 故选：D. 3．（21-22高一上·江苏无锡·期末）已知函数的图象关于点对称. (1)求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，，又，从而即可求解； （2）由三角函数的图象变换可得，由，即可求解函数的值域. 【详解】（1）解：因为函数的图象关于点对称， 所以， 又，所以； （2）解：由（1）知，将的图象向右平移个单位得， 再将图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变）得， 因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 巩固过关 1．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式，可得. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏扬州·阶段检测）的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式求得正确答案. 【详解】. 故选：D 3．（20-21高一上·江苏盐城·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由周期公式直接计算可得. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：B 4．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，由可得的范围，即为所求定义域. 【详解】由题意得：，即，， 即的定义域为. 故选：B. 5．（22-23高一下·江苏常州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角形函数平方关系结合的范围求出答案. 【详解】，故，则. 故选：C 6．已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，由 求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：B 能力提升 1．（22-23高一上·江苏南京·期末）设，计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2)5 【分析】（1）所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可； （2）将分子看成，所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可； 【详解】（1）原式； （2）原式. 2．已知，， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得. （2）由（1）得到，由此化简求得正确答案. 【详解】（1）∵，且， ∴==， ∵，∴ ∴. （2）由（1）得， ∴ = = =. 3．已知函数． (1)求在上的单调递增区间； (2)令函数，求在区间上的值域． 【答案】(1)，和 (2) 【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出函数的单调递增区间； （2）利用三角函数的变换和诱导公式的应用，利用函数的定义域求出函数的值域． 【详解】（1）函数， 令， 整理得， 所以函数的单调递增区间为， 由于，， 当，1时，单调递增区间为，和． （2）由于； 由于， 所以， 故， 故， 故函数的值域为． 4．（21-22高一上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式、同角三角函数基本关系化简求解； （2）分，分别由定义求出三角函数值求解即可. 【详解】（1）由角的终边过点，得， 所以． （2）当时，，． 所以． 当时，，． 所以． 综上，当时，； 当时，． 5．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可. 【详解】根据题意得，，则， 又，则，， 对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误； 对于B，由得，满足条件，故B正确； 对于C，由得，与矛盾，故C错误； 对于D，由得，与矛盾，故D错误. 故选：B. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数的图象变换与性质问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 三角函数的定义与诱导公式 2 题型02 同角关系与切化弦 2 题型03 三角函数的图象变换 3 题型04 三角函数的性质 3 题型05 由图象求解析式 4 03 分层训练・达标过关 5 巩固过关 5 能力提升 5 1、诱导公式一句话：奇变偶不变，符号看象限。 （1）“奇偶”指 的奇数倍还是偶数倍，奇数倍函数名要变，偶数倍不变； （2）符号看“把 看成锐角时原函数值的正负”，与 实际大小无关； （3）大角先用周期性化到 内，再套公式。 2、同角三角函数的两组关系： （1）平方关系 ，常用来“知一求二”； （2）商数关系 ，见到齐次分式就分子分母同除 ； （3）开方时符号由角所在象限决定，这一步最容易错。 3、图象变换的顺序要写清： （1）先平移后伸缩：左右平移 个单位，再按 伸缩横坐标； （2）先伸缩后平移：横向伸缩后平移量要除以 ，即平移 ； （3）两种顺序都可以，但平移量必须跟着当前 的系数走。 4、由图象求解析式看三个量： （1） 由最高点与最低点确定：； （2） 由周期确定：， 从图象上相邻的对称轴或零点读出； （3） 代一个特殊点（最高点、零点）求出，再按题目给的取值范围取舍。 题型01 三角函数的定义与诱导公式 定义与诱导公式的用法 （1）已知终边上一点，先算 ，再写三个三角函数值； （2）诱导公式按“奇变偶不变、符号看象限”处理，先把大角化小； （3）符号由原角所在象限决定，不要用化简后的角判断。 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）若为角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．若且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 题型02 同角关系与切化弦 同角关系的变形技巧 （1）已知 求含 的齐次分式，分子分母同除 ； （2）出现 时两边平方，用平方关系过渡； （3）开方定符号前先判断角的象限。 1．已知，则（    ） A． B．1 C． D．3 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 题型03 三角函数的图象变换 图象变换的处理 （1）先把函数化成 的标准形式再比较； （2）横向伸缩只改 的系数，平移量要跟着除以 ； （3）判断“由谁得到谁”时，用“看 变成了什么”最稳。 1．函数的图像可由函数的图像（    ） A．向左平移个单位得到 B．向右平移个单位得到 C．向左平移个单位得到 D．向左平移个单位得到 2．要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 3．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型04 三角函数的性质 周期、对称、单调与值域 （1）周期 （正切为 ）； （2）以 为例：对称轴令 ，对称中心令 ；余弦函数恰好相反，两者互换； （3）求单调区间时把 整体放进正弦或余弦的单调区间解不等式。 1．函数图象的对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 题型05 由图象求解析式 求正弦型函数解析式的方法 （1）由最值定 ，由周期定 ； （2）把最高点或零点坐标代入求 ，注意题目给的 范围； （3）求出后回代一个点验证，防止相位差 。 1．下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ）    A． B． C． D． 2．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 3．（21-22高一上·江苏无锡·期末）已知函数的图象关于点对称. (1)求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域. 巩固过关 1．等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏扬州·阶段检测）的值是(    ) A． B． C． D． 3．（20-21高一上·江苏盐城·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·江苏常州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（　　） A． B． C． D． 能力提升 1．（22-23高一上·江苏南京·期末）设，计算下列各式的值： (1)； (2). 2．已知，， (1)求的值； (2)求的值. 3．已知函数． (1)求在上的单调递增区间； (2)令函数，求在区间上的值域． 4．（21-22高一上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 5．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ） A． B． C． D． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $