专题04 指对幂函数的运算、图象与比较问题（专项训练）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题04 指对幂函数的运算、图象与比较问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 指数与对数的运算 2 题型02 幂函数的解析式与图象 2 题型03 指数、对数函数的性质与图象 2 题型04 指对幂的大小比较 3 题型05 复合函数的单调性与奇偶性 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 4 1、指数与对数运算的三条主线： （1）同底优先：同底数幂相乘除，指数加减；同底对数相加，真数相乘； （2）换底：不同底的对数先换成同底，； （3）指对互化：，求值、解方程都用它。 2、幂函数要“三定”： （1）定系数：幂函数必须形如 ，系数只能是 1； （2）定指数：用已知点代入求 ； （3）定图象： 过原点且在第一象限递增， 不过原点且递减。 3、比较大小的三条路： （1）同底不同指数（或同底对数），直接用单调性比； （2）同指数不同底，用幂函数在 上的单调性比； （3）底与指数都不同，插入 0 或 1 作中间量，把三个数分成三段再比。 4、复合函数问题先定定义域： （1）先求定义域，单调区间必须落在定义域内； （2）再拆成内外两层，按“同增异减”判断复合后的单调性； （3）对数型复合函数还要保证真数为正，这一点最容易被漏掉。 题型01 指数与对数的运算 指对运算的化简技巧 （1）先化成同底，再用运算法则合并； （2）出现 时直接等于 ，不必展开； （3）对数式求值优先换底，把不同底统一成常用对数或自然对数。 1．化简=（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】把根式转化成指数式的形式,运用指数运算公式进行运算即可. 【详解】. 故选D 【点睛】本题考查了根式转化为指数式,考查了指数的运算法则,考查了数学运算能力. 2．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式、零指数幂、分数指数幂和绝对值的运算，分别根据对应法则计算后合并； （2）对数运算法则、指数与对数互逆以及换底公式进行计算. 【详解】（1）原式； （2）原式. 3．（21-22高一上·江苏南京·阶段检测）（1）化简求值：； （2）解关于x的不等式：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数幂的运算法则即得； （2）由题得，可得，再利用对数函数的性质即求. 【详解】（1）原式 ； （2）原方程可化为， 即，解得， 所以原不等式的解集是. 题型02 幂函数的解析式与图象 幂函数问题的处理方法 （1）见到“是幂函数”，先令系数为 1 解出参数； （2）再用单调性或所过点确定指数，注意定义域对指数的限制； （3）图象题抓住第一象限的走势和是否过原点。 1．已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数定义可设，由条件列方程求，可得结论. 【详解】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 2．已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】由函数是幂函数解得或，再检验即可. 【详解】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，. 故选：C. 3．已知函数是幂函数，且在上为增函数，求实数m的值. 【答案】 【分析】根据函数为幂函数，列式求值，再结合函数在上的单调性，即可确定答案. 【详解】因为函数是幂函数，所以， 解得或， 当时，在上为减函数，不满足题意，舍去； 当时，在上为增函数，满足题意， 故． 题型03 指数、对数函数的性质与图象 指对函数性质的运用 （1）底数大于 1 递增、小于 1 递减，先定单调性再比大小； （2）图象过定点：指数型过 （平移后相应移动），对数型过 ； （3）单调区间要先看定义域，定义域以外的部分不能算进去。 1．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令指数为，求出，再代入计算可得； 【详解】解：令，解得， 所以当时，， 所以函数过定点. 故选：B 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易得t在上递减，在上递增，再由在上递增，利用复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， t在上递减，在上递增， 又在上递增， 所以单调递增区间是 故选：D 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数“同增异减”的性质即可求解 【详解】由知，即或， 结合复合函数“同增异减”的性质可知，当时，单调递减. 故选：A 【点睛】本题考查复合函数单调区间的求解，属于基础题 题型04 指对幂的大小比较 大小比较的三种策略 （1）同底用单调性，同指数用幂函数单调性； （2）都不同时插入 0 和 1 作参照，把数分成小于 0、0 到 1、大于 1 三档； （3）比较前先把各数化成同一种形式（都化成指数式或对数式）。 1．已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先变形，利用单调性比较的大小，再和中间值1比较，判断的大小. 【详解】，函数单调递减， ，即， 又， 所以. 故选：C 2．若，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，底数大于1时，是增函数，指数越大，函数值越大． ∵，由对数函数的性质可知，底数大于1时，是增函数，真数越大，函数值越大．，∵底数是2大于1，增函数，， ∴，∴，所以：c<b<a，故选A． 考点：1.对数值大小的比较；2.指数函数的图象与性质． 【点睛】本题考查了利用对数的运算化简及指数函数和对数函数的性质比较大小，学会利用中间值：0，1进行转化比较是关键．化简成底数相同，如果底数无法化成同底数，则利用中间值0，1，再利用对数函数和指数函的性质求解． 3．已知，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】解：因为，即， ，， 所以. 故选：D 题型05 复合函数的单调性与奇偶性 复合函数问题的处理 （1）先求定义域，再拆内外层，按“同增异减”定单调区间； （2）判断奇偶性前先验定义域是否关于原点对称； （3）含参数的奇偶性问题，用 恒成立列方程。 1．已知函数． (1)求函数的单调区间; (2)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域，利用复合函数法可求出函数的增区间和减区间； （2）由可得出，结合对数函数的单调性以及二次不等式的解法，结合可得出的取值范围. 【详解】（1）解：对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：由可得，即，即， 所以，，因为，解得. 因此，当时，不等式的解集为. 2．已知函数的定义域为，图象过点. (1)求的值域； (2)是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】(1)根据函数图象过点求得的值，再证明函数的单调性即可求解； (2)将变化为 ，换元法讨论的取值范围即可求解. 【详解】（1）将代的解析式，得得，或. 设，且，则 在单调递增. ，即的值域为. （2）令 等价于 故存在实数m，使得恒成立， m的取值范围为. 3．已知函数，且． (1)求的定义域； (2)当时，求使的的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数型函数的定义域直接列不等式求解； （2）由，判断函数单调性，根据单调性解不等式. 【详解】（1）由， 得，解得， 所以函数的定义域为； （2）由已知得， 又由函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增， 又，所以的解集为，即. 巩固过关 1．幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案. 【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 因为集合是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由指数和对数函数的性质结合充分、必要条件的定义求解即可, 【详解】取，满足，但推不出， 因为在上单调递减，在上单调递增， 由可得，则， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式，再由交集运算得到定义域. 【详解】，，解得；由，解得 故函数的定义域为 故选：A 5．函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)= （    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】把点坐标代入解析式可得可得答案. 【详解】由，解得，所以． 故选：D. 6．已知函数（为常数，且），且. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入函数解析式可得答案； （2）利用指数函数单调性可得答案. 【详解】（1）因为函数所以，即. （2）由（1）知，. 因为，所以，所以的解集为. 能力提升 1．（2026·江苏南京·一模）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶性的定义及时函数值符号，应用排除法即可得. 【详解】由题设，函数的定义域为，且， 所以为奇函数，排除B、D， 当时，，故，排除C. 故选：A 2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间t后的温度是T，则，其中称为环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，那么咖啡从40℃降温到32℃时，还需要（    ）分钟． A．3 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【解析】由题意代入函数解析式求出，再将40℃和32℃代入即可得结果. 【详解】由已知可得， 则， 解得， 此杯咖啡从40℃降温到32℃， 可得：， 解得， 所以还需要10分钟． 故选：C． 3．（22-23高一上·江苏南通·阶段检测）（1）已知，，试用表示； （2）已知（），求． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用换底公式即可求解. （2）利用指数的运算即可求解. 【详解】（1）由换底公式得． （2）由于，且，所以； 又； 所以． 4．计算：（1） （2）． 【答案】（1）；（2）2. 【分析】根据指对数的运算公式，直接计算即可得解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 5．已知，求的值． 【答案】 【分析】由，利用对数运算化简得到，再转化为 求解. 【详解】因为， 所以， 则，即， 即， 解得或（舍去）， 所以. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指对幂函数的运算、图象与比较问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 指数与对数的运算 2 题型02 幂函数的解析式与图象 2 题型03 指数、对数函数的性质与图象 2 题型04 指对幂的大小比较 3 题型05 复合函数的单调性与奇偶性 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 4 1、指数与对数运算的三条主线： （1）同底优先：同底数幂相乘除，指数加减；同底对数相加，真数相乘； （2）换底：不同底的对数先换成同底，； （3）指对互化：，求值、解方程都用它。 2、幂函数要“三定”： （1）定系数：幂函数必须形如 ，系数只能是 1； （2）定指数：用已知点代入求 ； （3）定图象： 过原点且在第一象限递增， 不过原点且递减。 3、比较大小的三条路： （1）同底不同指数（或同底对数），直接用单调性比； （2）同指数不同底，用幂函数在 上的单调性比； （3）底与指数都不同，插入 0 或 1 作中间量，把三个数分成三段再比。 4、复合函数问题先定定义域： （1）先求定义域，单调区间必须落在定义域内； （2）再拆成内外两层，按“同增异减”判断复合后的单调性； （3）对数型复合函数还要保证真数为正，这一点最容易被漏掉。 题型01 指数与对数的运算 指对运算的化简技巧 （1）先化成同底，再用运算法则合并； （2）出现 时直接等于 ，不必展开； （3）对数式求值优先换底，把不同底统一成常用对数或自然对数。 1．化简=（    ） A． B． C．1 D． 2．计算： (1)； (2). 3．（21-22高一上·江苏南京·阶段检测）（1）化简求值：； （2）解关于x的不等式：. 题型02 幂函数的解析式与图象 幂函数问题的处理方法 （1）见到“是幂函数”，先令系数为 1 解出参数； （2）再用单调性或所过点确定指数，注意定义域对指数的限制； （3）图象题抓住第一象限的走势和是否过原点。 1．已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 3．已知函数是幂函数，且在上为增函数，求实数m的值. 题型03 指数、对数函数的性质与图象 指对函数性质的运用 （1）底数大于 1 递增、小于 1 递减，先定单调性再比大小； （2）图象过定点：指数型过 （平移后相应移动），对数型过 ； （3）单调区间要先看定义域，定义域以外的部分不能算进去。 1．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型04 指对幂的大小比较 大小比较的三种策略 （1）同底用单调性，同指数用幂函数单调性； （2）都不同时插入 0 和 1 作参照，把数分成小于 0、0 到 1、大于 1 三档； （3）比较前先把各数化成同一种形式（都化成指数式或对数式）。 1．已知则（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则 A． B． C． D． 3．已知，，（    ） A． B． C． D． 题型05 复合函数的单调性与奇偶性 复合函数问题的处理 （1）先求定义域，再拆内外层，按“同增异减”定单调区间； （2）判断奇偶性前先验定义域是否关于原点对称； （3）含参数的奇偶性问题，用 恒成立列方程。 1．已知函数． (1)求函数的单调区间; (2)当时，求不等式的解集． 2．已知函数的定义域为，图象过点. (1)求的值域； (2)是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 3．已知函数，且． (1)求的定义域； (2)当时，求使的的解集． 巩固过关 1．幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)= （    ） A． B． C． D．9 6．已知函数（为常数，且），且. (1)求的值； (2)解不等式. 能力提升 1．（2026·江苏南京·一模）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间t后的温度是T，则，其中称为环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，那么咖啡从40℃降温到32℃时，还需要（    ）分钟． A．3 B．6 C．10 D．12 3．（22-23高一上·江苏南通·阶段检测）（1）已知，，试用表示； （2）已知（），求． 4．计算：（1） （2）． 5．已知，求的值． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $