专题03 函数的定义域、单调性与奇偶性问题（专项训练）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题03 函数的定义域、单调性与奇偶性问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 函数的定义域与同一函数 2 题型02 分段函数与函数求值 2 题型03 函数图象的辨识 3 题型04 单调性与奇偶性的判断与应用 4 题型05 函数解析式与值域 4 03 分层训练・达标过关 5 巩固过关 5 能力提升 5 1、求定义域要盯住三处限制，最后取交集： （1）分母不为零； （2）偶次根式的被开方数不小于零； （3）对数的真数大于零、底数大于零且不等于 1； （4）多部分组合时取各限制的交集，最后写成集合或区间。 2、分段函数求值按“从内到外”走： （1）先算内层，算之前先判断自变量落在哪一段； （2）内层结果再代回外层，同样先判断范围再选表达式； （3）含参时把参数当作已知，按范围分类讨论。 3、判断单调性与奇偶性的三条路： （1）定义法：取值、作差、变形、定号，四步写全； （2）图象法：从左往右看升降，看是否关于原点或 轴对称； （3）复合函数用“同增异减”，先拆内外层再判断。 4、求解析式的四种常用方法： （1）换元法：令 等于括号内的式子，解出 后代回； （2）配凑法：把右边凑成含 的式子，省去解方程； （3）待定系数法：已知函数类型时设出一般式，代入条件定系数； （4）方程组法：出现 与 时，用 替换再联立消元。 题型01 函数的定义域与同一函数 定义域与同一函数的判定 （1）列全所有限制条件，取交集后再写成区间； （2）判断两个函数是否相同，必须定义域与对应关系都相同，缺一不可； （3）化简后再比较，但化简不能改变定义域。 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑能使函数有意义的条件即可求得结果. 【详解】若函数有意义，有，可得且. 故选：D. 2．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数表达式有意义求函数的定义域. 【详解】由题意可得，解得或或． 所以函数的定义域为：. 故选：A 3．下列各组函数是同一函数的是（   ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据相等函数的定义即可一一去判断各选项. 【详解】对于A，函数和定义域均为， 但与的对应关系不同， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，定义域为， 两函数和定义域不同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，解得，所以函数定义域为， 令得，所以函数定义域为， 函数和定义域相同， 又，，所以函数和对应关系同， 所以两函数和是同一函数，故C正确； 对于D，函数定义域为，定义域为， 两函数和定义域不同，故不是同一函数，故D错误. 故选：C. 题型02 分段函数与函数求值 分段函数的求值方法 （1）先看自变量落在哪一段，再选对应的表达式； （2）多层嵌套时从最内层算起，一层一层往外代； （3）分段函数在分界点处的值，要按对应那一侧的表达式算。 1．已知函数则（    ） A． B．2 C．4 D．11 【答案】C 【分析】利用分段函数定义，代入计算即可. 【详解】解：由题知， . 故选：C 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的解析式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 3．已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，应代入， 得. 题型03 函数图象的辨识 图象辨识的切入点 （1）先看定义域，把不在定义域内的部分排除； （2）再看奇偶性，决定图象是否关于原点或 轴对称； （3）最后看特殊点（与坐标轴的交点）和单调趋势，逐项排除。 1．如图所示，不能表示“的函数”的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项B，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项B，C和D错误， 由选项A的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：A. 2．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义，结合各个选项的图象，即可求解. 【详解】根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应， 从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点， 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点， 从而不能表示是的函数； 故选：D． 3．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 题型04 单调性与奇偶性的判断与应用 单调性与奇偶性的处理 （1）奇函数满足 ，偶函数满足 ，先验定义域是否关于原点对称； （2）已知一半区间的解析式，用 替换求另一半，注意符号翻转； （3）比较函数值大小时，先用奇偶性把自变量搬到同一单调区间内。 1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为奇函数，且在上单调递减，A不满足条件； 对于B选项，函数为奇函数，且在上单调递增，B满足条件； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，所以，函数为偶函数， 且当时，，则函数在上单调递增，C不满足条件； 对于D选项，函数为偶函数，且在上单调递增，D不满足条件. 故选：B. 2．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据奇函数的概念求解即可. 【详解】当时，，则， 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 故选：B. 3．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减， 则在上为增函数，由，则， 由，则或， 则或 解得或， 则不等式的解集为或. 故选：D 题型05 函数解析式与值域 解析式与值域的求法 （1）换元后必须写出新元的取值范围，这是最容易漏的一步； （2）二次函数在给定区间上的值域，先看对称轴是否落在区间内； （3）分式型函数可用分离常数或基本不等式求值域。 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】因为，令，则. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质求出指定区间上的值域. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，， 所以所求值域为. 故选：C 3．设二次函数满足，且，求的解析式. 【答案】 【分析】根据题意设，由求出c，由可求得，即可得答案. 【详解】设二次函数为， 因为，所以，所以， 又因为， 即， 所以，解得：， 所以函数解析式为. 巩固过关 1．已知函数，则下列说法不正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．的单调递减区间为和 【答案】B 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数的定义域是，所以A选项正确. 当时，，所以B选项错误. ，是奇函数，所以C选项正确. 根据对勾函数的性质可知函数的单调递减区间为和， 所以D选项正确. 故选：B 2．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义验证为奇函数，根据增函数加增函数为增函数可判断为增函数. 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个选项判断奇偶性与上的单调性即可. 【详解】A选项，为偶函数，在上单调递减； B选项，为奇函数，在上单调递增； C选项，为偶函数，在上单调递增； D选项，为奇函数，在上单调递减； 故选：A. 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数单调性分析求解. 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 则在内单调递增， 且当时，则， 可知函数的最小值为3，所以值域为，即值域为. 故选：D. 5．若，且，则（    ）． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据条件求出的解析式，再利用即可求出结果. 【详解】因为，令，则， 所以，即， 又，所以，得到， 故选：A. 6．函数的定义域是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故选：B. 能力提升 1．（1）已知函数满足，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）（且）；（2） 【分析】（1），代入的表达式求解即可； （2）直接采用待定系数法设，再比较系数列方程组求解即可． 【详解】（1）令（），则，所以，其中且， 所以，函数的解析式为（且）． （2）因为是二次函数，故设（）， 由可得，即， 又， 所以， 又因为，比较系数可得方程组，解得， 因此，的解析式为． 2．已知函数. (1)若，求的值； (2)若，判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)； (2) 为奇函数，理由如下： 定义域为， ， 故为奇函数； (3) 在区间上单调递减，在上单调递增，证明如下： 任取且， ， 因为且， 所以，，， 故，， 在区间上单调递减； 任取且， ， 因为且， 所以，，， 故，， 在上单调递增，证毕. 【分析】（1）直接代入求解即可； （2）定义域为，且，故函数为奇函数； （3）判断出在区间上单调递减，在上单调递增，定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）时，，； （2）略 （3）略 3．已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】 【分析】利用抽象函数定义域的求法可得答案. 【详解】因为的定义域为， 则， 即. 故的定义域为. 4．已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）由题意，根据奇偶函数的性质即可求解； （2）利用函数的奇偶性求函数的解析式即可； （3）由（2）知当时，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 又当时，， 所以； （2）当时，， 当时，，有， 又为奇函数，所以， 所以， 即当时，； （3）由（2）知，当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即当当时，函数的最小值为. 5．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 【答案】(1)， (2)或或 (3)当时：函数图象是反比例函数​在第三象限的分支； 当时：函数图象是一次函数的一段，是一段线段； 当时：函数图象是一次函数的一部分，是一条射线. 作出函数图象如下： 【分析】（1）直接根据分段函数解析式求函数值可得； （2）直接分三种情况：，，，再由函数值计算的值； （3）分别作出三段函数图象可得. 【详解】（1）因为函数， 所以，，， 因此，. （2）因为，分三种情况： ①若：则，解得，满足，是有效解； ②若：则，解得，满足，是有效解； ③若：令，解得，满足，是有效解. 因此或或. （3）略 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的定义域、单调性与奇偶性问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 函数的定义域与同一函数 2 题型02 分段函数与函数求值 2 题型03 函数图象的辨识 3 题型04 单调性与奇偶性的判断与应用 4 题型05 函数解析式与值域 4 03 分层训练・达标过关 5 巩固过关 5 能力提升 5 1、求定义域要盯住三处限制，最后取交集： （1）分母不为零； （2）偶次根式的被开方数不小于零； （3）对数的真数大于零、底数大于零且不等于 1； （4）多部分组合时取各限制的交集，最后写成集合或区间。 2、分段函数求值按“从内到外”走： （1）先算内层，算之前先判断自变量落在哪一段； （2）内层结果再代回外层，同样先判断范围再选表达式； （3）含参时把参数当作已知，按范围分类讨论。 3、判断单调性与奇偶性的三条路： （1）定义法：取值、作差、变形、定号，四步写全； （2）图象法：从左往右看升降，看是否关于原点或 轴对称； （3）复合函数用“同增异减”，先拆内外层再判断。 4、求解析式的四种常用方法： （1）换元法：令 等于括号内的式子，解出 后代回； （2）配凑法：把右边凑成含 的式子，省去解方程； （3）待定系数法：已知函数类型时设出一般式，代入条件定系数； （4）方程组法：出现 与 时，用 替换再联立消元。 题型01 函数的定义域与同一函数 定义域与同一函数的判定 （1）列全所有限制条件，取交集后再写成区间； （2）判断两个函数是否相同，必须定义域与对应关系都相同，缺一不可； （3）化简后再比较，但化简不能改变定义域。 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组函数是同一函数的是（   ）. A．， B．， C．， D．， 题型02 分段函数与函数求值 分段函数的求值方法 （1）先看自变量落在哪一段，再选对应的表达式； （2）多层嵌套时从最内层算起，一层一层往外代； （3）分段函数在分界点处的值，要按对应那一侧的表达式算。 1．已知函数则（    ） A． B．2 C．4 D．11 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型03 函数图象的辨识 图象辨识的切入点 （1）先看定义域，把不在定义域内的部分排除； （2）再看奇偶性，决定图象是否关于原点或 轴对称； （3）最后看特殊点（与坐标轴的交点）和单调趋势，逐项排除。 1．如图所示，不能表示“的函数”的是（    ）. A． B． C． D． 2．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 题型04 单调性与奇偶性的判断与应用 单调性与奇偶性的处理 （1）奇函数满足 ，偶函数满足 ，先验定义域是否关于原点对称； （2）已知一半区间的解析式，用 替换求另一半，注意符号翻转； （3）比较函数值大小时，先用奇偶性把自变量搬到同一单调区间内。 1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 3．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型05 函数解析式与值域 解析式与值域的求法 （1）换元后必须写出新元的取值范围，这是最容易漏的一步； （2）二次函数在给定区间上的值域，先看对称轴是否落在区间内； （3）分式型函数可用分离常数或基本不等式求值域。 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．设二次函数满足，且，求的解析式. 巩固过关 1．已知函数，则下列说法不正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．的单调递减区间为和 2．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．若，且，则（    ）． A．6 B．7 C．8 D．9 6．函数的定义域是（    ） A． B．且 C． D．且 能力提升 1．（1）已知函数满足，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 2．已知函数. (1)若，求的值； (2)若，判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 3．已知函数的定义域为，求的定义域. 4．已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 5．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $