专题01 集合、常用逻辑用语中的参数与计数问题（专项训练）（江苏专用）2027年春季高考数学

专题01 集合、常用逻辑用语中的参数与计数问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 集合元素的互异性与集合相等 2 题型02 由集合关系求参数 2 题型03 子集个数与集合计数 2 题型04 充分条件、必要条件的判断与求参 3 题型05 含量词命题的否定与求参 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 5 1、含参集合问题的分类标准是： （1）先看含参集合能否为空集——空集是任何集合的子集，这一步最容易漏； （2）再按端点位置分情况，把“谁包住谁”翻译成不等式组或方程组； （3）解出的每个参数都要回代原集合，检验元素是否互异、端点能否取到。 2、集合相等与元素互异性这样用： （1） 意味着两个集合的元素完全相同，先对齐元素再列方程； （2）列方程后必得多个解，逐一回代，凡使元素重复或无意义的都要舍去； （3）含 0 的集合要特别小心，0 不能作分母，也不能作对数的底。 3、满足条件的集合个数这样数： （1）含 n 个元素的集合，子集有 个，真子集、非空子集各 个，非空真子集 个； （2）形如 的计数，先定 B 中必取与可取的元素，再逐层数； （3）“恰有 k 个元素”一类，先解出集合的范围，再数其中符合条件的整数。 4、求参数范围的两种语言： （1）充要条件语言：把 p、q 化成集合，“p 是 q 的充分条件”即 p 对应的集合更小； （2）含量词命题语言：全称为真化为恒成立，存在为真化为有解，命题为假先否定再解； （3）必要不充分、充分不必要都要“双向检验”，只验一个方向是常见失分点。 题型01 集合元素的互异性与集合相等 由集合相等求参数的方法 （1）先把已知的相等元素对上，剩下的元素只有两种配对方式，逐一尝试； （2）每解出一组参数，都要代回检验三件事：元素互异、元素齐全、无增无漏； （3）出现平方项时常有正负两解，舍去使元素重复的那一个。 1．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 2．已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 3．（24-25高三下·江苏南通·阶段检测）设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 题型02 由集合关系求参数 含参集合关系问题的处理 （1）含参集合先讨论能否为空集，空集情形往往单独给出一段参数范围； （2）非空时画数轴，把包含关系转成端点的不等式组，端点能否取到要单独验证； （3）交集、并集给出具体结果时，用端点对应相等列方程最直接。 1．已知真包含于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 题型03 子集个数与集合计数 集合计数问题的处理技巧 （1）先确定集合中元素的个数，再套 系列的公式； （2）遇到“”，先定 B 必须包含哪些元素、可以再取哪些元素； （3）“恰有 k 个元素”一类，先解出范围，再数范围内的整数个数。 1．已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 题型04 充分条件、必要条件的判断与求参 充要条件问题的两条路 （1）判断型：分别验证两个方向的推出关系，缺一个方向只能定到“不充分”或“不必要”； （2）求参型：把 p、q 化成集合，“p 是 q 的必要不充分条件”意味着 q 对应的集合真包含于 p； （3）端点是否取到决定等号，最后一定要回代检验。 1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段检测）若，则是成立的（    ）条件 A．充分 B．必要 C．既不充分也不必要 D．充分必要 2．（24-25高一上·江苏盐城·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型05 含量词命题的否定与求参 含量词命题的否定与参数求解 （1）写否定： 换成 、 换成 ，结论取反，范围条件不动； （2）命题为真求参：全称转恒成立，存在转方程或不等式有解； （3）命题为假求参：先写出否定，把“假”转成“否定为真”，可以省掉分类讨论。 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 巩固过关 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高三下·江苏宿迁·阶段检测）设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若是正数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 能力提升 1．已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数的取值集合A； (2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知集合，若，求实数的值及. 4．已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 5．（23-24高一上·江苏无锡·阶段检测）已知非空集合，. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合、常用逻辑用语中的参数与计数问题 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 集合元素的互异性与集合相等 2 题型02 由集合关系求参数 2 题型03 子集个数与集合计数 2 题型04 充分条件、必要条件的判断与求参 3 题型05 含量词命题的否定与求参 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 5 1、含参集合问题的分类标准是： （1）先看含参集合能否为空集——空集是任何集合的子集，这一步最容易漏； （2）再按端点位置分情况，把“谁包住谁”翻译成不等式组或方程组； （3）解出的每个参数都要回代原集合，检验元素是否互异、端点能否取到。 2、集合相等与元素互异性这样用： （1） 意味着两个集合的元素完全相同，先对齐元素再列方程； （2）列方程后必得多个解，逐一回代，凡使元素重复或无意义的都要舍去； （3）含 0 的集合要特别小心，0 不能作分母，也不能作对数的底。 3、满足条件的集合个数这样数： （1）含 n 个元素的集合，子集有 个，真子集、非空子集各 个，非空真子集 个； （2）形如 的计数，先定 B 中必取与可取的元素，再逐层数； （3）“恰有 k 个元素”一类，先解出集合的范围，再数其中符合条件的整数。 4、求参数范围的两种语言： （1）充要条件语言：把 p、q 化成集合，“p 是 q 的充分条件”即 p 对应的集合更小； （2）含量词命题语言：全称为真化为恒成立，存在为真化为有解，命题为假先否定再解； （3）必要不充分、充分不必要都要“双向检验”，只验一个方向是常见失分点。 题型01 集合元素的互异性与集合相等 由集合相等求参数的方法 （1）先把已知的相等元素对上，剩下的元素只有两种配对方式，逐一尝试； （2）每解出一组参数，都要代回检验三件事：元素互异、元素齐全、无增无漏； （3）出现平方项时常有正负两解，舍去使元素重复的那一个。 1．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【详解】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 2．已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 3．（24-25高三下·江苏南通·阶段检测）设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由，可得，即可得答案. 【详解】因，，由集合互异性可得. 则. 故选：A 题型02 由集合关系求参数 含参集合关系问题的处理 （1）含参集合先讨论能否为空集，空集情形往往单独给出一段参数范围； （2）非空时画数轴，把包含关系转成端点的不等式组，端点能否取到要单独验证； （3）交集、并集给出具体结果时，用端点对应相等列方程最直接。 1．已知真包含于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】由解得，或，所以， 当时，方程无解，则 ，满足题意； 当时，由解得，， 所以或3，解得或， 综上，实数的取值范围是， 故选:D. 2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意并利用交集的性质求解参数范围即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以，， 则实数的取值范围是，故C正确. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意得分析得，再对集合中参数与的关系作分类讨论，根据子集关系确定出的范围. 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 题型03 子集个数与集合计数 集合计数问题的处理技巧 （1）先确定集合中元素的个数，再套 系列的公式； （2）遇到“”，先定 B 必须包含哪些元素、可以再取哪些元素； （3）“恰有 k 个元素”一类，先解出范围，再数范围内的整数个数。 1．已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解. 【详解】由题可知，集合可以为：共3个， 故选：C. 2．设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【详解】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 3．集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 题型04 充分条件、必要条件的判断与求参 充要条件问题的两条路 （1）判断型：分别验证两个方向的推出关系，缺一个方向只能定到“不充分”或“不必要”； （2）求参型：把 p、q 化成集合，“p 是 q 的必要不充分条件”意味着 q 对应的集合真包含于 p； （3）端点是否取到决定等号，最后一定要回代检验。 1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段检测）若，则是成立的（    ）条件 A．充分 B．必要 C．既不充分也不必要 D．充分必要 【答案】A 【分析】解不等式可得或，即可得出结论. 【详解】易知若，则，因此充分性成立， 若，可取，则不成立，即必要性不成立； 因此可得是成立的充分条件； 故选：A 2．（24-25高一上·江苏盐城·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】若“”则是的充分条件；若“”则是的必要条件. 【详解】当时，则无意义；当时，或， ∴则“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，得 ，即 对应集合 ， 对应集合 . 因为 是 的必要不充分条件，所以   是 的真子集. 因此需满足 且 ，解得  . 经检验    时符合题意. 题型05 含量词命题的否定与求参 含量词命题的否定与参数求解 （1）写否定： 换成 、 换成 ，结论取反，范围条件不动； （2）命题为真求参：全称转恒成立，存在转方程或不等式有解； （3）命题为假求参：先写出否定，把“假”转成“否定为真”，可以省掉分类讨论。 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】根据存在量词命题否定的结构形式可得正确的选项. 【分析】命题：“，”为存在量词命题， 故其否定为：，， 故选：B. 2．若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据命题的否定为真，转为最值求解即可. 【详解】， 是假命题，则其否定恒成立为真， 又 故， 故选：B 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立， 可得，解得，所以实数的取值集合为. （2）解：由“”是“”的充分条件，可得， 因为，， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 巩固过关 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】充分性，因为可得到或， 若或时，可得，所以是的充分条件； 必要性，若，当时，满足，但， 故不是的必要条件， 故选：A 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3．（24-25高三下·江苏宿迁·阶段检测）设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，判断集合中元素的关系，对参数分类讨论，求出参数可能的取值. 【详解】由题意得. 当时，，； 当时，，由，可得或. 综上，实数的取值集合为. 故选：D. 4．已知集合，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C 5．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若是正数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件必要条件的概念判断即可. 【详解】由可知，当时，；当时，；当时，.所以无法推出； 由可知，，当时，；当时，.所以无法推出. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由得，从而可得成立；由，取，则不成立，即可得答案． 【详解】由得，即， 故“”是“”的充分条件； 而由，取，则不成立， 故“”不是“”的必要条件． 故选：A 能力提升 1．已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）应用集合的并运算求集合； （2）由题设有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，故； （2）由， 若，有满足题设； 若，有，可得； 综上，或. 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数的取值集合A； (2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，运算求解即可； （2）由题意可知：集合是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【详解】（1）由题可知：，解得， 所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合A的真子集， ①当时，，即，满足题意； ②当时，，即，满足题意； 综上所述：的取值范围为. 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知集合，若，求实数的值及. 【答案】， 【分析】由交集的运算可知，则或，分别求值并验证集合是否满足题意和元素的互异性，从而确定的值，进而得解. 【详解】因为，所以且， 又 ，所以或，解得或； 当时，，，则，与已知矛盾，舍去； 当时，，，集合不满足集合的互异性，舍去； 当时，，，则，满足题意； 综上，，此时. 4．已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集和并集的运算法则列出不等式组，解不等式可得到a的取值范围. （2），则，分与两种情况，根据集合的关系列不等式组，解不等式可得到a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以或， 又因为且， 所以解得， 故a的取值范围为. （2）因为，则， 若，则，解得， 若，则解得， 综上所述a的取值范围为. 5．（23-24高一上·江苏无锡·阶段检测）已知非空集合，. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求A的补集，再求交集即可； （2）由题意，A是B的真子集，从而建立不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，，所以或， 又，所以或. （2）因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 又A是非空集合，所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $