专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义 1.理解有理数乘法法则，能准确判断积的符号，熟练进行两个及多个有理数的乘法运算；掌握倒数的概念，会求一个非零数的倒数。 2.掌握乘法交换律、结合律、分配律，能够运用乘法运算律简化有理数乘法计算，减少运算失误。 3.理解有理数除法法则，知道 “除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数”，熟练将除法转化为乘法进行运算，明确 0 不能作除数。 4.能够正确完成有理数乘除同级运算，掌握运算顺序，规范处理符号、括号问题。 5.会利用有理数乘、除法解决简单实际问题，读懂题干数量关系，列出乘除算式求解。 6.梳理易错点：多个数相乘时符号判断错误；忽略 0 不能做除数；分配律使用时漏乘；倒数与相反数概念混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点02:有理数的乘法 一、两数相乘法则 1.法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。 2.分步计算步骤： 判断两个因数符号，确定积的符号； 计算两个数绝对值的乘积； 组合符号与绝对值结果。 3.举例： (-3)×(-4)：同号得正，3×4=12，结果12； (-5)×2：异号得负，5×2=10，结果-10； 0×(-7.5)=0。. 二、多个有理数相乘符号规律 1.几个不为 0 的数相乘，负因数的个数决定积的符号： 负因数有偶数个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 2.简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是 0，积直接等于 0，无需判断符号。 例：(-1)×(-2)×(-3)，3 个负因数（奇数），积为负；(-2)×0×5=0。 三.乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 除法两条核心法则 法则 1（转化法，通用） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 公式：ab=a(b≠0) 适用：分数、小数、多步混合运算。 法则 2（符号直接判断，两数相除） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 注意：0 不能作除数，0÷0 无意义。 乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04:有理数乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一转化为乘法（变除号为乘号，除数换成它的倒数）； 2.统计所有负因数个数，确定最终结果符号； 3.约分计算所有绝对值的乘积； 4.写出最终带符号结果，化为最简分数。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型一、两个有理数的乘法运算 1．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 2．在下列给出的四个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（     ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①是正数乘正数； ②是负数乘正数； ③是正数乘0； ④是正数乘负数； 已有算式覆盖了正数乘正数，异号两数相乘，正数乘0的类型， 缺少两负数相乘的类型； 选项A是正数乘正数，不符合； 选项B、D是负数乘正数，不符合； 选项C、是两负数相乘，符合要求． 3．定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据已知可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．下列各式中，积为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，4个负数相乘，则结果为正； B、； C、，3个负数相乘，则结果为负； D、，2个负数相乘，则结果为正． 5．在数，3，1，，4中，任意取3个不同的数相乘，其中最大的乘积是_________． 【答案】40 【分析】根据正数大于0，大于负数，以及几个有理数相乘，负号的个数为奇数个时，积为负，负号的个数为偶数个时，积为正，进行求解即可． 【详解】解：乘积最大一定为正数，当三个因数都为正数时，积为，当有两个因数为负数，另一个为最大的正数时，积为， ∵， ∴乘积最大是40． 6．若，是有理数，定义一种新运算：，计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了定义新运算和有理数的混合运算，按照新定义运算列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解，理解新运算规定的运算法则，有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．南通素有“建筑之乡”的美誉，濠河穿城而过．某日8时至18时，濠河水位随时间均匀下降，每小时下降0.3米．若水位上升记作正，则当日18时水位与当日8时水位的差值应记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：8时至18时共经过10小时，水位均匀下降， 故总变化量为（米）． 水位下降记作负，故这个差值应记作米． 8．寒假即将来临，某商场特别关注“寒假经济”带来的效益，在青少年商品专场适时开展商品促销活动，顾客只能参加一种促销活动． 方式一：全场消费金额满100元，立减50元； 方式二：全场打六折． 小明发现了一套心仪的图书，标价92元，在收银台，小明看见有一些精美书签作为附属商品，标价每枚9元，小明如果再买三枚书签，方式_______更便宜． 【答案】一 【分析】先计算购买图书和三枚书签的总标价，再分别算出两种促销方式的应付金额，比较大小即可得出结论． 【详解】解：先计算总标价，总标价为元， ∵方式一为满100元立减50元，， ∴方式一需要支付的金额为元， ∵方式二为全场打六折， ∴方式二需要支付的金额为元， ∵， ∴方式一更便宜． 9．如图是一个长、宽、高分别为，，的长方体容器，其内部有一个边长为的立方体铁块和一个长、宽、高分别为，，的长方体，将容器中盛满水时，则容器内水的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ∴容器内水的体积为． 题型四、倒数 10．实数的倒数是（     ） A．2022 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数求出结果即可． 【详解】解：， 的倒数是． 11．如图，在数轴上有a、b、c、d四个数，有可能互为倒数的两个数是（     ） A．a和b B．b和c C．a和d D．b和d 【答案】C 【分析】根据数轴确定各点表示的数，利用倒数的定义进行判断． 【详解】解：由数轴得，，，， ∴有可能互为倒数的两个数是a和d． 12．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的运算，根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义得到，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：或． 题型五、有理数乘法运算律 13．计算：_________． 【答案】 【分析】观察算式可知两项含有公因数，可利用乘法分配律简化运算． 【详解】解： ． 14．计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可． 【详解】解：原式为， 根据乘法结合律，将后两个分数结合：， 约分后得：， 通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便， 故选：D． 15．下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 题型六、有理数的除法运算 16．计算______ 【答案】 【分析】根据有理数除法法则，除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，同号两数相除结果为正，据此计算即可． 【详解】解： ． 17．等式这一步变形的依据是________． 【答案】除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，或有理数的除法法则 【分析】观察等式可知变形是将除法运算转化为乘法运算，对应有理数除法的运算法则即可得到结论． 【详解】解： 等式中，将除以变形为乘以． 有理数除法法则规定，除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，这里，符合法则要求． 因此这一步变形的依据就是该法则． 18．在数字6、、9、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵商最小时为负数， ∴只需考虑异号两数相除的情况． 最大正数为9，绝对值最小的负数为，； 绝对值最大的负数为，最小正数为1，； ∵， ∴所得的商最小是． 19．下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，根据有理数乘除法运算法则逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、若，，则，原说法正确，不符合题意； 、若，则，原说法正确，不符合题意； 、若，则或，若 ，则无意义，所以原说法错误，符合题意； 、若，则，所以，原说法正确，不符合题意； 故选：． 题型七、有理数除法的应用 20．如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的除法法则，由有理数的除法法则可得与异号，进而由即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与异号， ∵， ∴， ∴， 故选：． 21．有编号为1，2，3，4，5的五个药瓶，每瓶中有20粒药丸，每粒药丸重10克，其中有几瓶受潮了，受潮的每个药丸重11克．小明想到了一个办法：从每个药瓶中取出至少1粒药丸混在一起，对其只称重一次，就能找出受潮的瓶子，若称得被取出的混合药丸总重量为336克，则受潮的药瓶编号为：__________． 【答案】3或2、3或5或2、4、5． 【分析】题目主要考查有理数的加法及除法运算，理解题意，分情况分析求解是解题关键． 根据题意分三种情况分析：①若受潮的药品有6粒，②若受潮的药品有16粒，③若受潮的药品有26粒，结合有理数的加法求解即可． 【详解】解：∵编号为1，2，3，4，5的五个药瓶，每瓶中有20粒药丸，每粒药丸重10克， ∴， ①若受潮的药品有6粒， 若从编号为1，2，3，4，5的五个药瓶中分别取药丸的数量为：1、2、6、10、14， ∴， ∴受潮的药瓶编号为：3； 若从编号为1，2，3，4，5的五个药瓶中分别取药丸的数量为：1、2、4、8、18， ∴， ∴受潮的药瓶编号为：2、3号瓶； ②若受潮的药品有16粒， 若从编号为1，2，3，4，5的五个药瓶中分别取药丸的数量为：1、2、3、10、16， ∴， ∴受潮的药瓶编号为：5号瓶； ③若受潮的药品有26粒， 若从编号为1，2，3，4，5的五个药瓶中分别取药丸的数量为：1、2、4、8、16 ∴， ∵ ∴受潮的药瓶编号为：2、4、5号瓶； 故答案为：3或2、3或5或2、4、5． 22．一个长方体木块，长、宽都是，高是，把它切成棱长的小正方体，最多能切（     ） A．27个 B．36个 C．40个 D．81个 【答案】B 【分析】分别计算长方体长、宽、高方向最多可切出的小正方体个数，再将三个方向的个数相乘得到总数量． 【详解】解：长方向可切小正方体个数为 ， 宽方向可切小正方体个数为 ， 高方向：，最多可切4个， 总个数为：． 题型八、有理数乘除混合运算 23．（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则即可求解． 【详解】解： ． 24．计算：（﹣12）（）的结果是_____． 【答案】 【分析】按照有理数乘除的运算法则进行计算即可. 【详解】解：原式＝﹣12××（﹣）＝． 故答案为 【点睛】本题主要考查了有理数乘除的运算法则，掌握运算法则是解答本题的关键. 25．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：含2个负因数，个数为偶数，积为正； B选项：含4个负因数，个数为偶数，积为正； C选项：含因数0，积为0； D选项：含3个负因数，个数为奇数，积为负． 题型九、有理数四则混合运算 26．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则，先乘除后加减，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A：，而选项结果为，故A错误； B：，而选项结果为，故B错误； C：先计算乘法，再计算减法，故C正确； D：先计算乘法，再计算加法，而选项结果为，故D错误； 故选：C． 27．已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如：．则________． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将对应数值代入公式，按照有理数运算法则计算即可． 【详解】解：将，代入得 ． 28．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原计算错误，选项不符合题意； B、，原计算错误，选项不符合题意； C、，原计算错误，选项不符合题意； D、，原计算正确，选项符合题意． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 29．某次数学考试成绩以90分为标准，高于90分记“”，低于90分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，，这五名同学的平均成绩应为（   ） A．91分 B．92分 C．93分 D．94分 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算． 先计算简记成绩的平均值，再加上标准分90分，即可得到五名同学的平均成绩． 【详解】解：简记成绩的和为：， ∴简记成绩的平均值为：， ∴这五名同学的平均成绩为：（分）． 故选：B． 30．给一部百科全书编上页码需要6869个数字（说明：一个两位数包含两个数字，如55视为2个数字），那么这部书共有__________页． 【答案】 【分析】分段计算不同位数页码所用数字总数，判断总页数范围，再计算剩余数字对应的四位数页码数量，最终得到总页数． 【详解】解：分段计算不同位数页码的数字用量： 1.页为一位数页码，共页，所用数字总数为 个； 2.页为两位数页码，共页，所用数字总数为 个； 前两段累计数字总数为 个； 3.页为三位数页码，共页，所用数字总数为 个； 前三段累计数字总数为 个； ∵， ∴总页数包含四位数页码， 剩余可用于编排四位数页码的数字个数为 个， 每个四位数页码用个数字，可得四位数页码的页数为页， ∴这部书的总页数为页． 31．如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是（π取3.14）（   ） A．6.28米 B．28.26米 C．31.4米 D．62.8米 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算和圆柱的计算．用空心圆柱的底面积÷厚度即可． 【详解】解：纸的总长度 米． 故选：B． 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 32．如图，数轴上点，分别表示数，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，观察数轴对每个选项进行判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、观察数轴在的右侧，则，故该选项错误，不符合题意； 、观察数轴，，则，故该选项错误，不符合题意； 、观察数轴，则，故该选项正确，符合题意； 、观察数轴，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 33．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式；①，；②；③；④，⑤．其中正确的有______（填序号）．    【答案】①④⑤ 【分析】根据数轴可得，，再根据有理数的运算法则进行判断即可． 【详解】解：①根据数轴可得：，；故①正确； ②∵，∴；故②不正确； ③∵，，∴；故③不正确； ④∵，∴，故④正确； ⑤∵，，∴，∴，故⑤正确； 综上：正确的有①④⑤； 故答案为：①④⑤ 【点睛】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数左边<右边；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；以及有理数的运算法则． 34．表示有理数a、b、c的点在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上有理数的大小比较及有理数的运算符号判断，熟练掌握利用数轴确定数的符号与绝对值大小是解题的关键． 根据数轴确定、、的符号及绝对值大小，再逐一分析选项． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∵ ，，， ∴ ，A错误， ∵ ，， ∴ ，B错误， ∵ ，， ∴ ，C错误， ∵ ， ∴ ，D正确， 故选：D． 题型十二、数轴上的翻折 35．在数轴上点表示的数为，点表示的数为5．若将数轴折叠，使点与点重合，则折叠后与点（表示的数为）重合的点表示的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵折叠后点与点重合， ∴折痕对应的数为， ∵点到折痕的距离为， ∴与点重合的点表示的数为． 36．点M，P，N在数轴上，点M，N表示的数分别是和6，点P在M，N之间，现以点P为折叠点，将数轴向右对折．若点M对折后对应的点为Q，并且点Q和点N的距离为2个单位长度，则点P表示的数是______． 【答案】或/或 【分析】根据点到点的距离为，分两种情况求出点表示的数，折叠后点是线段的中点，用中点计算方法即可得到结果． 【详解】解：已知点表示的数为，点表示的数为， ∵点和点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵以点为折叠点对折后，点的对应点为， ∴点是线段的中点， 当点表示时，点表示的数为， 当点表示时，点表示的数为， 两个结果都满足点在，之间， 因此点表示的数是或． 37．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、18，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴求出点表示的数，再根据折叠的性质求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵，且点在点B的右侧， ∴点表示的数为， ∵将数轴向右对折后点A与点重合， ∴点C表示的数为． 解答题 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 39．计算下列各题，写出必要的计算过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简符号，再分组进行有理数加减运算； （2）去括号，利用加法交换律把同分母分数合并再计算； （3）利用乘法分配律，用括号外的数分别乘以括号内每一项，再加减运算即可； （4）先把除法转化为乘法运算，再用乘法交换律、结合律分组约分，算出结果即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 40．请根据图示的对话解答下列问题． (1)______，______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据相反数和倒数的定义计算即可； （2）根据非负数的性质得到，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ． 41．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 42．数学课上，张老师让大家在纸条上画一个数轴并按照以下操作进行探究． 探究一：折叠纸条，使折叠点表示的数是． (1)数轴上表示的点与表示________的点因折叠而重合； (2)已知该数轴上的点，之间的距离为个单位长度，且折叠后两点重合，则点表示的数是________； (3)探究二：在纸条上剪下一段长个单位长度的数轴，令其中点为原点，折叠纸条使折痕正好将数轴分为的两段，求此时折叠点表示的数． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设数轴上表示的点与表示的点因折叠而重合，折叠点表示的数是，进一步列式计算即可. （2）分两种情况：当在折叠点的左边时，当在折叠点的右边时，再进一步求解即可. （3）根据折叠纸条使折痕正好将数轴分为的两段，可得折叠点左右两边的长度为与或与，进一步可得答案. 【详解】（1）解：设数轴上表示的点与表示的点因折叠而重合，折叠点表示的数是， ∵， ∴. （2）解：该数轴上的点，之间的距离为个单位长度，且折叠后两点重合， 当在折叠点的左边时，点表示的数是， 当在折叠点的右边时，点表示的数是， 综上：点表示的数是或. （3）解：∵在纸条上剪下一段长个单位长度的数轴，令其中点为原点， ∴数轴上的整数点有个，是到之间的整数（含端点）， ∵折叠纸条使折痕正好将数轴分为的两段， ∴折叠点左右两边的长度为与或与， ∴折叠点表示的数为或. 43．水果店引进一批智利进口车厘子，一共盒，每盒标准净重．超过记为正数，不足记为负数，称重后得到如下记录： 每盒与标准质量的差（） 盒数（盒） (1)求这盒车厘子的总净重； (2)水果店按每盒实际净重分级销售：单盒净重不低于的定为“特级果”，售价为元；单盒净重低于定为“一级果”，售价为元．若按上述标准分级销售，求这盒车厘子的总销售收入； (3)若这批车厘子按实际净重以元购进，且冷链运输及包装费用共元．求全部售完后的总利润． 【答案】(1) (2)元 (3)元 【分析】（1）求出称重记录的数据之和，再与标准重量相加，即为总净重量； （2）先分别求出特级果净重、一级果净重，然后再列式求销售总收入即可； （3）先求出总成本，再用总销售收入减去总成本即可解答． 【详解】（1）解：． 答：盒车厘子的总净重． （2）解：特级果净重：； 一级果净重：； 销售总收入：元． 答：销售总收入元． （3）解：总成本：元； 总利润：元． 答：全部售完后的总利润为元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.理解有理数乘法法则，能准确判断积的符号，熟练进行两个及多个有理数的乘法 运算；掌握倒数的概念，会求一个非零数的倒数。 2,掌握乘法交换律、结合律、分配律，能够运用乘法运算律简化有理数乘法计算， 减少运算失误。 3理解有理数除法法则，知道“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”， 熟练将除法转化为乘法进行运算，明确0不能作除数。 4.能够正确完成有理数乘除同级运算，掌握运算顺序，规范处理符号、括号问题。 5会利用有理数乘、除法解决简单实际问题，读懂题干数量关系，列出乘除算式求 解。 6梳理易错点：多个数相乘时符号判断错误；忽略0不能做除数；分配律使用时 漏乘；倒数与相反数概念混淆。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上的翻折 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：倒数 1定义：乘积为1的两个数互为倒数。 2关键点：0没有倒数（不存在一个数与0相乘等于1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符 号相同。 2 例：3的倒数是3：的倒数是 4.倒数的求法 试卷第2页（共3页） 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除 以这个数求倒数 小数的倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照 真、假分数求倒数的方法来进行 先把带分数化为假分数，然后将分子分 带分数的倒数 母调换位置 知识点02：有理数的乘法 一、两数相乘法则 1法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何 数同0相乘，都得0。 2分步计算步骤： 判断两个因数符号，确定积的符号； 计算两个数绝对值的乘积： 组合符号与绝对值结果。 3.举例：（-3)×(4)：同号得正，3×4=12，结果12； （-5)×2:异号得负，5×2=10，结果-10；0×(7.5)=0。· 二、多个有理数相乘符号规律 1,几个不为0的数相乘，负因数的个数决定积的符号：负因数有偶数 个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 试卷第3页（共3页） 2简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是0，积直接等于0，无需 判断符号。例：(1)×(-2)×(3)，3个负因数（奇数），积为负： (-2)×0×5=0。 三乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先 把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 个数与两个数的和相乘，等于把这个数 乘法分配率 分别与这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac 简便计算4种分组技巧 ①凑1分组：互为倒数优先相乘；②凑整分组：③同符号结合：④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03：有理数的除法 除法两条核心法则 法则1（转化法，通用） 除以一个不等手0的数，等于乘这个数的倒数。 公式：ah=axb≠0) 适用：分数、小数、多步混合运算。 试卷第4页（共3页） 法则2（符号直接判断，两数相除） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除：0除以任何一个不 等手0的数，都得0。 注意：0不能作除数，00无意义。 乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04：有理数乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一转化为乘法（变除号为乘号，除数换成它的倒 数)； 2统计所有负因数个数，确定最终结果符号； 3.约分计算所有绝对值的乘积： 4.写出最终带符号结果，化为最简分数。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部；禁止跳步约分，移 动数字必须连带自身符号。 知识点05：实际应用题型 试卷第5页（共3页） 通用解题流程 1规定相反意义量的正负； 2根据题意列乘除算式； 3按乘除法测计算； 4结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06：高频易错点汇总表（敦师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0有倒数 0的倒数是0 0没有倒数 概念记忆模糊 括号内每一项都要 分配律漏乘 2×(3-5)=6-5 2×3-2×5 乘外面因数 奇数个负因数结果 多因数符号数错 (-2)×(-3)×(-1)=6 -6 为负 除法直接约分不变倒 4()=4x 4×(-2) 忘记除法要乘倒数 数 0不能做除数， 0作除数 8÷0=0 忽略除法限制条件 式子无意义 试卷第6页（共3页） ☆ 题型精析 题型一、两个有理数的乘法运算 1.计算： （-3)×(-2)= 2.在下列给出的四个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘 法法则，则添加的这个算式可以是() ①8x9,@-3x1:③10x0,④5x(-7) A.5×13 B.（6)x4 c.（-2)×(-3) D.(-3)x8 3.定义关于有理教a.b的新运算，ax6)=f儿axfO.例如：若/6)=5)=4 则f5)=Bxf6)=20.若14=2，则f256)的结果 题型二、多个有理数的乘法运算 4.下列各式中，积为负数的是() A.（-2)×(-3)×(-4)x(-5) B.（-3列×(-5)×0x(-7) c.（-)×2x×(-3)x(-4) D.（-2)×(-5)x4 5.在数-5,3,1，-2,4中，任意取3个不同的数相乘，其中最大的乘积是 6.若a,b是有理数，定义一种新运算巴：a⊕6=2ab+1,计算3⊕(-5刃©(-6)的值为 () A.348 B.349 C.347 D.350 题型三、有理数乘法的实际应用 7.南通素有“建筑之乡”的美誉，濠河穿城而过.某日8时至18时，濠河水位随时间均 匀下降，每小时下降03米.若水位上升记作正，则当日18时水位与当日8时水位的差值 试卷第7页（共3页） 应记作() A.+3米 B.-3米 C.0.2米 D.0.2米 8.寒假即将来临，某商场特别关注“寒假经济”带来的效益，在青少年商品专场适时开展 商品促销活动，顾客只能参加一种促销活动 方式一：全场消费金额满100元，立减50元： 方式二：全场打六折. 小明发现了一套心仪的图书，标价92元，在收银台，小明看见有一些精美书签作为附属商 品，标价每枚9元，小明如果再买三枚书签，方式更便宜. 9.如图是一个长、宽、高分别为l5cm,8cm,8cm的长方体容器，其内部有一个边长为 3cm的立方体铁块和一个长、宽、高分别为3cm,3cm,6cm的长方体，将容器中盛满水 时，则容器内水的体积为() A.960cm3 B.906cm3 C.879cm3 D.852cm3 题型四、倒数 10.实数-2022的倒数是() 1 1 A.2022 B.-2022 C. 2022 D. 2022 11.如图，在数轴上有a、b、c、d四个数，有可能互为倒数的两个数是() ab 01 2 3 A.a和b B.b和c C.a和d D.b和d 12.若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值为3，则a+b-m+cd的值为 题型五、有理数乘法运算律 试卷第8页（共3页） 13.计算：（←25)x13+25x(-7) 3199 14.计算5×99×100时，用()计算比较简便. A.加法结合律 B.乘法分配律 C.乘法交换律 D,乘法结合律 15.下面各图中，不能说明6x3+4×3与(6+4)x3 相等的是() 6cm 4cm 3cm 每本6元 每支4元 图图图 B ?cm ?元 4cm 6cm 888888 C D 3cm cm ?个 题型六、有理数的除法运算 7.17 17.等式6486 ×48这一步变形的依据是一 18.在数字6、-4、9、1、-2中抽取两个数相除，所得的商最小是() A.-4 B.-2 c.-4.5 D.-3 19.下列说法错误的是() A.若a<0,b<0,则6>0 B.若号<0，则b<0 C.若b=0,则6=0 D.若分=0，则b=0 题型七、有理数除法的应用 试卷第9页（共3页） d≥1 20.如果a,那么a的取值范围是() A.a<0 B.a≤0 c.a≥0 D.a>0 21.有编号为1,2,3,4,5的五个药瓶，每瓶中有20粒药丸，每粒药丸重10克，其中 有几瓶受潮了，受潮的每个药丸重11克.小明想到了一个办法：从每个药瓶中取出至少1 粒药丸混在一起，对其只称重一次，就能找出受潮的瓶子，若称得被取出的混合药丸总重 量为336克，则受潮的药瓶编号为： 22.一个长方体木块，长、宽都是6cm,高是9Cm,把它切成棱长2cm的小正方体，最多 能切() A.27个 B.36个 C.40个 D.81个 题型八、有理数乘除混合运算 2a22 A.2 B.-1 C.1 D.4 5 24.计算：(-12)÷5×(12)的结果是 25.下列式子中，积的符号为负的是() a（+ .（兮(6x(( c（-3x(x(-7x0 .←x+ 题型九、有理数四则混合运算 26.下列计算正确的是（) A,3+(-2)=(-) B.（)-2=-1 C.1-3×(-2)=7 n+引 试卷第10页（共3页） 27.己知x,y均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足※y=y+x-y川-1，例 如： ※2=1x2+11-2-1=2.则3※(-2)= 28.下列计算正确的是（) A.10-2+3=10-5=5 B.18÷2x3=181=18 3 1,2_1+23 C.3+53+58 D.18}-18-18x9-6=3 2 题型十、有理数四侧混合运算的实际应用 29.某次数学考试成绩以90分为标准，高于90分记“+”，低于90分记为“-”，将某 小组五名同学的成绩简记为+10，+5，-3，-2,0，这五名同学的平均成绩应为() A.91分 B.92分 C.93分 D.94分 30.给一部百科全书编上页码需要6869个数字（说明：一个两位数包含两个数字，如55 视为2个数字)，那么这部书共有二 页 31.如图，某种卷筒纸的外直径为l2cm,内直径为6cm,每层纸的厚度为0.03cm.假如 把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是（π取3.14）() A.6.28米 B.28.26米 C.31.4米 D.62.8米 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 32.如图，数轴上点A,B分别表示数a,b,下列结论正确的是() 试卷第11页（共3页） A ⊙ a-1 0 A.a>b B.-a+b<0 C.a+1<0 D.1 33.有理数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式：①a<0,b>0;② @l+b1=0.其中正确的有 a-b>0:③a+b>0:④4-b>0,⑤a+b (填序号). a 06→ 34.表示有理数a、b、c的点在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是() a 0 A.a+b>0 B bc>0 C.b-c<0 D. c-a>0 题型十二、数轴上的翻折 35.在数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为5.若将数轴折叠，使点A与点B重 合，则折叠后与点C(表示的数为-1)重合的点表示的数是() A.1 B.2 C.3 D.4 36.点M,P,N在数轴上，点M,N表示的数分别是-12和6，点P在M,N之间，现以 点P为折叠点，将数轴向右对折.若点M对折后对应的点为Q,并且点Q和点N的距离为 2个单位长度，则点P表示的数是 37.如图，一条数轴上有点A、B、C,其中点A、B表示的数分别是-24、18，现以点C 为折点，将数轴向右对折后点A与点A重合，若AB=4,则C点表示的数是() L B→ BA A.0 B.-1 C.-2 D.-5 解答题 38.计算： 试卷第12页（共3页） 42-(3) ®（月， o 025(周 6-7)-(+5)+(4)-（-10) o+号() o8 ®2×品名】 g65列(2（号(-5， a0364× 39.计算下列各题，写出必要的计算过程. )40-(27)+19-（1) 动 号8（网 试卷第13页（共3页） 8} 40.请根据图示的对话解答下列问题. 已知a与2互为相反数。 1 冰墩墩 b与-5互为倒数。 雪容融 (1)a= b= (2)已知m-a+b+n卡0，求m、n的值. 41。已知有理数a,6,c在数辅上的位置如图所示，且4=4 c b o a ()求a+b与6的值： la b 3bcl (2)化简：abbc. 42.数学课上，张老师让大家在纸条上画一个数轴并按照以下操作进行探究. 折叠点 探究一：折叠纸条，使折叠点表示的数是-3 (1)数轴上表示-5的点与表示 的点因折叠而重合： (2)已知该数轴上的点A,B之间的距离为8个单位长度，且折叠后两点重合，则点A表示 的数是 (3)探究二：在纸条上剪下一段长8个单位长度的数轴，令其中点为原点，折叠纸条使折痕 正好将数轴分为1：3的两段，求此时折叠点表示的数. 43.水果店引进一批智利进口车厘子，一共20盒，每盒标准净重480g.超过480g记为正 试卷第14页（共3页） 数，不足480g记为负数，称重后得到如下记录： 每盒与标准质量的差(8) -20 -10 +20 +30 +40 盒数（盒） 4 3 2 6 2 (1)求这20盒车厘子的总净重： (2)水果店按每盒实际净重分级销售：单盒净重不低于500g的定为“特级果”，售价为14 元100g:单盒净重低于500g定为“一级果”，售价为12元/100g.若按上述标准分级销 售，求这20盒车厘子的总销售收入： (3)若这批车厘子按实际净重以8元100g购进，且冷链运输及包装费用共120元.求全部售 完后的总利润. 试卷第15页（共3页）