1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南长沙高二上期末）已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（） A. B.4 C. D. 【答案】C 【解析】设点,点,则向量,直线方向向量. 计算内积得, 计算模长, 由此得, 利用三角恒等式得. 因此点到直线的距离为. 2.（2025-2026·湖南长沙高一下期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（） A. B.2 C. D. 【答案】D 【解析】由点、得，平面的法向量为，点到平面的距离公式为. 代入坐标计算得. 故选：D. 3.（2025-2026·江苏常州高一下期末）如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，点在正方形内，若，平面AEF，则的最小值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】连接，，得， 故平面截正方体所得截线为梯形，分别取，中点，，连接，，， 由，，得，平面. 四边形为平行四边形， 故， 从而平面，又，平面， 故平面平面. 由平面，点在正方形内，得点的运动轨迹为平面与正方形的交线，，，， 由为最长边，结合，得为锐角三角形. 计算得， 故为锐角， 从而. 设的最小值为边上的高， 由三角形面积公式得， 化简得， 即的最小值为. 故选：A. 4.（2026-2027·湖南长沙高二上开学考）如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，为中点，则直线与所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】取的中点，连接， 由为中点得， 故直线与所成角为或其补角. 设， 由两两垂直，得，，. 在中， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 5.（2025-2026·湖南长沙高一下期末）如图，棱长为的正方体中，异面直线与所成的角是（） A.120° B.90° C.60° D.30° 【答案】C 【解析】连接，，由且，得四边形为平行四边形，从而推出，故异面直线与所成的角为或其补角. 正方体棱长为，可得，即为等边三角形，故. 故选：C. 6.在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 建立如图所示空间直角坐标系，则、、、、，，， 设点，其中， 所以， 设平面的法向量为， 则，所以， ， 因为，则，则，则， 所以，，则.所以选择B. 7.如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（） A. B. C. D.1 【答案】C 【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系, 令,则,,,,. 设平面的法向量为, 由,,得. 令,则,, 故. 平面的法向量为, 由,得. 设平面与平面的夹角为,, 则, 故. 故选:C. 8.如图所示，在五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD＝AE.设CE与平面ABE所成的角为α，AE＝k(k＞0)，若α∈，则当k取最大值时，平面BDE与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B.1 C. D. 【答案】C 【解析】如图所示，以C为原点，在平面ABC内，以过点C且与AC垂直的直线为x轴，以CA，CD所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz， 则A(0,1,0)，D，E(0,1，k)，B， 取AB的中点M，则M， 则平面ABE的一个法向量为＝， 由题意得sin α＝cos〈，〉＝＝， 又α∈， 所以≤sin α＝≤，解得≤k≤， 所以k的最大值为， 当k＝时， 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 取z＝，得n＝(，－1，)， 易知平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)，设平面BDE和平面ABC所成的角为θ， 则cos θ＝＝， 所以sin θ＝＝， 所以tan θ＝＝. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南益阳高二下期末）如图，在边长为的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（） A.当点与点重合时，直线平面 B.当点移动时，点到平面的距离为定值 C.当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为 D.当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为 【答案】ACD 【解析】由得四点共面，与重合时，平面，故A正确. 以为坐标原点建立空间直角坐标系，为中点， 设，，得，，计算得，，. 设平面的法向量为，由得，令得，，故. 点到平面的距离，随变化不为定值，故B错误. 与重合时，由前述结论得，，平面的法向量为，设两平面夹角为，则，从而，故C正确. 由且得四边形为平行四边形，故，过中点作，分别交于，交于，得，故平面截正方体所得截面为四边形. 在上底面以为原点建立平面坐标系，得，，为中点，故，由得直线方程为，可知为靠近的四等分点，为靠近的四等分点，计算得，，，由得四边形为等腰梯形，其高，故截面面积，故D正确. 故选：ACD. 10.（2025-2026·湖南邵阳高二下期末）如图，在直三棱柱中，为的中点.若为线段上两点，且，则（） A.平面 B.异面直线与所成角的余弦值为 C.三棱锥的体积为定值 D.点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】连接交于，连接，得为中点，故，又平面，平面，从而平面，故选项A正确. 延长交于点，连接，由为中点得，四边形为平行四边形，故，即为异面直线与所成角，由，得，计算得，，故，故选项B错误. ，点到的距离为定值，又，故的面积为定值，由直三棱柱性质得平面，平面，故，结合，为中点得，又，平面，故平面，从而为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项C正确. 设点到平面的距离为，由，，得，故，由直三棱柱性质得平面，故平面平面，结合平面平面，，平面得平面，又为中点，故点到平面的距离为，由得，化简得，故选项D正确. 故选：ACD. 11.（2025-2026·山东临沂高二上月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（） A. B. C.异面直线与夹角的余弦值为 D.点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】由平面，平面，得，，底面为正方形， 故， 因此两两互相垂直. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，结合，得. 对选项A，， 故A正确. 对选项B，， 计算得， 故B错误. 对选项C，，异面直线与夹角的余弦值为， 故C正确. 对选项D， 设平面的法向量为， 由，令，得， 即，点到平面的距离， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南邵阳高二上期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为                   . 【答案】 【解析】由题意得,直线方向向量 因为且 所以 则点到直线的距离为. 13.（2025-2026·湖南永州高一下期末）已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于                   ． 【答案】 【解析】直二面角，由，，，，得，，，. 由，，得，，故. 因为，平面，所以为三棱锥的高，计算得，从而. 在中，，，得. 设点到平面的距离为，由，代入得，化简得. 故答案为：. 14.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则直线A1D1到平面EFGH的距离为                  ． 【答案】 【解析】以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则E，F，G，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)， ∴＝(－1,0,0)，＝，＝(1,0,0)， ∴∥．又∵EF⊂平面EFGH，D1A1⊄平面EFGH， ∴D1A1∥平面EFGH．∴A1D1到平面EFGH的距离， 即为点D1到平面EFGH的距离． 设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝6，则y＝－1，∴n＝(0，－1,6)， n的单位向量n0＝． 又∵＝， ∴点D1到平面EFGH的距离d＝|·n0|＝＝， ∴直线A1D1到平面EFGH的距离为． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高二上期中）如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) 证明：以为原点,分别以、、所在直线为、、轴,建立空间直角坐标系. 设,得各点坐标：, 故, 即, 故, 即. 因,且平面, 由线面垂直判定定理,得平面. (2) 解：由,得. 由(1)知,为平面的法向量. 设直线与平面所成角为, 则. 16.（2025-2026·湖南长沙高一下期末）如图，四棱锥的侧面是边长为的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)解：侧面是边长为的正三角形，为中点， 故，，结合平面平面，平面平面，平面，得平面， 即为四棱锥的高. 底面为边长的正方形， 故四棱锥的体积. (2)证明：平面，平面， 故. 正方形中，，得， 故，又，平面， 故平面，结合平面，得. (3)解：设，连接， 由平面，得为直线与平面所成的角. 在中，， 由等面积关系， 解得， 从而. 在中，， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南长沙高二上期末）已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（） A. B.4 C. D. 2.（2025-2026·湖南长沙高一下期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（） A. B.2 C. D. 3.（2025-2026·江苏常州高一下期末）如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，点在正方形内，若，平面AEF，则的最小值是（） A. B. C. D. 4.（2026-2027·湖南长沙高二上开学考）如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，为中点，则直线与所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 5.（2025-2026·湖南长沙高一下期末）如图，棱长为的正方体中，异面直线与所成的角是（） A.120° B.90° C.60° D.30° 6.在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（） A. B. C. D.1 8.如图所示，在五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD＝AE.设CE与平面ABE所成的角为α，AE＝k(k＞0)，若α∈，则当k取最大值时，平面BDE与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B.1 C. D. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南益阳高二下期末）如图，在边长为的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（） A.当点与点重合时，直线平面 B.当点移动时，点到平面的距离为定值 C.当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为 D.当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为 10.（2025-2026·湖南邵阳高二下期末）如图，在直三棱柱中，为的中点.若为线段上两点，且，则（） A.平面 B.异面直线与所成角的余弦值为 C.三棱锥的体积为定值 D.点到平面的距离为 11.（2025-2026·山东临沂高二上月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（） A. B. C.异面直线与夹角的余弦值为 D.点到平面的距离为 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南邵阳高二上期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为                   . 13.（2025-2026·湖南永州高一下期末）已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于                   ． 14.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则直线A1D1到平面EFGH的距离为                  ． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高二上期中）如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 16.（2025-2026·湖南长沙高一下期末）如图，四棱锥的侧面是边长为的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $