第1章·特殊平行四边形·期中复习·满分压轴讲义 ·2026--2027学年北师大版九年级数学上册

第1章·特殊平行四边形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理，能灵活运用于证明与计算 · 理解平行四边形与特殊平行四边形之间的从属关系，能识别中点四边形形状 · 能解决折叠、旋转、动点等几何综合压轴题，掌握全等与相似的辅助线构造 · 能在坐标系中求最短路径、最值问题，运用勾股定理与斜中线定理 · 能利用无刻度直尺作图，综合运用特殊平行四边形性质进行探究 📚 知识梳理 ☆ 1.矩形的性质与判定 性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；是轴对称图形（两条对称轴） 判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，是矩形性质的重要推论 矩形折叠问题常利用折叠前后对应边相等、对应角相等，结合勾股定理列方程 概念辨析例题：矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以B为圆心画弧作角平分线交CD于E，则DE的长为？ 答案：DE=3 解析：由角平分线性质得E到BD与BC距离相等，设EC=x，在Rt△BCE中用勾股定理求解。 ☆ 2.菱形的性质与判定 性质：四条边相等；对角线互相垂直且平分每组对角；面积等于对角线乘积的一半 判定：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形 菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在直线） 菱形动点问题常结合函数图象判断面积随时间的变化趋势 概念辨析例题：菱形ABCD边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线长为？ 答案：8 解析：菱形对角线互相垂直平分，用勾股定理：另一对角线一半==4，故全长8。 ☆ 3.正方形的性质与判定 性质：四边相等、四角为直角、对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；矩形+菱形性质同时满足 正方形兼具矩形与菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形 赵爽弦图是四个全等直角三角形围成的正方形，常用于勾股定理证明与面积计算 概念辨析例题：正方形ABCD边长为6，E为BC中点，连接AE，则AE的长为？ 答案：AE=3 解析：在Rt△ABE中，AB=6，BE=3，由勾股定理AE==3。 ☆ 4.三角形中位线与中点四边形 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 中点四边形形状由原四边形对角线决定：对角线相等→菱形；对角线垂直→矩形；垂直且相等→正方形 直角三角形斜边中线等于斜边一半，常用于线段倍分关系证明 中位线与斜中线结合，可解决多中点连线的角度与长度问题 概念辨析例题：四边形ABCD中，AC=BD=10，则其中点四边形的周长为？ 答案：20 解析：中点四边形各边分别平行于原四边形对角线且等于其一半，故周长=AC+BD=20。 📋 知识总结表 图形 性质要点 判定定理 矩形 四角直角、对角线相等、两条对称轴 一个直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形 菱形 四边相等、对角线垂直平分对角 一组邻边相等的平行四边形；对角线垂直的平行四边形 正方形 兼具矩形与菱形全部性质 矩形+一组邻边相等；菱形+一个直角 中点四边形 形状由原四边形对角线决定 对角线相等→菱形；垂直→矩形 斜中线定理 直角三角形斜边中线=斜边一半 常用于线段倍分证明 面积公式 矩形=ab；菱形=d₁d₂；正方形=a² 割补法求阴影面积 ⚠️ 核心考点 【考点1】矩形的性质、判定与折叠（第1-12题） · 矩形折叠：折叠前后对应边相等、对应角相等，设未知数用勾股定理列方程 · 矩形中遇中点常连接对角线交点，利用对角线互相平分性质 · 坐标系中矩形：利用坐标平移与勾股定理求线段长 · 矩形+垂直平分线：常证菱形（四边相等） 1．（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，射线，，，分别是，上的两个动点（不与，重合），，是上一点，，是的中点，记，．当点，的位置发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式化简求值、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】构造中位线辅助线，利用三角形中位线定理、平行线性质，结合的数量关系，推导出、固定关系式，再逐个化简选项代数式判断定值． 【详解】解：延长至，使，连接， 是中点，， 是的中位线，， 即， 设， 由得：， 设，则，，， ，， 、， ， 作延长线于点，则四边形为矩形， ， 根据勾股定理，，， ， 即， ， A、随动点变化，差值改变； B、随动点变化； C、随动点变化； D、，为定值． 2．（21-22八年级下·四川德阳·期末）如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接，将矩形纸片沿折叠，使点C恰好落在边 上的点处，若 ，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】根据矩形的性质得出，，再由勾股定理确定，得出，设，则，利用勾股定理得出，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵在矩形纸片中， ，， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， 又∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出为的平分线是解题关键．过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出的长． 【详解】解：如图，过点F作于Q． ∵在矩形中，，， ∴． 根据题意可知为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，点是的中点，连接，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．下列选项中，结论错误的是（    ） A．当时，点的坐标为 B．在矩形的移动过程中，的长度始终保持不变 C．当时，四边形是平行四边形 D．点到点的最大距离是6 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据直角三角形的性质，即可求得的长度，过点C作轴于点E，分别求得即可判断A选项；根据为的中点以及直角三角形的性质即可判定选项B，根据等腰三角形三线合一得到，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判断C选项；根据三角形边的关系可得，当O、M、C三点在同一直线时有最大值，求解即可判断D选项． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴． 在中，，则． 过点C作轴于点E， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，，， ∴点C的坐标是，故选项A正确； ∵M为的中点， ∴， 故选项B正确； 当时，是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 故选项C正确； ∵M为的中点， ∴， 根据三角形三边关系可得： ，当O、M、C三点在同一直线时，有最大值． 即点到点的最大距离是， 故选项D错误． 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）在矩形中，，，点为矩形内部的一点，，连接，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则长度的最大值是______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】连结，交于点O，取的中点H，连结，，，先根据矩形的性质及三角形的中位线定理等知识求出和的长，再根据两点之间线段最求解即可． 【详解】解：连结，交于点O，取的中点H，连结，，， ， 四边形是矩形， ，，，，， ， 在中，， ， ， ， ，， ， 点是的中点，， ， 点是的中点，， ， ， ， 当点H在上时，取最大值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形中的线段最值问题，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质等知识，添加辅助线，利用中位线定理解题是关键． 6．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为________． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意可证明，得到，继而得到，，当三点共线（点与点）时，的值最大，即，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， 在矩形中， ， ， ， ， ， ， 当三点共线（点与点）时，的值最大，即， ，， ， 在中，， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 7．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 8．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度线段运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，运动时间为______秒． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理， 分两种情况：当点E在线段上时，根据勾股定理求出，可得．再设，则，根据勾股定理可得方程，求出解可得答案； 当点E在射线上，仿照上述解答过程求出，再求出，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，当点E在线段上时， 根据题意可知， 在中，， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 所以运动的时间是； 如图所示，当点E在射线上时， 根据题意可知， 在中，， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 所以运动的时间是． 故答案为：或． 9．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】过点作交于点，延长使得，连接，先证明，得到为等腰直角三角形，，再证明，得到，，那么，可推出三点共线时，取得最小值，最小值为，接着证明，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，延长使得，连接， ∵四边形是矩形，点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为， 如下图所示，三点共线，此时在轴上： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·全国·寒假作业）平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且满足； (1)矩形的顶点B的坐标是（ ， ） (2)若是中点，沿折叠矩形使点落在处，折痕为，连接并延长交于，求直线的解析式． (3)将（2）中直线向左平移一个单位交轴于，为第二象限内的一个动点，且，求的最大值． 【答案】(1)6，8 (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的判定与性质求解、矩形与折叠问题 【分析】（1）将整理得出，根据平方和算术平方根的非负性可得：，，求解即可得到a、b的值，即可求出B点坐标； （2）连接，根据折叠的性质得出，证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，得出，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）根据平移得出直线的表达式为，求出点M的坐标为，以为直角边构造等腰，，，过点M作交的延长线于点J，连接，，取的中点R，连接，．证明，得出，求出，，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：将整理得： ， ∴，， 解得：，， ∴B点坐标为：； （2）解：连接，如图所示， ∵D是中点， ∴， ∵沿折叠矩形使O点落在E处，折痕为， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：． （3）解：直线向左平移一个单位后的表达式为：， 把代入得：， ∴点M的坐标为， ∴， 根据解析（2）可知：点F的坐标为， 如图，以为直角边构造等腰，，，过点M作交的延长线于点J，连接，，取的中点R，连接，． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点J的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数的平移、三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 11．（24-25八年级下·湖南·期末）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，以和为邻边作矩形，已知点，点是直线上一动点．    (1)求直线的解析式； (2)如图，若，求点的坐标； (3)若点为射线上一点，点为坐标平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形，且点的横纵坐标之和为整数．请判断是否存在这样的点．若存在，请求出这样的点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、矩形性质理解、坐标与图形综合 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）过作于，过作轴于，过作于，可证，得到，，又由四边形是矩形，得到，，即得，设，，得到，，即可得 ，，进而由得到，即得，把代入一次函数求出的值即可求解； （）利用待定系数法可得直线的解析式为，再求出，设，，分为对角线，为对角线和为对角线三种情况，利用矩形的性质列出方程组解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过作于，过作轴于，过作于，如图， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （3）解：存在以为顶点的四边形是矩形，理由如下： 设直线解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点，四边形是矩形， ∴， 设，， ①若为对角线，则的中点重合，且， ∴， 解得或， ∴（不合，舍去）或， 又∵点的横纵坐标之和为整数，而，和不是整数， ∴不合题意； ②若为对角线，则的中点重合，且， ∴， 解得， ∴，此时点重合，此种情况不存在； ③若为对角线，则的中点重合，且， ∴， 解得， ∴， ∵，和是整数， ∴点符合题意； 综上，存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，一次函数的几何应用，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 12．（25-26八年级下·四川德阳·期末）平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，不论为何值时，直线：都经过轴上一定点． (1)点的坐标为____； (2)如图，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点对应的点恰好在直线上，点对应的是点，若四边形为矩形，求出点的坐标； (3)如图，当的取值发生变化时，直线：绕着点旋转，当它与直线相交的夹角为时，把与直线的交点记为点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为或 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、证明四边形是平行四边形、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】（1）根据直线过定点的问题进行求解即可； （2）由题意易得点B坐标为，点C坐标为，四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，则需满足，设，然后根据两点间距离公式及等积法可进行求解； （3）连接，过A作于H，直线l：与直线交于P，由题意易得，则是等腰直角三角形，设，然后可得，进而根据两点间距离公式可得p的值，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵都经过轴上一定点， ∴当时，则有， 把代入得：， ∴点的坐标为； （2）解：如图， 在中，令得，令得， ∴点B坐标为，点C坐标为， 当时，， 根据平移的性质，可得， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是矩形，则需满足， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的直线解析式为，则有： ，解得， ∴直线的直线解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴点是由点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得到， ∵点对应的是点， ∴点N的坐标为； （3）解：连接，过A作于H，直线l：与直线交于P，如图： ∵直线l与直线相交的夹角为， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由两点间的距离公式得：， 化简变形可得， 解得， ∴点P的坐标为或， ∵， ∴当时，则有； 当时，则有； 综上所述：的面积为或． 【考点2】菱形的性质与判定（第13-17题） · 菱形面积=对角线乘积的一半，或底×高 · 证明菱形：先证平行四边形，再证一组邻边相等或对角线垂直 · 菱形动点函数图象：分段分析面积随路程的变化 · 菱形+等边三角形：利用60°角构造全等 13．（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、坐标与旋转规律问题 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 14．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，点P是菱形边上的动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点的位置的不同，分三段求出的面积的表达式是解题的关键． 设菱形的高为，即是一个定值，再分点在上，在上和在上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：分三种情况： ①当在边上时，如图1， 设菱形的高为， ， 随的增大而增大，不变， 随的增大而增大， 故选项C和D不正确； ②当在边上时，如图2， ， 和都不变， 在这个过程中，不变， 故选项B不正确； ③当在边上时，如图3， ， 随的增大而减小，不变， 随的增大而减小， 点从点出发沿在路径匀速运动到点， 在三条线段上运动的时间相同， 故选项A正确； 故选：A． 15．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转 到线段． (1)若，，且点与点重合（如图），线段的延长线交射线于点，直接写出的度数． (2)如图2，点不与点，重合，线段的延长线与射线交于点，连接，若，求证：四边形是菱形． (3)在（2）的条件下，猜想与的数量关系并证明． 【答案】(1)； (2) 证明：连接， ∵，是的中点， ∴，， ∵，， ∴四边形的对角线、互相垂直平分， ∴四边形是菱形； (3) 解：猜想：，理由如下：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴（） ∴，， 由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先根据已知条件判断为等边三角形，再结合旋转的性质得到为等边三角形，通过全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形三线合一的性质，求出的度数． （2）先由等腰三角形三线合一及，证明四边形的对角线互相垂直平分，从而判定其为菱形． （3）结合（2）中菱形的性质，利用全等三角形及旋转的性质，推导与的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴，，， ∵点与重合，将线段绕点顺时针旋转到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴； （2）略 （3）略 16．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在菱形中，，其中分别是边上的中点，则的周长为 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点在边上，点在边上，且，则周长的最小值为 ； 【问题解决】 （3）如图3，规划部门准备绿化一块四边形空地，计划在边，上分别取点，，利用小路，将这块四边形空地分开，在四边形空地内种植郁金香，其他区域种植草坪，为了方便市民游览，决定取的中点，沿着修建观赏长廊．经测量，，，，，为节约建设成本，修建长廊长度之和应该最短．请你帮助规划部门确定是否有最小值．若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在， 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）根据菱形的性质，推出为等边三角形，勾股定理求出的长，即可； （2）证明，得到，，得到为等边三角形，推出周长等于，进而得到当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可； （3）过点作于点，于点，连接，勾股定理求出的长，证明为等边三角形，进而推出，得到，得到，在上截取，连接，取的中点，连接，作点关于的对称点，连接，交于点，证明，得到为等边三角形，再证明，推出，再进行求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵分别是边上的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴的周长； （2）∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长为， ∴当最小时，的周长最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小，此时：， ∴， ∴周长的最小值为； （3）存在，如图，过点作于点，于点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在上截取，连接，取的中点，连接，作点关于的对称点，连接，，交于点，则是的中位线，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：的最小值为：， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最短问题，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 17．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】由菱形的性质得，，，结合，得出，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等且垂直，可得四边形是正方形． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是矩形， 又 ， 四边形是正方形． 【考点3】正方形的性质与判定（第18-33题） · 正方形中证明线段相等优先考虑全等三角形（SAS/ASA/HL） · 赵爽弦图：四个全等直角三角形+小正方形，用面积关系求边长 · 正方形坐标系：利用边长相等、对角线斜率为±1建立方程 · 正方形中最值问题：利用对称转化为两点之间线段最短 18．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，点在轴正半轴上，是对角线上的动点，是轴上的动点．当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】先利用“将军饮马”将转化为得出的值最小时轴，再证明进而得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点分别作轴于点、轴于点， 以为对称轴，作点的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点是点关于的对称点， 根据“将军饮马”可知， 当、、三点共线时，且轴，的值最小， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 19．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F．若，，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的混合运算、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质求线段长 【分析】过点作于点，题意可得，，根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，利用勾股定理求出，得到的值；再次利用直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，求出，根据，求出，即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意可得，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的边长是． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在正方形中，点为线段上一个动点，若垂直平分，且与、、、分别交于点、、、，若已知正方形的面积，可以求得（    ）    A．与面积之和 B．与面积之和 C．与面积之和 D．与面积之和 【答案】A 【知识点】用HL证全等（HL）、线段垂直平分线的性质、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形中位线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定、正方形的判定与性质是解题的关键；根据题意可以作，，，连接；设，先由直角三角形斜边上中线的性质得是三角形中位线，则有；再证明四边形是正方形，证明，则易得；设正方形的边长为，正方形面积为，则可计算出，再根据图形即可求解； 【详解】解：作，，，连接，如图；    设， 由四边形是正方形，则， 点是直角三角形斜边上的中点， ， ∵， ∴为中点， 为的中位线； ∴； 由四边形为正方形，则， ∵， ∴； ∵，，， 故四边形是正方形， ； 垂直平分 ， ∵， ， 则， ， ， ∴， 得：， 设正方形的边长为，则正方形面积为， 则，， 故； ∵， 故已知正方形的面积可以求出与面积之和． 故选：A． 21．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知正方形，延长至点使，连接，与交于点，取的中点，连接交于于点且交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到，故①正确；通过证明，可得，作于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出，可求，故②正确；由直角三角形的性质可得，即可得，故③错误；根据三角形的面积公式计算，可判断④；设可求可得，故⑤正确；即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作于G，则， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴设 ∴ ∴ ∴ ∴，故⑤正确； 所以，正确的结论是①②④⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为，点在上，，点，分别在，上，于点，连接，．两位同学经过深入研究，小明发现：线段的长度始终为；小丽发现：当时，取到最小值为．请对两位同学的发现作出判断（     ） A．小明的发现正确，小丽的发现错误 B．小明，小丽的发现都错误 C．小明的发现错误，小丽的发现正确 D．小明，小丽的发现都正确 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】首先通过构造全等三角形证明，从而验证小明的发现；其次利用轴对称性质（将军饮马模型）求出的最小值，并计算此时的度数，从而验证小丽的发现． 【详解】验证小明的发现： 如图1，过点作于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又 ，且在同一直线上，， ，即， 在和中， ， ， 在 中，， ，故小明的发现正确； 验证小丽的发现： 由可知， 设，则， 点在上，且在上方（由在上，在上及走向可知）， 点到的距离为， 点到的距离为， 在中，， 在中，， ，此式表示轴上一点到点和点的距离之和，如图， 作点关于轴的对称点，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ， 设所在直线解析式为，代入坐标可得， 解得，所以所在直线解析式为，与轴交点坐标为， 所以， 当时，,, 设, ， 在中，， 在中，， ，解得，， 所以是等腰直角三角形，所以， 所以小丽的发现正确， 综上所述，小明和小丽的发现都正确． 23．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，点E为正方形外一点，连接，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，则的长度为（        ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】连接，作于，利用正方形和等腰三角形性质证明，进而得出，为等腰直角三角形，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：如图，连接，作于， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 24．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形的边长为4，点E，F分别为，上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近B的四等分点，长度为（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据正方形性质证，易得，再运用正方形的性质以及勾股定理求得的长，如图：取中点G，连接，利用直角三角形斜边中线定理及三角形中位线定理求解 即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， 如图：取中点G，连接，则， ∵点N为线段靠近B的四等分点， ∴，即N为的中点， ∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴． 25．（24-25八年级下·福建厦门·期末）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．假设直角三角形的两直角边长分别为a，b（），斜边长为c，某数学兴趣小组受赵爽弦图的启发，先分别以a，b为边长构造了两个正方形，通过如图的裁切方式将边长为b的正方形裁切成四块，，是裁切线．若这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，则裁切点E与点A的距离为______．（用含有a，b的式子表示） 【答案】或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，根据题意正确拼接图形是解题的关键．分2种情况画出拼接成边长为c的正方形的示意图，结合图形的特点，再利用正方形和全等三角形的性质与判定等知识即可求解． 【详解】解：①若拼接边长为c的正方形如图1所示： 由图可知，，， 连接， 则四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 由图可知，四边形拼接至四边形， ∴， ∵这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形， ∴； ②若拼接边长为c的正方形如图2所示： 同理①的方法可得，，， 由图可知，四边形拼接至四边形， ∴， ∵这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形， ∴， ∴； ∴综上所述，裁切点E与点A的距离为或． 故答案为：或． 26．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在教学过程中，王老师为了让学生更加直观地体验四边形不具有稳定性，将四根长度为的木条用钉子钉成一个正方形框架，向右拉动框架得到四边形．当点D与点的距离最小时，四边形的面积为______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】根据题意可知四边形是菱形，边长为，根据三角形三边关系可知，当、、三点共线时，的距离最小，此时，利用勾股定理求出菱形的高，进而求出面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，四边形的四条边长均为， 四边形是菱形， 四边形是正方形， ，， ， 根据三角形三边关系可知，， 即当点在线段上时，点与点的距离最小， 此时， 是正方形的对角线， ， ， 过点作于点， ∴， ∴， 在中，， 解得：（负值舍去）， 四边形的面积． 27．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段检测）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为10，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 和的数量关系为：；理由如下： 在等腰中，， ， 在等腰中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，证明，由相似三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：． 证明：与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）解：连接、，如图3所示： 四边形是正方形， ，， 是正方形的中心， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， 正方形的边长． 28．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是边长为3的正方形，点是射线（除、外）的动点．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ 先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以．（无需证明） 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小亮提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除、外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； (2)小颖提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (3)老师提出：连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论（无需证明）．当时，此时的面积为_____． 【答案】(1)小亮的观点正确， 证明：∵正方形， ∴，， 在上取一点，使，连接． ， ， ， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ． (2)小颖的观点正确， 证明：如图示，在的延长线上取一点，使，连接． ， ， 平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， 即， ， ， ． (3)或；的面积为或． 【知识点】二次根式的乘法、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）在上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． （2）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． （3）分两种情形：如图3中，当点在线段上时，结论：．延长到，使得，则，再证明，可得结论；如图4中，当点在的延长线上时，结论，证明方法类似；结合前面结论分两种情形，解决问题即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：或；理由如下： 如图3中，当点在线段上时，结论：．    理由：延长到，使得，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，结论    理由：在上截取，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图3中，当点在线段上时， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，设， 同理可得：，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，熟悉相关性质，掌握类比的方法解题是关键． 29．（25-26九年级上·广西柳州·期中）问题情境：四边形中，点是对角线的中点，点是直线上的一个动点（点与点都不重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为，连接． (1)初步探究：如图1，已知四边形是正方形，且点在线段上，求证； (2)深入思考：如图2，已知四边形为菱形，且点在的延长线上，其余条件不变，探究与的数量关系并说明理由： (3)拓展延伸：如图3，已知四边形为矩形，且．点在直线上运动的过程中，若，求出的长是多少？ 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) ，理由如下： 延长交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据题意，，，，则，利用证明，即可得到答案； （2）延长交的延长线于点H，找到条件，证明，然后根据直角三角形斜边中线的性质得到； （3）根据题意，由，由两种情况，要进行分类讨论；结合矩形的性质，得到和是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出和的长度，然后求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①E在线段延长线上时，如图， ∵矩形， ∴， 当时，，即， ∴， ∵点O为中点， ∴点H为的中点，即，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； ②E在线段上时，如图， 延长交于点I， 同理由①可知，是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形，， ∴； 综合上述，的长度为：或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，涉及正方形、矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，构造等腰直角三角形进行解决问题．本题是压轴题，难度很大，需要对所学知识进行融会贯通． 30．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知正方形的边长为，点是正方形内一动点，且，连结、、，并延长交于． (1)求证：； (2)若时， ①如图2，求的长度； ②如图3，延长至点，使得，连结．求与四边形的面积比； (3)在图1中，在运动过程中，当的值最小时，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1) 证明：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， (2)①；② (3) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据等边对对等角和三角形内角和定理证明，，从而可得，再根据邻补角求出结论； （2）过点作，垂足为，取中点，连接、、，构造垂直全等模型，可得，进而证明是等腰直角三角形；再证明，得，再利用中位线性质和证明是直角三角形，利用角的转换证明，从而可得，由此得出， ②设，利用三角形内角和倒角得出，进而证明，是等腰直角三角形，由此得出，再利用等积变换得出，，由此即可解题； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，构造同（2）图可知：，由垂线段最短可知，由此得出最小，此时，即、重合，再构造（2）图形，先求出，是等腰直角三即可解题． 【详解】（1）略 （2）如解图2，过点作，垂足为，取中点，连接、、， ∵，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即是等腰直角三角形； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵由得， ∴， ∴四边形面积 ∴与四边形的面积比， （3）如解图3-1，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 同理（2）可得：，， ， ∵， ∴时，最小，此时，即、重合，如解图3-2， ∵，，， ∴， ∴，， 延长至点，使得，连结． 同理（2）②可得： ，是等腰直角三角形； ∴ ，即， ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形性质和判定、等腰三角形判定和性质、三角形中位线性质、勾股定理、等积变换等，解题关键是利用等腰三角形三线合一性质构造垂直全等模型，从而转化线段关系． 31．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，四边形是正方形，E是线段上一点，点F在对角线上，连接和，的延长线交的延长线于点G，． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，是否存在常数k使等式成立？若存在，写出k的值，并证明你写出的k值使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：四边形是正方形，是对角线 ，． 在和中， ． ，． ， ． ， (3)存在常数使等式成立． 理由如下： 如图，延长使得，连接， ，，， ． 在和中， ∴． ， ， 四边形是正方形， ， ， ． ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， ， 又， ． 存在常数使等式成立． 【知识点】实数的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形对角线的性质求解即可； （2）先证明，再证明即可； （3）延长使得，连接，证明，然后证明是等腰直角三角形，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，是对角线 ， ． （2）略 （3）略 32．（25-26八年级下·山东威海·期末）【模型分析】 (1)如图，在正方形中，点，分别在边，上，若，可得结论：．请对该结论进行证明； 【模型拓广】 (2)一般化推广： 如图Ⅱ，在四边形中，，，点 ，分别在边，上，若结论仍然成立，则与间的数量关系是 ．（直接写答案，不用证明） (3)生活化应用： 如图Ⅲ，点在的边上，，，，延长到，使，与交于点，，求的值． 【答案】(1)证明：延长到点，使，连接． ∵在正方形中，，， ∴， ，． ， ． ， ， ． ， ． (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）延长到G，使，连接，证明，，可得，进而可得结论； （2）延长至M，使，连接．证明．可得．然后根据，证明．可得．进而可以得到结论； （3）过点作，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，证明四边形是正方形．得出．由（1）可得：．证明四边形是平行四边形．得出．设为，则，，．在中，根据勾股定理可得，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作，过点作，交于点，过点作，交于点，连接． ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴ ∴四边形是正方形． ， ． 由（1）可得：． ∵， ∴四边形是平行四边形． ． 设为，则，，． 在中，可得． 解得，． ∴． ∴． 33．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）小静和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：在正方形中，、分别在边，上． (1)如图一，连接，，，求证：； (2)如图二，若点、、、分边、、、上，，则．为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点作交于点，过点作交于点； 方案二：过点作交于点，过点作交延长线于点． 对小静遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明． (3)如图三，如果把第（2）问条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为，的长为，试求的长度． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2)证明：选择方案一： 四边形是正方形，过点作交于点，过点作交于点， ∴，， ∴四边形，是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 选择方案二： 四边形是正方形，过点作交于点，过点作交延长线于点， ∴，， ∴四边形，是平行四边形， ∴，， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）可证得，则； （2）可证得，或，于是得到； （3）过点作交于点，过点作交于点，将绕点顺时针旋转到，可证得，则有，设，则，利用勾股定理，列式求解，从而解得的长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴在中，， 将绕点顺时针旋转到， ∵与的夹角为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ， 在中，， 解得， ∴． 【考点4】正方形折叠与旋转综合（第34-40题） · 折叠问题：折痕是对应点连线的垂直平分线，对应点到折痕距离相等 · 旋转90°：正方形旋转常构造全等，利用边角关系求角度 · 折叠+相似：折叠后产生的直角三角形与原三角形相似 · 旋转+最值：旋转过程中线段长度不变，求轨迹半径 34．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）正方形纸片的边长为12，点G在边上，连接，点E在边上，沿折叠该纸片，使点B落在上的F点，折痕与交于点H，若，则的长为（     ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】由正方形的性质可证明，则有，，再利用面积关系求得，进而由折叠的性质可求得，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∴． 35．（2025·江苏无锡·二模）如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、交于点，将沿对折，得到，延长线交延长线于点，下列结论正确的个数为（　　） ①；②；③；④； ⑤． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的求解问题、正方形折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】根据正方形的性质易证，即可判断①；根据，，即可得到，从而推出为直角三角形，即可判断②；根据，得到，结合折叠的性质可知，即可判断③；由③可知，根据正方形的性质和折叠的性质可得到，，，不妨设，，则，，利用勾股定理可求得，从而用表示出和，即可判断④；设与交于点，根据①②所得和折叠的性质可证，，得到，，进而得到为的中位线，然后由三角形面积公式得到，结合即可判断⑤． 【详解】解：四边形为正方形，、分别为、的中点， ，，，， ， ， ，故①正确； 由①可知， ， ，即， ， 在中，，故②正确； 四边形为正方形， ， ， 将沿对折，得到， ， ，故③正确； 由③可知， 四边形为正方形，点、分别为、的中点， ，， ， 将沿对折，得到， ，，， ， 不妨设，，则，， 在中，，即， 解得， ，， ，故④错误； 设与交于点，如图所示： 由①②可知，，，， 将沿对折，得到， ，， ， ， ，， ，， 点为的中点， ， ， 为的中位线， ， ，， ， ，， ，故⑤正确； 综上所述，结论正确的有4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 36．（24-25九年级下·广西贵港·阶段检测）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是边的上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】过点作，分别交于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点，连接， ∵在正方形中，，点是边的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∴周长的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 37．（23-24九年级下·广东广州·阶段检测）如图，在正方形中，点E为边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，交于点P． 当时，______； 当E为的中点时，______． 【答案】 /度 /0.75 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】当时，由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，则可得，再利用三角形内角和定理即可求出； 当E为的中点时，取中点T，连接，过点B作于G，过点P作于H，设，则，利用勾股定理求出，则，证明，求出，则，证明，进而证明，得到，设，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 当时，由折叠的性质可得 ， ∴， ∴； 如图所示，取中点T，连接，过点B作于G，过点P作于H，设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 38．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图1，在中，，，D，E分别为边和的中点，现将绕点A自由旋转，如图2，设直线与相交于点P，当时，线段的长为_________． 【答案】或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、根据旋转的性质求解 【分析】①当点在的右侧时，，可判定，由全等三角形的性质得，由正方形的判定方法及性质得，由勾股定理得，即可求解； ②当点在的左侧时，，同理可求． 【详解】解：①当点在的右侧时，，如图， 由旋转得， ， ， ，D，E分别为边和的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， ， ； ②当点在的左侧时，，如图， 同理可证，四边形是正方形， ，， ， ， ； 综上，线段的长为或． 【点睛】能根据点的不同位置进行分类讨论求解是解题的关键． 39．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，为点关于直线的对称点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段、和之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，连接，若，，是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2) ，理由如下， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 整理得，； (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据对称的性质得到，，根据正方形，等边对等角可得，由此即可求解； （2）如图所示，过点作于点，可证，，即是等腰直角三角形，由勾股定理，线段的和差计算即可求解； （3）根据题意得到，点是线段的中点，则，过点作，且，则四边形是平行四边形，，当点三点共线时，取得最小值，，过点作于点，作延长线于点，四边形是矩形，，可证是等腰直角三角形，则矩形是正方形，，，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵为点关于直线的对称点，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 如图所示， ∵对称， ∴垂直平分，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点，则， 过点作，且，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， 过点作于点，作延长线于点， ∴四边形是矩形，， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，则点是中点， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形、矩形、正方形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 40．（25-26八年级下·广东惠州·期末）模型与探究 (1)【基础探究·矩形模型初探】如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)【进阶拓展·菱形中点最值】如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； (3)【综合应用·正方形动态优化】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，、分别为、的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1) (2) (3)米 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）连接，交于，连接，根据中位线的性质得出，根据垂线段最短得出时，取最小值，此时，取最小值，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出，利用菱形面积公式求出的值即可得出答案； （3）连接，作点关于的对称点，连接，，根据正方形的性质得出米，米，进而得出四边形是矩形，，根据全等三角形的性质可得，根据轴对称的性质得出，得出当点、、在同一条直线上时取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接，交于，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴时，取最小值，此时，取最小值， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为． （3）解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∵四边形是正方形，米， ∴米，，， ∵、分别为、的中点， ∴米，米， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，米， 在和中，， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴，米， ∴， ∴， ∴当点、、在同一条直线上时取最小值，最小值为， ∵米， ∴米， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 【考点5】坐标系、动点与最值综合（第41-42题） · 最短路径：作对称点，两点之间线段最短 · 坐标系中距离公式： · 动点问题：分段讨论，建立函数关系式 · 无刻度直尺作图：利用格点与对角线性质连线 41．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，四边形是长方形，，．点在上运动，点在上，，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、根据矩形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】首先设，则，，然后得到，设，，，则，由将军饮马模型知，． 【详解】解：设，则，，其中， 设，，， 则， 设关于轴的对称点为，建立如图所示的平面直角坐标系： ． 42．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中作． (2)在图②中作正方形． (3)在图③中作菱形，使点在直线上． 【答案】(1) 即为所求． (2)正方形即为所求． (3)菱形即为所求． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、坐标系中的平移 【分析】（1）根据将点C向下平移1个单位，再向左平移4个单位即可得到点D，此时的四边形即为所求． （2）正方形的判定，结合一线三直角三角形全等模型，画图即可． （3）根据勾股定理，确定菱形的边长，再利用勾股定理，构造其余边长，结合四边相等的四边形是菱形． 本题考查了无刻度直尺的基本作图，勾股定理，熟练掌握平移，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【考点6】三角形中位线与斜边中线综合（第43-45题） · 中位线定理：平行且等于第三边一半 · 斜中线定理：直角三角形斜边中线=斜边一半 · 多中点连线：连续使用中位线定理，逐步化简 · 结合等腰三角形三线合一，求角度与长度 43．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，、、分别是各边的中点，是高，、交于点，若已经知道与度数的和，则可以求出下列哪个角的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出和为等腰三角形，进而表示出与，结合三角形内角和定理推出，最后利用三角形中位线定理和平行四边形性质得出与的关系即可求解． 【详解】解：∵，、分别是、的中点， ∴ 在 中，，在 中，， ∴，， ∴，， ∴， ∵ 在中，， ∴， ∵ 已知的度数 ， ∴ 可求出的度数 ， ∵、、分别是、、的中点， ∴，， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∴可以求出的度数． 44．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，点是边上的一个动点，以为直径的圆交于点，若线段长度的最小值是，则的面积为____________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质，连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得：，取边上的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：，根据两点之间线段最短可知当点、、三点共线时，最小，设，可得，解方程求出的值，即可得到的长度，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如下图所示，连接，取边上的中点，连接、， 是的直径， ， ， 两点之间线段最短， 当点、、三点共线时，最小， 设， 则有，， ， ， ， 解得：， ， ， ． 故答案为：. 45．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，点E是边上一点，连接，，过点B作，交于点F．延长至点G，使得，连接，且平分．若，，则的长为_____________． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】取的中点，连接，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而可得，结合平分，即可证明，结合等腰三角形的性质和判定证明，由即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵，即， ∴， ∴， 平分， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ∴． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记矩形、菱形、正方形的性质与判定，能画出从属关系图 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 · 正方形中证明优先用全等，注意SAS/ASA/HL的选择 · 坐标系最值问题多作对称点，转化为两点之间线段最短 · 中位线与斜中线定理是线段倍分证明的核心工具 【作业1】．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形中，，连接，直线垂直平分，分别交，于点E，F．下列结论：①四边形是菱形；②；③平分；④如果，，则的长为；则结论正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①④ 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】依次分析每个结论，利用矩形性质、垂直平分线性质、菱形判定、角的关系及勾股定理等知识判断对错． 【详解】解：如图， 垂直平分 ， 又四边形是矩形 ， （） 又， 四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），①正确． 四边形是菱形 ， 是的外角 ，②正确． 假设平分，则 ∴， ∵中， ∴，，但题干未给出此条件，所以不一定平分，③错误． ∵，， ∴设，则 在中，由勾股定理得： 即 解得， 在中， ，④错误． 综上，①②正确， 故选： 【点睛】本题主要考查矩形性质、菱形判定、垂直平分线性质、三角形外角性质及勾股定理，熟练掌握矩形与菱形的性质、几何图形中角与边的关系推导是解题关键． 【作业2】．（2024·新疆·一模）如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连接，，．下列结论：①；②且；③；④≌；⑤若，则．其中哪些结论是正确（   ） A．①②④⑤ B．②③④ C．①②③ D．②③④⑤ 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】证明，不垂直于，可得与不平行．可得不正确；证明≌，可得，，证明，可得正确；证明，可得正确；证明≌，可得正确；如图，过点作于点，设，则，求解 ，，可得不正确． 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ， 四边形为矩形， 在中，， ， 是中点， ， 正方形对角线互相垂直，过点只能有一条垂直于的直线， 不垂直于， 与不平行． 不正确； 四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ． 在中，是的中点， ，， ， ， ，而， ≌， ，， ， 即， ． 正确； ≌， ， ， ． 正确； ，，， ≌， 正确； 如图，过点作于点， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 不正确； 则正确的结论有． 【作业3】．（25-26八年级下·四川内江·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，使得点，，，在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】先求点坐标，可得正方形边长为，即可得，同理求，，，，，得出，代入即可求解． 【详解】解：直线与轴交于点，令得， ∴， ∴正方形边长为， ∴， ∵点在直线上且纵坐标为，代入解析式得， ∴， ∴正方形边长为， ∴， 同理得：，，，， ∴， 当时，即． 【作业4】．（25-26八年级下·上海·期末）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边，的垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为____________． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】连接，由勾股定理求出，再证四边形是矩形，得，然后由垂线段最短得时，线段的值最小，进而由三角形的面积求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时，，即， 解得：， 的最小值为． 【作业5】．（25-26八年级下·四川南充·期末）如图，直线平行于，点是上一个动点，与距离等于线段长，，那么最小值为______． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】先以为边构造正方形，通过同角的余角相等推导等角，利用证明得到，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半设线段长度，借助两点之间线段最短建立不等式，最后通过分式分母有理化化简，求出比值的最小值． 【详解】解：如图，以为边向点同侧构造正方形，过点作交于点，取中点为，连接、， 则与的距离为线段的长度，, ，， ， 又， 在和中， ， ∴， 设，则，， 在中，， ， ， ， 的最小值为． 【作业6】．（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，在边长为6的正方形中，点为上一点，是的中点，且．在上找点，使，则的长是_________． 【答案】1或5 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】分两种情况讨论：当点G靠近点B时，当点G靠近点C时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 当点G靠近点B时，过点G作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点G靠近点C时，过点G作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或5． 【作业7】．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为___________． 【答案】/135度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、根据正方形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及三角形的内角和，先根据折叠得到，，，，，根据三角形的内角和为得，再根据三角形的外角得到，计算出，从而得到的度数． 【详解】四边形是正方形，点为边的中点， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【作业8】．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于，则______，连接和，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】过点作于点，证明，得出，利用勾股定理求出的长即可；作点关于直线的对称点，在上取点使得，连接，则，由全等三角形性质得，进而得出，将线段向右平移个单位得到，则，当三点共线时和最小，构造直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∴； 如图，作点关于直线的对称点，连接，则，， 在上取点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作且，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∴， 如图，当三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，延长交的延长线于点， ∵，， ∴等于点到直线的距离， ∵点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵点在点右侧个单位，点在点右侧个单位（与同横坐标）， ∴， 在中，，即的最小值为． 【作业9】．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在中，，，于点，于点，且点是边的中点，的周长是18，则_____________． 【答案】12 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，分别表示出、、，结合等腰三角形三线合一求出，再通过周长求出腰长，最后用勾股定理计算高． 【详解】解：为中点， ． 为中点， ． ， 是中点，． 又为中点， ． 已知周长， 代入： ， ， ， ， ，为直角三角形，： ． 【作业10】．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，连结交于点，连结，．若，，则下列结论中正确的是__________．①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④． 【答案】①③④ 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形 【分析】根据矩形的性质可得，先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断④选项． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， 故①正确； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故③正确； 是等边三角形， ， ， ∴， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴，即，故②错误； 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④． 【作业11】．（25-26八年级下·上海青浦·阶段检测）如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】 ②③ 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，，， 当时， 四边形是矩形，不是菱形，则①不符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，则②符合题意； ∵且E是的中点， ∴， ∴四边形是菱形，则③符合题意； 所以选择②③能使四边形是菱形． 【作业12】．（2026·甘肃天水·中考真题）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 (1)如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 (2)如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 (3)如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，连接． 四边形为矩形， ∴， ，，， ∴， ， ∴， 即． ， ， 四边形为矩形， ，， ， ． (3)解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，． ， ． ， ． 由（2）同理可得，， ． ， ， ． 四边形为矩形， ， ， ． ， ． 【知识点】全等三角形综合问题、等边对等角、利用矩形的性质证明 【分析】（1）由平行线的性质得到．由得到，从而证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）连接．证明，得到，因此，从而，进而证明，即可得出． （3）延长至点，使得，连接，．由等边对等角得到，由得到，根据线段的和差得出，根据矩形的性质有，因此，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ． ， ， ． ，，， ， ． （2）略 （3）略 【作业13】．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点F作交延长线于点，则，证明，则，故，则，在中，由勾股定理得，继而； （2）在上取点，使得，连接，同上可知，则可证明，则，设，则，设，故，在中，由勾股定理得，解得，那么，故； （3）在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则，可证明，则，，设菱形的边长为，则，在中，，则，，可求出，由，得到，求出，，在中，设，则，，那么，则，故，则． 【详解】解：过点F作交延长线于点，则， 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （2）解：在上取点，使得，连接， 同上可知， ∴ ∴， ∴设， 则， ∵， 设， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 化简得：， ∴ ∴； （3）解：在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 同上可得：， ∵， ∴， ∴， 设菱形的边长为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设 ∵，则， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，难度较大，解题的关键是在于构造全等三角形和相似三角形． 【作业14】．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 背景阅读：折叠问题题型多样，变化灵活，从考查空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意日渐明显．折叠操作就是将图形的一部分沿一条直线翻折，使它与另一部分图形在这条直线的同旁重叠或者不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．所以在解决有关折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质． 实践操作： （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）如图2，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，与相交于点G，同时得到线段； （3）如图3，将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P，连接． 问题解决： (1)在图2中，_________； (2)在图3中，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，则_________． 【答案】(1)； (2)解：，证明如下： ∵将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ； (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，根据折叠的性质得出，，即可求出； （2）根据折叠的性质可得，根据等边对等角得到，可知，根据30度角的性质及勾股定理求出，根据30度角的性质得到，即可求出； （3）作交于点H，可知四边形是矩形，进而证明，得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据30度角的性质得到，，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕， ， ∴， ∴是等边三角形， ， 由折叠的性质得：，， ∴， 即； （2）略； （3）解：如图，作交于点H，可知四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 【作业15】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．请仅用无刻度的直尺进行以下作图： (1)如图1，菱形中，分别是中点，以为边作一个矩形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，菱形中，是对角线上一点，以为边作一个菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图3，平行四边形中，点分别是边上一点，且满足．连接，请过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据菱形的性质和三角形中位线定理作图即可； （2）根据菱形的中心对称性作图即可； （3）连接，交于，作直线交于，连接交于，于点． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求． （2）解：如图，四边形即为所求． （3）解：如图为的垂线，垂足为． 证明：∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·特殊平行四边形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理，能灵活运用于证明与计算 · 理解平行四边形与特殊平行四边形之间的从属关系，能识别中点四边形形状 · 能解决折叠、旋转、动点等几何综合压轴题，掌握全等与相似的辅助线构造 · 能在坐标系中求最短路径、最值问题，运用勾股定理与斜中线定理 · 能利用无刻度直尺作图，综合运用特殊平行四边形性质进行探究 📚 知识梳理 ☆ 1.矩形的性质与判定 性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；是轴对称图形（两条对称轴） 判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，是矩形性质的重要推论 矩形折叠问题常利用折叠前后对应边相等、对应角相等，结合勾股定理列方程 概念辨析例题：矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以B为圆心画弧作角平分线交CD于E，则DE的长为？ 答案：DE=3 解析：由角平分线性质得E到BD与BC距离相等，设EC=x，在Rt△BCE中用勾股定理求解。 ☆ 2.菱形的性质与判定 性质：四条边相等；对角线互相垂直且平分每组对角；面积等于对角线乘积的一半 判定：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形 菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在直线） 菱形动点问题常结合函数图象判断面积随时间的变化趋势 概念辨析例题：菱形ABCD边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线长为？ 答案：8 解析：菱形对角线互相垂直平分，用勾股定理：另一对角线一半==4，故全长8。 ☆ 3.正方形的性质与判定 性质：四边相等、四角为直角、对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；矩形+菱形性质同时满足 正方形兼具矩形与菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形 赵爽弦图是四个全等直角三角形围成的正方形，常用于勾股定理证明与面积计算 概念辨析例题：正方形ABCD边长为6，E为BC中点，连接AE，则AE的长为？ 答案：AE=3 解析：在Rt△ABE中，AB=6，BE=3，由勾股定理AE==3。 ☆ 4.三角形中位线与中点四边形 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 中点四边形形状由原四边形对角线决定：对角线相等→菱形；对角线垂直→矩形；垂直且相等→正方形 直角三角形斜边中线等于斜边一半，常用于线段倍分关系证明 中位线与斜中线结合，可解决多中点连线的角度与长度问题 概念辨析例题：四边形ABCD中，AC=BD=10，则其中点四边形的周长为？ 答案：20 解析：中点四边形各边分别平行于原四边形对角线且等于其一半，故周长=AC+BD=20。 📋 知识总结表 图形 性质要点 判定定理 矩形 四角直角、对角线相等、两条对称轴 一个直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形 菱形 四边相等、对角线垂直平分对角 一组邻边相等的平行四边形；对角线垂直的平行四边形 正方形 兼具矩形与菱形全部性质 矩形+一组邻边相等；菱形+一个直角 中点四边形 形状由原四边形对角线决定 对角线相等→菱形；垂直→矩形 斜中线定理 直角三角形斜边中线=斜边一半 常用于线段倍分证明 面积公式 矩形=ab；菱形=d₁d₂；正方形=a² 割补法求阴影面积 ⚠️ 核心考点 【考点1】矩形的性质、判定与折叠（第1-12题） · 矩形折叠：折叠前后对应边相等、对应角相等，设未知数用勾股定理列方程 · 矩形中遇中点常连接对角线交点，利用对角线互相平分性质 · 坐标系中矩形：利用坐标平移与勾股定理求线段长 · 矩形+垂直平分线：常证菱形（四边相等） 1．（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，射线，，，分别是，上的两个动点（不与，重合），，是上一点，，是的中点，记，．当点，的位置发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·四川德阳·期末）如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接，将矩形纸片沿折叠，使点C恰好落在边 上的点处，若 ，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，点是的中点，连接，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．下列选项中，结论错误的是（    ） A．当时，点的坐标为 B．在矩形的移动过程中，的长度始终保持不变 C．当时，四边形是平行四边形 D．点到点的最大距离是6 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）在矩形中，，，点为矩形内部的一点，，连接，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则长度的最大值是______． 6．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为________． 7．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 8．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度线段运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，运动时间为______秒． 9．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 10．（25-26八年级上·全国·寒假作业）平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且满足； (1)矩形的顶点B的坐标是（ ， ） (2)若是中点，沿折叠矩形使点落在处，折痕为，连接并延长交于，求直线的解析式． (3)将（2）中直线向左平移一个单位交轴于，为第二象限内的一个动点，且，求的最大值． 11．（24-25八年级下·湖南·期末）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，以和为邻边作矩形，已知点，点是直线上一动点．    (1)求直线的解析式； (2)如图，若，求点的坐标； (3)若点为射线上一点，点为坐标平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形，且点的横纵坐标之和为整数．请判断是否存在这样的点．若存在，请求出这样的点；若不存在，请说明理由． 12．（25-26八年级下·四川德阳·期末）平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，不论为何值时，直线：都经过轴上一定点． (1)点的坐标为____； (2)如图，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点对应的点恰好在直线上，点对应的是点，若四边形为矩形，求出点的坐标； (3)如图，当的取值发生变化时，直线：绕着点旋转，当它与直线相交的夹角为时，把与直线的交点记为点，求的面积． 【考点2】菱形的性质与判定（第13-17题） · 菱形面积=对角线乘积的一半，或底×高 · 证明菱形：先证平行四边形，再证一组邻边相等或对角线垂直 · 菱形动点函数图象：分段分析面积随路程的变化 · 菱形+等边三角形：利用60°角构造全等 13．（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，点P是菱形边上的动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转 到线段． (1)若，，且点与点重合（如图），线段的延长线交射线于点，直接写出的度数． (2)如图2，点不与点，重合，线段的延长线与射线交于点，连接，若，求证：四边形是菱形． (3)在（2）的条件下，猜想与的数量关系并证明． 16．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在菱形中，，其中分别是边上的中点，则的周长为 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点在边上，点在边上，且，则周长的最小值为 ； 【问题解决】 （3）如图3，规划部门准备绿化一块四边形空地，计划在边，上分别取点，，利用小路，将这块四边形空地分开，在四边形空地内种植郁金香，其他区域种植草坪，为了方便市民游览，决定取的中点，沿着修建观赏长廊．经测量，，，，，为节约建设成本，修建长廊长度之和应该最短．请你帮助规划部门确定是否有最小值．若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 17．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【考点3】正方形的性质与判定（第18-33题） · 正方形中证明线段相等优先考虑全等三角形（SAS/ASA/HL） · 赵爽弦图：四个全等直角三角形+小正方形，用面积关系求边长 · 正方形坐标系：利用边长相等、对角线斜率为±1建立方程 · 正方形中最值问题：利用对称转化为两点之间线段最短 18．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，点在轴正半轴上，是对角线上的动点，是轴上的动点．当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F．若，，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在正方形中，点为线段上一个动点，若垂直平分，且与、、、分别交于点、、、，若已知正方形的面积，可以求得（    ）    A．与面积之和 B．与面积之和 C．与面积之和 D．与面积之和 21．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知正方形，延长至点使，连接，与交于点，取的中点，连接交于于点且交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①②③⑤ 22．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为，点在上，，点，分别在，上，于点，连接，．两位同学经过深入研究，小明发现：线段的长度始终为；小丽发现：当时，取到最小值为．请对两位同学的发现作出判断（     ） A．小明的发现正确，小丽的发现错误 B．小明，小丽的发现都错误 C．小明的发现错误，小丽的发现正确 D．小明，小丽的发现都正确 23．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，点E为正方形外一点，连接，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，则的长度为（        ） A．8 B．9 C．10 D．11 24．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形的边长为4，点E，F分别为，上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近B的四等分点，长度为（     ） A． B． C． D．2 25．（24-25八年级下·福建厦门·期末）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．假设直角三角形的两直角边长分别为a，b（），斜边长为c，某数学兴趣小组受赵爽弦图的启发，先分别以a，b为边长构造了两个正方形，通过如图的裁切方式将边长为b的正方形裁切成四块，，是裁切线．若这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，则裁切点E与点A的距离为______．（用含有a，b的式子表示） 26．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在教学过程中，王老师为了让学生更加直观地体验四边形不具有稳定性，将四根长度为的木条用钉子钉成一个正方形框架，向右拉动框架得到四边形．当点D与点的距离最小时，四边形的面积为______． 27．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段检测）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为10，，求正方形的边长． 28．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是边长为3的正方形，点是射线（除、外）的动点．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ 先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以．（无需证明） 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小亮提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除、外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； (2)小颖提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (3)老师提出：连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论（无需证明）．当时，此时的面积为_____． 29．（25-26九年级上·广西柳州·期中）问题情境：四边形中，点是对角线的中点，点是直线上的一个动点（点与点都不重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为，连接． (1)初步探究：如图1，已知四边形是正方形，且点在线段上，求证； (2)深入思考：如图2，已知四边形为菱形，且点在的延长线上，其余条件不变，探究与的数量关系并说明理由： (3)拓展延伸：如图3，已知四边形为矩形，且．点在直线上运动的过程中，若，求出的长是多少？ 30．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知正方形的边长为，点是正方形内一动点，且，连结、、，并延长交于． (1)求证：； (2)若时， ①如图2，求的长度； ②如图3，延长至点，使得，连结．求与四边形的面积比； (3)在图1中，在运动过程中，当的值最小时，求的长．（直接写出答案） 31．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，四边形是正方形，E是线段上一点，点F在对角线上，连接和，的延长线交的延长线于点G，． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，是否存在常数k使等式成立？若存在，写出k的值，并证明你写出的k值使等式成立；若不存在，请说明理由． 32．（25-26八年级下·山东威海·期末）【模型分析】 (1)如图，在正方形中，点，分别在边，上，若，可得结论：．请对该结论进行证明； 【模型拓广】 (2)一般化推广： 如图Ⅱ，在四边形中，，，点 ，分别在边，上，若结论仍然成立，则与间的数量关系是 ．（直接写答案，不用证明） (3)生活化应用： 如图Ⅲ，点在的边上，，，，延长到，使，与交于点，，求的值． 33．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）小静和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：在正方形中，、分别在边，上． (1)如图一，连接，，，求证：； (2)如图二，若点、、、分边、、、上，，则．为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点作交于点，过点作交于点； 方案二：过点作交于点，过点作交延长线于点． 对小静遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明． (3)如图三，如果把第（2）问条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为，的长为，试求的长度． 【考点4】正方形折叠与旋转综合（第34-40题） · 折叠问题：折痕是对应点连线的垂直平分线，对应点到折痕距离相等 · 旋转90°：正方形旋转常构造全等，利用边角关系求角度 · 折叠+相似：折叠后产生的直角三角形与原三角形相似 · 旋转+最值：旋转过程中线段长度不变，求轨迹半径 34．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）正方形纸片的边长为12，点G在边上，连接，点E在边上，沿折叠该纸片，使点B落在上的F点，折痕与交于点H，若，则的长为（     ） A．3 B． C． D．5 35．（2025·江苏无锡·二模）如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、交于点，将沿对折，得到，延长线交延长线于点，下列结论正确的个数为（　　） ①；②；③；④； ⑤． A．5 B．4 C．3 D．2 36．（24-25九年级下·广西贵港·阶段检测）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是边的上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值为（   ） A．3 B． C． D．2 37．（23-24九年级下·广东广州·阶段检测）如图，在正方形中，点E为边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，交于点P． 当时，______； 当E为的中点时，______． 38．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图1，在中，，，D，E分别为边和的中点，现将绕点A自由旋转，如图2，设直线与相交于点P，当时，线段的长为_________． 39．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，为点关于直线的对称点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段、和之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，连接，若，，是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 40．（25-26八年级下·广东惠州·期末）模型与探究 (1)【基础探究·矩形模型初探】如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)【进阶拓展·菱形中点最值】如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； (3)【综合应用·正方形动态优化】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，、分别为、的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【考点5】坐标系、动点与最值综合（第41-42题） · 最短路径：作对称点，两点之间线段最短 · 坐标系中距离公式： · 动点问题：分段讨论，建立函数关系式 · 无刻度直尺作图：利用格点与对角线性质连线 41．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，四边形是长方形，，．点在上运动，点在上，，连接、，则的最小值为___________． 42．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中作． (2)在图②中作正方形． (3)在图③中作菱形，使点在直线上． 【考点6】三角形中位线与斜边中线综合（第43-45题） · 中位线定理：平行且等于第三边一半 · 斜中线定理：直角三角形斜边中线=斜边一半 · 多中点连线：连续使用中位线定理，逐步化简 · 结合等腰三角形三线合一，求角度与长度 43．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，、、分别是各边的中点，是高，、交于点，若已经知道与度数的和，则可以求出下列哪个角的度数（     ） A． B． C． D． 44．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，点是边上的一个动点，以为直径的圆交于点，若线段长度的最小值是，则的面积为____________． 45．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，点E是边上一点，连接，，过点B作，交于点F．延长至点G，使得，连接，且平分．若，，则的长为_____________． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记矩形、菱形、正方形的性质与判定，能画出从属关系图 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 · 正方形中证明优先用全等，注意SAS/ASA/HL的选择 · 坐标系最值问题多作对称点，转化为两点之间线段最短 · 中位线与斜中线定理是线段倍分证明的核心工具 【作业1】．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形中，，连接，直线垂直平分，分别交，于点E，F．下列结论：①四边形是菱形；②；③平分；④如果，，则的长为；则结论正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①④ 【作业2】．（2024·新疆·一模）如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连接，，．下列结论：①；②且；③；④≌；⑤若，则．其中哪些结论是正确（   ） A．①②④⑤ B．②③④ C．①②③ D．②③④⑤ 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 不正确； 则正确的结论有． 【作业3】．（25-26八年级下·四川内江·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，使得点，，，在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级下·上海·期末）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边，的垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为____________． 【作业5】．（25-26八年级下·四川南充·期末）如图，直线平行于，点是上一个动点，与距离等于线段长，，那么最小值为______． 【作业6】．（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，在边长为6的正方形中，点为上一点，是的中点，且．在上找点，使，则的长是_________． 【作业7】．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为___________． 【作业8】．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于，则______，连接和，则的最小值为______． 【作业9】．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在中，，，于点，于点，且点是边的中点，的周长是18，则_____________． 【作业10】．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，连结交于点，连结，．若，，则下列结论中正确的是__________．①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④． 【作业11】．（25-26八年级下·上海青浦·阶段检测）如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 【作业12】．（2026·甘肃天水·中考真题）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 (1)如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 (2)如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 (3)如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【作业13】．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 【作业14】．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 背景阅读：折叠问题题型多样，变化灵活，从考查空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意日渐明显．折叠操作就是将图形的一部分沿一条直线翻折，使它与另一部分图形在这条直线的同旁重叠或者不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．所以在解决有关折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质． 实践操作： （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）如图2，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，与相交于点G，同时得到线段； （3）如图3，将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P，连接． 问题解决： (1)在图2中，_________； (2)在图3中，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，则_________． 【作业15】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．请仅用无刻度的直尺进行以下作图： (1)如图1，菱形中，分别是中点，以为边作一个矩形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，菱形中，是对角线上一点，以为边作一个菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图3，平行四边形中，点分别是边上一点，且满足．连接，请过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法） 1 学科网（北京）股份有限公司 $