第二单元 分数乘法和除法（知识清单）数学冀教版六年级上册（新教材）

第二单元 分数乘法和除法 知识清单讲义 知识点一：分数乘法 1.分数乘整数 意义：求几个相同分数相加的和。 计算方法：分子与整数相乘的积作分子，分母不变；能约分先约分。 2.一个数乘分数 意义：求这个数的几分之几是多少。 计算方法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；计算前优先约分。 3.积与因数大小关系（0 除外） 乘＞1 的数，积＞原数 乘 = 1 的数，积 = 原数 乘＜1 的数，积＜原数 任意数 ×0=0 4.分数乘法实际应用 求一个数的几分之几是多少：单位 “1” 的量 × 对应分率 = 部分量 成数问题：几成就是十分之几。 打折问题：几折就是原价的十分之几，现价 = 原价 × 十分之几。 知识点二：倒数 1.定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。 2.求倒数方法：交换分数分子、分母的位置。 3.特殊数：1 的倒数是 1；0 没有倒数。 4.易错点：只能说两数互为倒数，不能单独称某数是倒数。 知识点三：分数除法 1.计算法则：除以不为 0 的数 = 乘它的倒数 （1）一个数除以整数（0 除外） 含义：平均分，求一个数的几分之一 算法：乘这个整数的倒数 （2）一个数除以分数 含义：已知几分之几求原数；求一个数包含几个分数 法则：除以不为 0 的分数，等于乘它的倒数 2.商与被除数关系（0 除外） 除以＜1 的数，商＞被除数 除以 1，商 = 被除数 除以＞1 的数，商＜被除数 3.分数除法应用题 已知一个数的几分之几是多少，求这个数（求单位 “1”） 数量关系：部分量 ÷ 对应分率 = 单位 “1” 的量 解题思路：找准单位 “1”，分清是求部分量还是求单位 “1” 题型1：分数乘法计算题（基础） 【例1】1.（    ）；。 2.                         【练1】                                                                题型2：倒数相关填空题（重点） 【例2】的倒数是( )，8的倒数是( )。 【练2】( )＝( )( )( )( )。 题型3：积与因数大小的关系 【例3】下列算式中，（    ）的积小于第一个因数。 A．×2 B．2× C．× D．×1 【练3】下面的算式中，（    ）的积大于第一个因数。 A． B． C． 题型4：折扣问题、成数问题 【例4】1.在图书展销会上，淘气看中了一套图书，原价150元。现在打八折优惠，每套只需要( )元，每套优惠了( )元。 2.小明家3月节约用电30千瓦时，4月比3月多节约了二成。小明家4月比3月多节约用电多少千瓦时？ 【练4】1.下面商品一律打八折销售。 (1)鞋子现价是多少元？ (2)上衣的原价是鞋子原价的。上衣原价是多少元？ 2.去年收大豆3600千克，今年比去年减产二成，今年大豆减产多少千克？ 题型5：分数除法计算题 【例5】直接写出得数。                                                                                  【练5】                               题型6：商与被除数的大小关系 【例6】在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )23    ( )    ( ) 【练6】在（    ）填入“＞”“＜”或“＝”。 ( )24    ( )    ( ) 题型7：分数除法应用题（单位 “1” 未知） 【例7】一盏节能灯1小时时耗电千瓦，某个传达室除了这盏节能灯外，没有别的电器。这个传达室上个月的用电量是千瓦时，这盏灯上个月共使用了多少小时？ 【练7】“无由持一碗，寄与爱茶人”。一个茶壶中有360毫升茶水，占茶壶总容量的，茶杯中有40毫升茶水，占茶杯总容量的，则茶壶和茶杯的容量分别是多少？ 题型8：分数乘除法对比辨析题 【例8】( )是30的，45是( )的。 【练8】45是( )的, 吨是( )吨的,( )是平方米的． 1．看图计算。 2．可以表示把平均分成( )份，求每份是多少。也就是求的( )是多少。 3．的倒数是( )；的倒数是( )；( )的倒数是30；最小的合数的倒数是( )；最小的质数和最小的奇数的积的倒数是( )。 4．120千克的是( )千克；的（ ）是m。 5．在括号填上“＞”“＜”或“＝”。 ÷( )      ×( )      ×( )÷       ×( ) 6．一块花布是米，用去了它的，用去了( )米。 7．填空。                                           原价：120元                原价：( )元    原价：160元 现价：( )元     现价：16元                 现价：( )元 8．由于招商引资，幸福村今年的总收入比去年增产三成，把( )看成单位“1”，去年的总收入为100万元，今年总收入比去年多( )万元。 9．一种磨粉机小时磨面粉吨，它每小时磨面粉( )吨，每磨1吨面粉需要( )小时。 10．如果a×＝b×＝c×≠0，那么，a、b、c中，最大的是( )，最小的是( )。 11．直接写出得数。                                   12．看图列式计算。 （1） 算式：________。 （2） 13．在学校举行的书法比赛中，获三等奖的同学有72人，获二等奖的人数是三等奖的，获一等奖的人数是二等奖的。 (1)获二等奖的有多少人？ (2)获一等奖的有多少人？ 14．张叔叔以平均每小时8.4km的速度从家跑步去公园，小时后他刚好到达公园。张叔叔家离公园有多远？ 15．一支施工队每小时修路。照这样的速度，20分钟修路多少千米？ 16．一种商品按原价的出售是231元，这种商品原价是多少元？ 17．把一根米长的木料锯成相等的若干段，一共锯了5次，每段长多少米？ 18．一辆汽车行驶1.5千米耗油升。 (1)1升汽油可以供这辆汽车行驶多少千米？ (2)这辆汽车行驶1千米耗油多少升？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 分数乘法和除法 知识清单讲义 知识点一：分数乘法 1.分数乘整数 意义：求几个相同分数相加的和。 计算方法：分子与整数相乘的积作分子，分母不变；能约分先约分。 2.一个数乘分数 意义：求这个数的几分之几是多少。 计算方法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；计算前优先约分。 3.积与因数大小关系（0 除外） 乘＞1 的数，积＞原数 乘 = 1 的数，积 = 原数 乘＜1 的数，积＜原数 任意数 ×0=0 4.分数乘法实际应用 求一个数的几分之几是多少：单位 “1” 的量 × 对应分率 = 部分量 成数问题：几成就是十分之几。 打折问题：几折就是原价的十分之几，现价 = 原价 × 十分之几。 知识点二：倒数 1.定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。 2.求倒数方法：交换分数分子、分母的位置。 3.特殊数：1 的倒数是 1；0 没有倒数。 4.易错点：只能说两数互为倒数，不能单独称某数是倒数。 知识点三：分数除法 1.计算法则：除以不为 0 的数 = 乘它的倒数 （1）一个数除以整数（0 除外） 含义：平均分，求一个数的几分之一 算法：乘这个整数的倒数 （2）一个数除以分数 含义：已知几分之几求原数；求一个数包含几个分数 法则：除以不为 0 的分数，等于乘它的倒数 2.商与被除数关系（0 除外） 除以＜1 的数，商＞被除数 除以 1，商 = 被除数 除以＞1 的数，商＜被除数 3.分数除法应用题 已知一个数的几分之几是多少，求这个数（求单位 “1”） 数量关系：部分量 ÷ 对应分率 = 单位 “1” 的量 解题思路：找准单位 “1”，分清是求部分量还是求单位 “1” 题型1：分数乘法计算题（基础） 【例1】1.（    ）；。 【答案】4；； 【分析】分数乘整数的意义和整数乘法相同，表示几个相同加数的和，可以写成用这个分数乘加数的个数；计算时用整数乘分子，分母不变，最后能约分的约分。 【详解】＝ ＝＝ 2.                         【答案】 0.5；；2；0.8 【练1】                                                                【答案】0.6；2.8；1.5；1； ；；； ；；；6 题型2：倒数相关填空题（重点） 【例2】的倒数是( )，8的倒数是( )。 【答案】 //1.75 /0.125 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。分数的倒数，将分子和分母交换位置即可。1的倒数是1，除了1以外的正整数的倒数均为几分之一。据此解题。 【详解】的倒数是，8的倒数是。 【练2】( )＝( )( )( )( )。 【答案】 6 10 【分析】每个算式乘积等于1，所以每个括号中的数都是算式中另一个因数的倒数，据此解答。 【详解】，第一个空格是的倒数，所以第一个空格是； ，第二个空格是的倒数，所以第二个空格是6； ，第三个空格是的倒数，所以第三个空格是； ，第四个空格是的倒数，所以第四个空格是10； ，第五个空格是的倒数，所以第五个空格是； 所以。 题型3：积与因数大小的关系 【例3】下列算式中，（    ）的积小于第一个因数。 A．×2 B．2× C．× D．×1 【答案】B 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数，由此解答即可。 【详解】A． ×2＞； B． 2×＜2； C． ×＞； D． ×1＝； 故答案为：B。 【点睛】本题属于基础性题目，也可以计算出来再比较。 【练3】下面的算式中，（    ）的积大于第一个因数。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据一个数（0除外），乘大于1的数，积比原数大，直接观察第二个因数是否大于1即可。 【详解】A．＜1，＜； B．2＞1，＞； C．＜1，＜19 故答案为：B 【点睛】关键是掌握分数乘法的计算方法，一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小。 题型4：折扣问题、成数问题 【例4】1.在图书展销会上，淘气看中了一套图书，原价150元。现在打八折优惠，每套只需要( )元，每套优惠了( )元。 【答案】 120 30 【分析】打八折意味着现价是原价的，原价为150元，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，所以现价为150×＝120元； 用原价减去现价即可计算出优惠金额，即150－120＝30元。 【详解】150×＝120（元） 150－120＝30（元） 因此，现在打八折优惠，每套只需要120元，每套优惠了30元。 2.小明家3月节约用电30千瓦时，4月比3月多节约了二成。小明家4月比3月多节约用电多少千瓦时？ 【答案】6千瓦时 【分析】二成表示十分之二，已知4月比3月多节约了二成，是将3月节约的用电量看作单位“1”，即4月比3月多节约的用电量占3月节约用电量的20％，求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。 【详解】30× ＝30×0.2 ＝6（千瓦时） 答：小明家4月比3月多节约用电6千瓦时。 【练4】1.下面商品一律打八折销售。 (1)鞋子现价是多少元？ (2)上衣的原价是鞋子原价的。上衣原价是多少元？ 【答案】(1)60元 (2)60元 【分析】（1）八折就是十分之八，用原价乘十分之八即可； （2）鞋子原价×＝上衣原价。 【详解】（1）（元） 答：鞋子现价是60元 （2）（元） 答：上衣原价是60元。 2.去年收大豆3600千克，今年比去年减产二成，今年大豆减产多少千克？ 【答案】720千克 【分析】减产二成，也就是减产，根据题意，去年的产量是单位“1”，今年比去年减产的重量＝去年的产量×，由此求解。 【详解】减产二成，也就是减产； 3600×＝720（千克） 答：今年大豆减产720千克。 题型5：分数除法计算题 【例5】直接写出得数。                                                                                  【答案】；；25；； 5；；； 【练5】                               【答案】49；18；； 题型6：商与被除数的大小关系 【例6】在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )23    ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小。一个数（0除外）除以大于1的数，结果比原来的数小；一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大。据此解答即可。 【详解】由分析可知： （  ＜  ）23    （  ＞  ）    （  ＝  ） 【点睛】本题考查分数乘除法，明确分数乘除法的计算方法是解题的关键。 【练6】在（    ）填入“＞”“＜”或“＝”。 ( )24    ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＞ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数； 一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数； 因为可以变为，＞，所以＞。 【详解】＜24    ＞    ＞ 【点睛】此题考查了判断因数与积之间、商与被除数之间大小关系的方法以及分数大小的比较方法。 题型7：分数除法应用题（单位 “1” 未知） 【例7】一盏节能灯1小时时耗电千瓦，某个传达室除了这盏节能灯外，没有别的电器。这个传达室上个月的用电量是千瓦时，这盏灯上个月共使用了多少小时？ 【答案】100小时 【分析】根据除法的包含意义，用总的用电量除以每小时的耗电量，即可求出这盏台灯的使用时间。 【详解】÷ ＝× ＝100（小时） 答：这盏灯上个月共使用了100小时。 【点睛】此题主要根据除法的包含意义直接列式求解。 【练7】“无由持一碗，寄与爱茶人”。一个茶壶中有360毫升茶水，占茶壶总容量的，茶杯中有40毫升茶水，占茶杯总容量的，则茶壶和茶杯的容量分别是多少？ 【答案】茶壶450毫升；茶杯毫升 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 把茶壶总容量看作单位“1”，用茶壶中茶水的量除以即可得到茶壶的容量； 把茶杯总容量看作单位“1”，用茶杯中茶水的量除以即可得到茶杯的容量。 【详解】（毫升） （毫升） 答：茶壶的容量是450毫升，茶杯的容量是毫升。 题型8：分数乘除法对比辨析题 【例8】( )是30的，45是( )的。 【答案】 25 81 【分析】（1）已知一个数，求这个数的几分之几是多少，用乘法计算； （2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】（1）30×＝25 （2）45÷＝81 【点睛】掌握分数乘除法的计算方法是解答题目的关键。 【练8】45是( )的, 吨是( )吨的,( )是平方米的． 【答案】 81 平方米 【详解】略 1．看图计算。 【答案】； 【分析】①把整个图形平均分成3份，取其中1份，即表示；再将这取出的1份看作单位“1”，平均分成5份，取其中2份，即表示；求最终取出的部分占整个图形的几分之几，就是求的是多少，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”用乘；根据分数乘法的计算方法，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母； ②把整个图形平均分成7份，取其中3份，即表示；再将这取出的3份看作单位“1”，平均分成4份，取其中3份，即表示；求最终取出的部分占整个图形的几分之几，就是求的是多少，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”用乘；根据分数乘法的计算方法，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 【详解】根据分析： ； 。 2．可以表示把平均分成( )份，求每份是多少。也就是求的( )是多少。 【答案】 4 【分析】除法的含义就是把一个数平均分成几份，求每份是多少；除以一个非零整数等于乘这个整数的倒数，所以求每份是多少等价于求这个数的几分之一是多少。 【详解】 可以表示把平均分成4份，求每份是多少。也就是求的是多少。 3．的倒数是( )；的倒数是( )；( )的倒数是30；最小的合数的倒数是( )；最小的质数和最小的奇数的积的倒数是( )。 【答案】 5 【分析】最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4，根据乘积是1的两个数互为倒数，求一个分数的倒数，交换分子和分母的位置即可。求整数（0除外）的倒数时，先把整数看作分母是1的假分数再交换分子、分母的位置。小数求倒数时，先把小数化成最简真分数或假分数，再按分数求倒数的方法求解。 【详解】的倒数是；的倒数是5；的倒数是30；最小的合数的倒数是；最小的质数和最小的奇数的积的倒数是。 4．120千克的是( )千克；的（ ）是m。 【答案】 100 【分析】求一个数的几分之几用乘法计算。 【详解】（千克） ÷= 5．在括号填上“＞”“＜”或“＝”。 ÷( )      ×( )      ×( )÷       ×( ) 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＜ 【分析】一个非0数乘大于1的数，大于它本身；一个非0数乘小于1的数，小于它本身； 一个非0数除以大于1的数，小于它本身；一个非0数除以小于1的数，大于它本身； 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；据此解答。 【详解】÷＝×3＞ ×＜ ÷＝×，左右相等。 ×＜ 【点睛】此题考查分数乘或者除以一个数引起数的大小变化。 6．一块花布是米，用去了它的，用去了( )米。 【答案】 【分析】根据题意，求用去多少米，用花布的总长度×，即可解答。 【详解】×＝（米） 【点睛】根据求一个数的几分之几是多少的知识进行解答。 7．填空。                                           原价：120元                原价：( )元    原价：160元 现价：( )元     现价：16元                 现价：( )元 【答案】 【分析】（）明确折扣的含义，几折就是现价是原价的百分之几十。已知：书包打七折、玩具汽车打八折、小台灯打六折。 （）已知原价求现价：现价原价折扣 （）已知现价求原价：原价现价折扣 【详解】七折就是 120× （元） 八折就是 16÷ （元） 六折就是 160× （元） 8．由于招商引资，幸福村今年的总收入比去年增产三成，把( )看成单位“1”，去年的总收入为100万元，今年总收入比去年多( )万元。 【答案】 去年的总收入 30 【分析】三成就是，根据题意，去年的总收入为单位“1”，今年的收入比去年多的钱数=100×=30（万元） 9．一种磨粉机小时磨面粉吨，它每小时磨面粉( )吨，每磨1吨面粉需要( )小时。 【答案】 【分析】每小时磨面多少吨用÷即可，再用1÷每小时磨面粉的吨数即可求出磨1吨面粉需要的时间。 【详解】÷（吨）；1÷（小时） 【点睛】此题考查分数除法的计算，依据问题确认好被除数是谁是解题的关键 10．如果a×＝b×＝c×≠0，那么，a、b、c中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 a b 【分析】如果a×＝b×＝c×≠0，这些式子的积相等，其中的一个因数越大，另一个因数就越小。 【详解】因为＞＞，所以a＞c＞b，故最大的是a，最小的是b。 【点睛】在积相等的情况下，其中的一个因数越大，另一个因数就越小。 11．直接写出得数。                                   【答案】24；；；1.8 ；；15； 【解析】略 12．看图列式计算。 （1） 算式：________。 【答案】（米） 【分析】根据图中可得：6米的线段被平均分成了9份，可将这条线段看作单位“1”，则一份表示为这条线段的，其中的4份即为；求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，那么运用线段总长6米乘，分数乘法计算得出答案；据此解答。 【详解】（米） 所以图中涂色部分为米。 （2） 【答案】1080人 【分析】根据线段可知，整条线段被平均分成了9份，其中的4份用分数表示是，即是女生的人数占全校人数的分率，又知女生的人数是480人，用480÷即可解答。 【详解】480÷＝1080（人） 【点睛】此题主要考查学生对分数除法的理解与应用，此题关键是理解分数的意义，即把一个数平均分成若干份，表示其中一份或几份叫做分数。 13．在学校举行的书法比赛中，获三等奖的同学有72人，获二等奖的人数是三等奖的，获一等奖的人数是二等奖的。 (1)获二等奖的有多少人？ (2)获一等奖的有多少人？ 【答案】(1)24人 (2)12人 【分析】（1）已知获得二等奖的人数是三等奖的，求获得二等奖的人数，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 （2）获一等奖的人数是二等奖的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，得到获一等奖的人数。 【详解】（1）（人） 答：获二等奖的有24人。 （2）（人） 答：获一等奖的有12人。 14．张叔叔以平均每小时8.4km的速度从家跑步去公园，小时后他刚好到达公园。张叔叔家离公园有多远？ 【答案】 【分析】由题意知，张叔叔的速度为8.4km/h，行走时间为h，根据路程=速度×时间列式计算即可。要注意小数与分数的乘法计算。 【详解】（km） 答：张叔叔家离公园有3.6km。 15．一支施工队每小时修路。照这样的速度，20分钟修路多少千米？ 【答案】 【分析】根据题意，施工队的工作效率为，工作时间为20分钟，首先先将时间单位统一，将20分钟转化为小时是，根据“工作效率工作时间=工作总量”计算出20分钟修的路的总长度。 【详解】 答：20分钟修路千米。 16．一种商品按原价的出售是231元，这种商品原价是多少元？ 【答案】330元 【分析】把这件商品的原价看作单位“1”，原价的是出售的价格231元，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】231÷ ＝231× ＝33×10 ＝330（元） 答：这种商品原价是330元。 【点睛】找准单位“1”的量，已知单位“1”的量的几分之几是多少，求单位“1”的量，用除法计算。 17．把一根米长的木料锯成相等的若干段，一共锯了5次，每段长多少米？ 【答案】 米 【分析】锯的次数与段数的关系是“段数＝锯的次数＋1”，所以锯5次会把木料分成5＋1＝6段；木料总长米，用总长度除以段数即可得到每段的长度。 【详解】5＋1＝6（段） （米） 答：每段长米。 18．一辆汽车行驶1.5千米耗油升。 (1)1升汽油可以供这辆汽车行驶多少千米？ (2)这辆汽车行驶1千米耗油多少升？ 【答案】(1)千米 (2)升 【分析】（1）求1升汽油可供汽车行驶的路程，是把汽油量归一，用行驶的总路程除以对应的耗油量。 （2）求行驶1千米的耗油量，是把行驶路程归一，用总耗油量除以对应的行驶路程。 【详解】（1） （千米） 答：1升汽油可以供这辆汽车行驶千米。 （2）（升） 答：这辆汽车行驶1千米耗油升。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $